物理和数学寄宿学校

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物理和数学寄宿学校

六年前，全国最大的四所大学创建了物理和数学综合学校。他们的任务是帮助农村地区和周边城市的青少年找到数学和物理科学的道路。当然，没有人承诺每个人都会被接受并成为科学家。但在这里，他们训练那些尽其所能参与科学计划的人。

列宁格勒综合中心接受来自拉脱维亚、立陶宛和爱沙尼亚苏维埃社会主义共和国以及俄罗斯联邦西部农村地区、新西伯利亚（西伯利亚地区）和中阿扎蒂亚资源区、基辅（乌克兰和摩尔达文）的儿童。莫斯科综合学院接受来自俄罗斯联邦中部地区和白俄罗斯的学生。

各地区的综合考生选拔和考试与物理和数学奥林匹克竞赛同时开始（通常在春假期间）。确切的数据和录取程序可以在各个公共教育部门找到。

让我们仔细看看莫斯科综合体。招收9年级和10年级的学生。他的学生大部分通过综合竞赛进入莫斯科大学或莫斯科物理技术学院的力学、数学或物理系。首届毕业生中已有多名学生入读本系，另有不少学生以学生身份发表了完整的独立作品。

如果我们的任何学生表现出特别有才华的迹象，我们会感到高兴，但我们并不努力只抓住杰出的人才。所有申请者只需要对科学充满热情，并愿意比高中生更加努力地学习，因为高中生发现学习相对容易，并且对足球或舞蹈更感兴趣。然而，我们的学生和年轻教师都参与了足球和旅游业。在九年级到十年级之间，孩子们自愿去高加索和克里米亚的国有农场工作，并在工作几周后旅行。

Integraat 的讲座由莫斯科大学和物理技术学院的教授和教师主讲，课程主要由教师、研究生和此类类型中最有能力的学生授课。物理实验室的设备（物理实验室有很多，位于不同的物理领域）使得进行服务器工作成为可能，甚至包括为科学研究机构执行相对简单的任务。

Integraat 的竞争相当激烈，但要求水平并没有那么高，以至于每个热爱数学家和物理的学生都会毫不犹豫地尝试进入它们（例如，参见下一页为 1969 年莫斯科 Integraat 进入 9 年级和 10 年级的学生提供的任务）。在集成本身中，除了合格的教学之外，您还会发现一个由有能力和热情的年轻数学家和物理学家组成的友好环境 - 在这个环境中工作特别愉快和有趣。

莫斯科综合学院的教师
A.N.柯尔莫哥洛夫，V.A.古谢夫，
A.A.叶戈罗夫、E.L.苏尔科夫

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任务
关于笔试

选项
对于那些建造了
至九年级

1. 求解系统方程
   $$\begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ x^2y + y^2x = 6. \end{cases}$$

2. 在三角形ABC中，点P、Q和R分别是从顶点A、B和C下降的高的底。证明$\angle ABQ = \angle APR$。

3. 1969年这么高的人是哪一年出生的，他们出生年份的数字总和是多少？

4. 为什么由透明水滴组成的雾不透明？

5. 外面的秤上有一杯水。体积为 V、密度为 p 的塞子漂浮在水中。用手指将软木塞推入水下，使其完全浸没。秤会显示什么？

选项
对于那些建造了
至十年级

1. 求解系统方程
   $$\begin{cases} x(y + z) = 3, \\ y(x + z) = 4, \\ z(x + y) = 5. \end{cases}$$

2. 在底AD=a、BC=b（a>b）的梯形ABCD中，平行于底画一条线段MN，并将梯形的面积分成两半。求该线段的长度。

3. 找到满足方程的所有整数对 x 和 y
   $$x^2 - 6xy + 5y^2 = 11.$$

4. 在其中一个连通容器的底部有一个重量为 P 的活塞。其与壁的摩擦力等于 F。必须向另一个容器中倒入多少水才能使活塞移动到高度 h？

5. 盒子被放置到传送带上，没有初始速度。皮带以速度 v 移动。摩擦系数 k。在速度等于 v 之前，盒子相对于磁带将移动多远？

6. 求方程根的平方和而不求解：
   $$x^2 + px + q = 0.$$

7. 这两个数字哪个更大：$2^{300}$ 或 $3^{200}$？

8. 给出了二次三项式 y=ax²+bx+c 的图像。数字a、b、c的符号是什么？

9. 证明三角形的中线之和小于该三角形的周长且大于$\frac{3}{4}$该三角形的周长。

10. 梯形碱基a和b (a>b)。求平行于梯形底边、穿过对角线交点并包围在梯形各边之间的线段的长度。

11. 证明以凸四边形各边为直径构建的圆将完全覆盖四边形。

12. 半径为 r1 和 r2 的两个圆与给定线相切。假设圆可以沿给定直线以任意方式移动，求它们公共内切线的交点的轨迹。

13. 一块冰浮在一杯水中，里面嵌着一块猪肉。冰已经融化了。容器中的水位将如何变化？

14. 大炮以α角发射。初始弹丸速度 v。屏幕放置在距离枪 L 处，弹丸从屏幕弹性反射。它会在距离枪多远的地方掉落？