Про лису и собаку

39

Про лису и собаку

М. Л. Гервер

Эта заметка не имеет отношения к этому:
«лиса» и «собака» — просто удобные условия наваивания для двух движущихся мочек, одна из которых «пымает полимать» другую.

§ 1. Формулировка задачи
Лиса бежит по прямой с постояной скоростью. Собака гонится за лисой с той же скоростью, причем бежит так, что видит лису все время перед собой. Лиса бежит из точки Л₀ (рис. 1) в направлении, указанным стрелкой. Собака в начальной момент нахождения в точке С₀. При каких С₀ собака догонит лису?

Сейчас трудно установить, кто придумал эту красивую задачу — ее уже много лет предлагал на механите МГУ студентам, которые не腋но узнали, что такое производаная. После того, как tema «Производная» была включена в программу математических школа, про лису и собаку стали рассказывать и школьникам, заранее предупреждая, что это — «задча с двумя звездочками».

В начале 1972 года мы предложили задачу про лису и собаку в 10 «б» классе 57-й школьги г. Москвы. Первым в классе ее решили (разными способами) Коля Надрашиил, Володя Лидский и Сержа Глядков*). Однако из решения (приуманное С. Глядковым) удалось упростить настолько, что оно стало совсем «элементарным».

Это решение (не требующое знакомства с понятием производаной) и будет приведено ниже. Прежде, чем читать его, попробyte, конечно, решить задачу сами. может быть, это не удался (я уже предупреждал, что задча трудная) — тогда постаятесь хотя бы угадать ответ. Он довольно неожиданный.

§ 2. Попробуем угадать ответ

1. Обозначим прямую, по которой бежит лиса Л, через l. В точке Л₀ восставим к ней перпендикуляр p (рис. 2).

*) Сейчас все это — уже первокурники.

40

Куляра $p$), то лису не догнать. Доказать это можно, например, так.

Разложим скорость собаки $v$ на две составляющие: $v_1$ (вдоль $l$) и $v_p$ (вдоль $p$). Спроектируем точку $C_0$ на прямую $l$ в точку $\Pi$ ($C_0\Pi \perp l$). Тогда $v_1$ можно использовать как скорость *) с которой точка $\Pi$ движется вдоль прямой $l$ вслед за $\Pi$. Поскольку $v_1 < v$, то расстояние между $\Pi$ и $\Pi$ не уменьшается с течением времени **), так что собака в этом случае не догонит лису.

2. Пока все было просто. Трудности начинаются, когда точка $C_0$ — вне прямой $l$ и вперед $\Pi_0$ (выше перпендикулара $p$).

Проведем из точки $\Pi_0$ два луча: $q_1$ и $q_2$ (рис. 3) — под углом $45^\circ$ к прямым $l$ и $p$. Зона, окрашенная на рисунке 3, безопасна для лисы: если $C_0$ находится в этой зоне, то собака, бегущая из точки $C_0$, не догонит лису. Чтобы доказать это, возьмем точку $C_0$ даже не внутри, а на границе зоны (например, на луче $q_1$).

*) $v$ — это вектор, а $v$ — его длина.
**) Расстояние между $\Pi$ и $\Pi$ даже увеличается; расстояние между $C$ и $\Pi$, как мы покажем ниже, наоборот, уменьшается.

Пусть $\lambda_1$ — такая точка на прямой $l$, что $C_0\lambda_1 \perp l$. Далее бы собака бежит к $l$ по более длинному пути. Значит, когда лиса окажется в точке $\lambda_1$, собака еще не добежит до $l$. Легко проверить, что при этом она окажется позади лисы — за перпендикулом $C_0\lambda_1$. А в такой ситуации, как мы уже видели, она не сможет догонять лису.

3. Так или примерно так начинает решать обсуждаемую задачу большинство лодей.

Инутчина подсказывает, что зону, безопасную для лисы, можно еще расширить. Как же она выглядит? Примерно так, как на рисунке 4? Нет, оказывается, не так…

§ 3. В движущей системе координат

Сделаем решительный шаг, который резко упростит все дальнейшие расчёжения. Выберем прямую渤ную систему координат $x, y$ так, чтобы она равномерно движалась вместе с лисой *) в направлении оси $y$. Пусть в начальной момент лиса находится на движущей системе (в точке $O$). Тогда она все время будет находиться в этой точке.

Как будет движаться собака относительно системы $x, y$?

Возьем на плоскости $(x, y)$ какую-нибудь точку $C$ (рис. 5, а).

*) Относительно неподвижного наблюдая.

41

Если бы эта точка находилась в положение относительно системы координат $x, y$, то это означает, что она движется вместе с лисой) — в том же направлении и с той же скоростью.

Чтобы точка $C$ находилась в положение с точки зрения неподвижного наблюдаемого наблюдателя, нужно скоппенсировать движения системы $x, y$, то есть нужно заставить точку $C$ движаться относительно системы $x, y$ в направлении, противоположном направлению оси $y$, причем абсциссная вершина скорости этого движения должна быть та же, что и у лицы (рис. 5, б).

По условияю задачи собака безит прямо на лису (с точки зрения неподвижного наблюдаемого наблюдателя). Значит, относительно системы $x, y$ собака участвует в двух движениях: во-первых, равномерно движется со скоростью $v$ в направлении, противоположном оси $y$, во-вторых, приближается с той же скоростью к началу координат. Стрелки на рисунке 5, $\theta$ — это вектор скорости в каждой из указанных движений. Результирующий скорость движения собаки относительно системы координат $x, y$ найдем по правилам параллелограмма (рис. 5, е).

До схх пор мы рисовали точку $C$ в одном и том же месте на плоскости $(x, y)$. На рисунке 6 показано, как результирующая скорость зависит от расположения точки $C$. Чем больше

Рис. 6.

угол между векторами, которые складаваются, тем короче вектор результирующей скорости. Если расположить точку $C$ на отрицательной полуоси оси $y$, то векторы, которые складаваются, будут иметь противоположные направления и результирующая скорость оказывают нулю. Так, разумеется, и должно быть: если собака находится строго задали лисы, то она безит за ней, не приближаться и не отставая, то есть находится в положению системы $x, y$.

§ 4. Собака безит по параболе

1. В школе много занimaются квадратными уравнениями. Каждый старшеклассик знает, как выглядит парабола (график квадратного трехчлена).

Снова посмотрим на рисунок 6. Очень похожие, что точки $C_1, C_2, C_3$ лежат на параболе. Мы сейчас покажем, что это так и есть, если эти точки указывают несколько последовательных положений бегущей собаки.

2. Некоторые из вас знают, другие — без труда проверят следующее свойство параболе:

Парабола есть геометрическое место моек, равнодаленных от некоторой точки $O$ и от некоторой прямой $d^*$).

Мы сейчас проверим это свойство в случае, когда точка $O$ является нахалом координат, а прямая $d$ параллельна оси $x$ и расположена «под ней», то есть при неоктором $a > 0$ задается уравнение $y = -a$. В этом случае (рис. 7) квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до точки $O$ равен (по теореме Пифагора)

$$x^2 + y^2,$$

расстояние от точки $(x, y)$ до прямой $d$ равен

$$|y + a|,$$

а квадрат этого расстояния равен

*) Точка $O$ называется фокусом, а прямая $d$ — директрисой параболе.

42

Рис. 7.

$(y + a)^2$. Для точек, равноудаленных от $O$ и $d$, выполняется, таким образом, соответствие

$$x^2 + y^2 = (y + a)^2,$$

или, что то же самое,

$$x^2 = 2ay + a^2.$$

Посленее уравнение перепишем окончательно в виде

$$y = \frac{x^2 - a^2}{2a}.$$

(A)

Все точки, равноудаленные от $O$ и $d$, лежат, таким образом, на параболе, которая задается уравнением (A). Так как при вывода уравнения (A) мы делали то жественные преобразования, то, и обратно, все точки указывающие равноудалены от точки $O$ и прямой $d$.

3. Прежде чем идти данные, отметим что при $b \neq a$ ($b > 0$) парабола

$$y = \frac{x^2 - b^2}{2b}$$

(B)

не имеет с параболой (A) ни одной общей точки. Действительно, если бы неоторая точка $(x, y)$ принадлежала

$$\begin{align*} y &= \frac{x^2 - b^2}{2b} \\ \end{align*}$$

Рис. 8.

Жала обем параболам, то выполнялось бы соответствие

$$\frac{x^2 - a^2}{2a} = \frac{x^2 - b^2}{2b}.$$

No ekвивалентное ему равенство $x^2 = -ab$ невозможно, так как $x^2 \geq 0$, а $-ab < 0$.

4. Возьмем на плоскости $(x, y)$ точку $C_0$, не лежащую на оси $y$, а в остальном произвольную. Отложим от нее в направлении, противоположном оси $y$, отрезок $C_0D_0 = OC_0$ (рис. 8) и проведем через точку $D_0$ прямую $d$, параллельную оси $x$. Расстояние между осью $x$ и прямой $d$ обозначаем через $a$. Согласно п. 2 парабола (A) равноудалена от $O$ и $d$ и проходит через точку $C_0$.

Докажем, что именно по этой параболе и побежит собака (относительно системы $x, y$), если в начальной момент она находится в точке $C_0$.

Для доказательства представим себе, что $OC_0$ и $C_0D_0$ — это туго натягные вервки; в точке $D_0$ вервка $C_0D_0$ привязана к колыцу, которое на него на прямую $d$ и может свободно скольнить по ней; вервка $OC_0$ крепко привязана в точке $O$. Еще, пожалуй, представим себе, что в точке $C_0$ находится не собака, а, скажем, обезьяна (у собаки на хватит прити проделать то, что мы ей сейчас поучим). Дадим обезьяне вервки и попросим подтягиваться по ним обем сразу — одновременно к точке $O$ и к прямой $d$.

Каждай, кто когда-нибудь лазил по канату (далее по одному, а не по двум стразу), легко представить себе, что получится. Перебирая лапами, наша собака (то есть обезьяна) будет приближаться с одинаковой скоростью к точке $O$ и к прямой $d$. Через некоторое время она очитится в точке $C_1$ (рис. 9); колыцо, скользыващее без трения по прямой $d$, перединется в такое положение $D_1$, что $C_1D_1 \perp d$; так как обе вервки укоротятся на один и тот же кусок, то отрезки $OC_1$ и $C_1D_1$ будут равны.