Задачи М186—М190; Ф198—Ф202

Квант 1973, №2 с. 45-46 Тег S3Y5

Задания

M186 — M190; Ф198 — Ф202

M186. Найдите все решения уравнения
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$
в целях числа, отличных от 1.
В. Слепенko, ученик 10 класса

M187. На плоскости заданы две точки A и B. Найдите геометрическое место третий вершин C треугольника ABC, у которого:
a) высота AA’ равна стороне BC;
b) медиана AA₁ равна стороне AC;
b) медиана AA₁ равна стороне BC;
г) высота CC’ равна медиане BB₁;
д) высота BB’ равна медиане CC₁.
M. A. Квантов

M188. Между неокоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причем каждой город связыван не менее чем с n других (беспо-

Рис. 1.

Решения задачи из эмного номера можно посылать не позднее 30 марта 1973 года по адресу: 117071, Москва, B-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После.adреса на конверте напишите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», M186, M187 или «… Ф200».
Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отделных конвертах. Органиальные задачи, предложаемые для публикации, просылайте вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

Рис. 2.

садочных решами). Докажите, что даже если отменить любые n—1 решения, то все равно из любого города можно добавться в любой другой на самолетах (с пересадками). Укажите все случаи, когда такая «связность» нарушается при отмене n решения.
A. K. Кельманс

M189. При отрезке AB, EF и CD проходят через одну точку O, причем точка E лежит на отрезке AC, а точка F — на отрезке BD. Докажите, что EF меньше хотя бы одного из двух отрезков — AB или CD (рис. 1).
Д. Ю. Гризовев

M190 *. На плоскости даны две прямые a и b. В точке A₁, находящая на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сидит блюxa. Затем блюxa последовательно прыгает в точки B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, …, руководствуясь следующими правилами (рис. 2):

(1) точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ лежат на прямой $a$ , точки $B_1, B_2, B_3, \dots$ — на прямой $b$ ;

(2) $A_1B_1 = B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3 = A_3B_3 = \dots = 1$ ;

(3) точка $A_n$ не совпадает с $A_{n+1}$ , кроме случая, когда $A_nB_n \perp a$ (и, аналогично, $B_n$ совпадает с $B_{n+1}$ , только если $B_nA_{n+1} \perp b$ ). (Нетрудно видеть, что условиями (1) — (3) последовательность прыжков, начняя с $B_1A_2$ , определяется однозначно.)

Докажите, что если угол между прямыми $a$ и $b$ изменяется рациональным числом градусов, то путь блюхи будет перiodичным, то есть в некоторый момент она попадет в начальное точку $A_1$ и затем будет последовательно проходит те же самые точки $B_2, A_2, B_3, \dots$ , как в начале пути, а если — irrationalным числом, то блюха не попадет ни в какую точку более двух раз.

Ф198. Конькобежец решил затормозить и свел вместе пятки. Хотя это и трудно (почему?), но конькобежцу удается удерживать пятки вместе. Как он будет двигаться дальше?

Г. Л. Комкин

Ф199. Неётрон легко проходит через слой свинца, но задерживает в таком же слое парафина, воды или другого соединения, содержащого водород. Объясните, почему.

П. Л. Kanuца.

Ф200. В результате импульсного разряда конденсатора через разреженный гелий проискudit нагревание газа до температуры $T$ . Оценить величины $T$ , если направление на конденсатор $U = 30$ кв., емкость конденсатора $C = 18$ мкф и газ занимает объем 10 л при давлении $10^{-2}$ мм рм. см.

Ф201. Если к некоторому сопротивлению подключит аkkумулятор, то зависимости тока в цепи от времени будет такой, как показано на рисунке 3 красной линии. Если к этому же сопротивлению подключит другой такой же аkkумулятор, но частично разряженный, то зависимости тока от времени будет такой, как показано на рисунке 3 синей линии. Если аkkумулятора подключит к тому же сопротивлению вместе, соединив их параллельно, то вначале по цепи будет идти ток 1,5 а. Нарисуйте график дальнейшего изменения тока в цепи со временем.

Внутреннее сопротивление аkkумулятора в процессе разряда не меняется.

Ф202. Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $\rho_0$ . Невесомый поршень, на которой действует постоянная сила $F$ , вдвигаясь в трубу, уплотняет вещество до плотности $\rho$ (рис. 4). С какой скоростью движется поршень, если уплотнение произходит скачком, то есть в трубе как бы перемещается с некоторой скоростью поверхность, справа от которой плотность вещества $\rho_0$ , а следа $\rho$ ? В начальной момент поверхность совпадает с плоскостью поршня.