Разные задачи

13

ниях) «двумерную» и «одномерную» теоремы.

Наконец, отметим (для читателя, знакомого с понятями многомерной геометрии), что приведенная выше общая формулировка теоремы Гюльдена применима к $n$-мерному ενклидову пространству — только вместе плоскости над расматривать $(n-1)$-мерную плоскость, а в качестве $l$ надо взять $(n-2)$-мерную плоскость. Число $k$ в этой теореме может (в случае $n$-мерного пространства) принадлежать любое из значений 1, 2, . . . , $n$.

А чтобы не огорчались читатели, не знакомые с понятями многомерной геометрии, формулируем получающую теорему для $n=2$ (то есть для случая плоскости).

Теорема Гюльдена на плоскости. Пусть на прямой no odну сторону от точки $O$ расположена $(k-1)$-мерная фигура $F$ (здесь $k$-любое из чисел 1, 2). Через $S$ обозначим $(k-1)$-мерный объем фигуры $F$, а через $R$ — расстояние ее центра мяжестями от точки $O$. При враценении фигуры $F$ вокруг точки $O$ получается $k$-мерная фигура, $k$-мерный объем коморой вычисляется по формуле

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

В частности $k$ при $k=1$ (то есть в случае, когда фигура $F$ состоит из нескольких отрезков, рис. 10) эта формула позволяет вычислить сумму плошадей нескольких концентрических колес.

Разные задачи

1. Исключить $x, y, z$ из уравнений
   $$xy (x+y)=c,$$
   $$yz (y+z)=a,$$
   $$zx (z+x)=b,$$
   $$xyz=d.$$

2. Построить треугольник $ABC$ ($BC>AB>CA$) по заданному углу $A$ и суммам длин сторон $AB+BC$ и $AB+AC$.

3. Решить систему уравнений
   $(ax)^{1/2}a=(by)^{1/2}b,$
   $b^{1/2}x=a^{1/2}y.$

4. Найти частное от деления на $p-1$ числа, написанного в $p$-чной системе счисления с помощью $p-1$ единиц (то есть числа 111…1). Как записьается это частное в $p$-чной системе счисления?

5. Три точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой. Построена окружность с центром в точке $A$. Найти геометрическое место точки пересечения прямых, соединяющих точки $B$ и $C$ с динамическим противоположными точками окружности.

6. Три окружности проходит через точки $M$ и $N$. Найти геометрическое место таких точки $P$, что касательные $PA, PB$ и $PC$, проведенные из точки $P$ к этим окружностям ($A, B, C$—точки касания), удовлетворяют соотношению $PA \cdot PB = k \cdot PC^2$.

7. Доказать, что если $p$-простое число, то остаток от деления $C_{p-1}^m$ на $p$ равен $(-1)^m$.

8. Доказать, что если $p$-простое число, больше трех, то $\frac{1}{2} C_{p/2}^p - 1$ делится на $p^3$.