Электрон движется с трением

14

Электрон
движется с тренем
M. И. Каганов, Г. Я. Люварский

Введение
Слово «тренние» наполинает о движущихся частях машин, о санках, скользыващих по снежному насу, о меторите, раскаляющейся при пролете через атмосферу. В одной случае без трення нельзя обойтись, в другой — делают всевозможное, чтобы от него избавиться. С треннем приходится считаться льжнику-слаломисту и инженеру-конструктору; посколькуся прохожий сетует на отсутствие трення, а физики вLABораториях изыскивают способы уменшения трення хотя бы на доли процента. Но, пожалуй, кто бы ни думал о трении, все представляют себе какое-либо макросоппическое тело (нога, колесо, вит парохода), взаимодействующее со средой или с другими телами.

А можно ли говорить о трении при движении микросоппической частицы, например, электрона?

В этой статье мы рассмотрим движение электронов в металле. Известно, что электроны совершают беспорядочное,xaотическая движение. Но если по проводнику идет ток, то, кромеxaотического теплового движения, есть еще и направленное движение электронов.

Очень сложно описать поведение каждого электрона в отдельности. Поэтому мы заменим движение всех частц потоком одинаковых «средних» частц, движущихся в одном направлении с одинаковыми средними скоростями. Это можно сделать, так как при векторном сложении всех скоростейxaотического движения

16

ческого движения электронов. В каждом кубическом сантиметре металла есть $n$ электронов, и все они движутся со скоростью $\bar{v}$. Подмена беспорядочно движущихся электронов, «сосимых» приложенным к металлу электрическим полем, одинаково движущимися «средними» электронами производится для упрощения, чтобы легче исследовать свойства проводников.

So стороны приложенного к проводнику электрического поля на электрон действует сила, равная

$$F = eE. \tag{3}$$

Из формул (1), (2) и (3) следует, что скорость «среднего» электрона пропорциональна приложенной силе:

$$\bar{v} = \frac{\sigma}{e^2n} F, \tag{4}$$

то есть «средний» электрон движется по законам механики Аристотеля *). Механика Аристотеля правильно описывает движение в тех случаях, когда тело движется с тренем и приложенная постоянная сила уравновешивается силой треня. Следовательно, «средний» электрон под действием электрического поля движется по металлу с тренем.

Подвижность

Главная характеристика частц в механике Аристотеля — их подвижность $u$ — скорость частцы под воздействием единичной силы. Согласно формуле (4) подвижность «среднего» электрона равна $\sigma/e^2n$.

В отличие от средней скорости, подвижность не зависит от величины приложенной силы.

Приятно не подвижность выражать через удельную электропроводность, а наоборот, удельную электропроводность выражать через подвижность:

$$\sigma = ne^2u. \tag{5}$$

*) См. статью М. И. Каганова, Г. Я. Любарского «О механике Аристотеля» («Квант» № 8, 1972).

Может возникнуть вопрос: зачем одну характеристку металла (электропроводность $\sigma$) выражать через две другие?

Это делают потому, что величины $n$ и $u$ определяют различные, можно сказать, независимые характеристки металла. Число свободных электронов в единице объема $n$ практически не изменяется с температурой, мало зависит от состояния образца данного металла (монокристалл или поликристалл, очень чистый или с небольшим количеством примесей). Подвижность $u$ характеризует силу сопротивления среды движению электронов. С изменением температуры она может измениться в соответствии с тренями, тысячи раз; значительное увеличение подвижность при очистке металла от примесей. Число электронов $n$ и подвижность $u$ допускают независимое экспериментальное определение.

Следует подчернуть еще одно. Введение подвижности означает определение пропикновенение в приложении электропроводности: формула (5) имеет право на существование только в том случае, если ток переносится электронами. Вся совокупность экспериментальных фактов подтверждает такую точку зрения.

Эффект Холла

Если проводник, по которым течение ток, помещить в магнитное поле В так, как показано на рисунке, то в направлении оси $y$ возникнет разность потенциальов, пропорциональная величины тока и магнитного поля. Это явление называется эффектом Холла.

На электрон, находящаяся в проводнике с током, кроме силы, действующей со стороны электрического поля, действует также сила Лоренца

$$F = \frac{e}{c} vB \sin(\hat{v}B);$$

направление которой перепедикулярно скорости $v$ и магнитному полю $B$.

На «средний» электрон также действует сила Лоренца, величины которого

18

лите скорость «среднего» электрона, скажем, когда по металлу течение ток, плотность которого равна $1 \, a/mm^2$*).

Если вы не ошиблись при расчете, то вас, наверное, поразило, как малая средняя скорость: под действием электрического поля электронный газ медленно перемещается по проводнику. Это конечно, ни в коей мере не противоречит утверждение о том, что средняя скорость хаотического движения очень велика.

Время свободного пробета

Тот факт, что по проводнику под действием постоянного поля течение постоянный ток, показывает, что электроны, прибретающие энергию от электрического поля, отдают ее металлу (точнее было бы сказал: кристаллический решетке металла); в металле при прохождения тока выделяется тепло (его называют джоулевым). Чтобы не противоречить ранее высказанному утверждению о свободе электронов в металлах (мы его скоро проверим!), предположим, что каждый электрон движется в течение времени $\tau$ под действием внешнего поля, а потом, в коротком акте стольновения с чем-то, отдает прибретенную от электрического поля энергию ($\tau$ — время свободного пробета электрона). Так как ускорение электрона равно $eE/m$, то прирост скорости за время $\tau$ равен $\frac{e\tau}{m} E$, а средний ток есть **)

$$j = \frac{ne^2\tau}{m} E.$$ (8)

Сравнивая эту формулу с формулими (1) и (5), находим

$$\rho = \frac{m}{ne^2\tau}; \quad u = \frac{\tau}{m}.$$ (9)

*) Экспериментальное определение скорости носителей заряда описано в статье В. В. Майера «С какой скоростью движется нонны» («Кваант» № 4, 1973).
**) Формулу (8) можно вывести значительно более аккуратно. Пострайтесь это сделать, рассмотреть электроны, пересекающие плоскость, расположенную perpendicularно вектору $E$.

Это — очень важные формулы. Они связываются макросопперсные величины (удельное сопротивление, подвижность) с параметрами, характеризующими движение отдельных электронов. Не надо, правда, забывать, что $\tau$ — тоже средняя характеристика.

Вместо времени свободного пробета иогда удобно пользоваться понятным дляны свободного пробета:

$$l = <v>\tau,$$ (10)

$l$ — расстояние, которое проходит (в среднем) электрон между двумя стольновениями, $<v>$ — средняя скоростьхаотического движения электронов. Для электронного газа, как мы уже говорили, $<v>$ не зависит от температуры и температурные зависимости $l$ и $\tau$ совпадают.

Теперь проверим, можно ли в действительности считать электронов свободными. Выше мы подчитали подвижность электронов меди. Она оказалась равной $6 \cdot 10^{12} \, c/e$. Отсюда и из формул (9) и (10) следует:

$$\tau \approx 2 \cdot 10^{-14} \, c; \quad l \approx 2 \cdot 10^{-6} \, cm,$$ (11)

так как $m \approx 10^{-27} \, e$, а $<v> \approx 3 \cdot 10^8 \, cm/c$.

Значения $\tau$ и $l$ полностью подтверждают нашей представление о свободе электронов проводимости: между двумя стольновыми электронsproходит расстояние, встрояшающее размеры atoms! При понжении температуры электропроводность металлов возвращает, возвращает подвижность электронов, а следовательно, возвращает и время свободного пробета — более отчетливо проявляется свобода электрона.

Можно ли неопределенно изменить время свободного пробета электронов $\tau$ или их длину свободного пробета $l$? Отвечая на этот вопрос, мы не должны забывать, что в эксперименте мы всегда имеем дело со всеми электронами сразу — просто с образцом металла (проволочкой, пластинкой). Или, другими словами, следим за движением «среднего» электрона, под-