Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

61

4. Решить уравнение
   $$\frac{3(\cos 2x + \text{ctg} 2x)}{\text{ctg} 2x - \cos 2x} - 2(\sin 2x + 1) = 0.$$

5. Острый угол прямого треугольника равен $\alpha$, радиус окружности, касающей гипotenузы и продолженный двух катетов, равен $R$. Найти длину гипotenузы этого треугольника.

А. В. Ефимов

Московский институт радиотехники, электронники и автоматики

Развитие науки, технически, производства славит перед конструкторами новые задачи, требует инженеров новых специализностей. Московский институт радиотехники, электронники и автоматики — один из новых взовстволццы. Институт готовит инженеров широкого профиля по следующим специализостям, охватывающим основные направления новой техники в области радиоэлектроники: радиотехника, конструкрование и производство радиоаппаратуры, автоматика и телемеханика, автоматизированные системы управления, электронные вычислительные машины, конструкрование и производство электронно-вычислительной аппаратуры, полупроводниковые приборы, промышленная электронка, электронные приборы, электронаустика и ультразвуковая техника.

Дневное отделение МИРЭА имеет три факультета: радиотехнические системы и устройства (PT), автоматизированные системы управления (ACУ), электронные и квантовые приборы (ЭКП).

Ниже мы приводим три варианта вступительного письменного экзамена по математике 1972 года в МИРЭА.

Вариант 1

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} x^3 + y^3 = 91, \\ x + y = 7. \end{cases}$$

2. Решить уравнение
   $$\frac{\lg(3x - 5)}{\lg(3x^2 + 25)} = \frac{1}{2}.$$

3. Решить уравнение
   $$\frac{1}{2}(\cos 5x + \cos 7x) - \cos^2 2x + \sin^2 3x = 0,$$
   $$|x| < \frac{\pi}{3}.$$

4. В треугольнике $ABC$ на основании $BC$ или на его продолжении взята произвольным образом точка $D$ и около треугольников $ACD$ и $BAD$ описаны окружности. Доказать, что отношение радиусов этих окружностей есть величины постоянная. Найти такое положение точки $D$, для которого эти радиусы будут иметь меньшешуюеличину.

5. Решить неравенство
   $$\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x - 3 > 0.$$

Вариант 2

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{3}{2}. \end{cases}$$

2. Решить уравнение
   $$3^2x + 3 - 4 \cdot 3^x + 1 = 0.$$

3. Решить уравнение
   $$\sin^3 z \cdot \cos z - \sin z \cdot \cos^3 z = \frac{\sqrt{2}}{8}, |z| < 0, 2.$$

4. Расстояние между центрами двух пересекающих кругов радиусов $R$ и $r$ равно $d$. Найти площадь их общей части.

5. Вычислить
   $$a^{1972} + a^{\frac{1}{1972}}, \text{ если } a^2 + a + 1 = 0.$$

Вариант 3

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} x^3 - y^3 = 124, \\ x^2 + xy + y^2 = 31. \end{cases}$$

2. Решить уравнение
   $$3^2 - x \cdot 2^2x + 7 \cdot 2^x = 2 \cdot 3^x.$$

3. Решить уравнение
   $$\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}, |x| < \frac{\pi}{2}.$$

4. Доказать, что во всяком треугольнике имеет место следующие:
   $$\frac{a(a + c - b)}{b(b + c - a)} = \frac{1 - \cos A}{1 - \cos B}.$$

5. Найти $\log_3 10$, если известны: $\log_2 15 = a$, $\log_8 12 = b$.

О. П. Чоненко