Геометрические задачи

57

Задание 10. Где расположены комплекские числа z также, что неравенство
$$|z+2|a^2-2|z+2|a+1>0$$
(7) верно для всех действительных значений a?

Решение. Если $z=-2$, то неравенство (7) принимает вид $1>0$ и, очевидно, справедливо для всех действительных значений a. Если же $z\neq-2$, то (7) представляет собой неравенство второй степени относительной a. Так как в этом случае $|z+2|>0$, то это неравенство будет справедливо для всех a в тех и только в тех случаях, когда дискрипминент квадратного трехчлена отрицательен, то есть если
$$|z+2|^2-|z+2|<0.$$
Отсюда немедленно получаем двойное неравенство
$$0<|z+2|<1.$$
Учитывая, что и при $|z+2|=0$ неравенство (7) выполняется при всех a, заключаем, что искомые комплекские числа заполют внутренность кругга радиуса 1 с центром в точке $(-2, 0)$.

Упражнения

1. (МГУ, геологический ф-т, 1961). При каких действительных значениях x и y числа $-3+ix^2y$ и $x^2+y+4i$ изобразаются точками, симметричными относительно оси абсцисс?
2. (МГУ, экономический ф-т, 1970). Где расположены комплекские числа z, удовлетворющие условию $|z|-z=1+2i$?
   Указать, где расположены комплекские числа z, удовлетворющие следующим соотношением:
3. $|i-1-2z| \geq 9$;
4. $|z-i|=|z+i|=|z-1+i|$;
5. $|z-2|^2+|z+2|^2=26$;
6. $|z+3\pi-\pi\sqrt{3}i|=\pi$, arg $z=\frac{5}{6}\pi$.
7. (МГУ, ф-т психологии, 1966). Где расположены комплекские числа z, для которых
   $$\log_{1/2}|z-2|>\log_{1/2}|z|$$
8. (МГУ, физологический ф-т, 1971). Где расположены комплекские числа z, для которых
   $$\log_2(1+|z^2-i|)+\log_{16}\frac{1}{(1+|z^2+i|)^4}=0$$

Геометрические задачи

1. Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 2.
2. Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 20, и площадь которых — целое число.
3. Доказать, что число
   $$\frac{4p^3+9p^2+5p}{6}$$
   целое при натуральных p.
   4*. Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 20, и площадь которых — целое число.
   5**. Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 20, и площадь которых — целое число.
4. Доказать, что в любом многоугольнике есть по крайней мере две стороны, относительные которых больше или равно 1 и меньше 2.
5. Точки P, Q, R, S делят стороны четырехугольника ABCD так, что $AP:PB=DQ:QC=m$ и $AR:RD=BS:SC=n$.
6. Доказать, что отрезки PQ и RS делят друг друга в том же относении.

Н. В.