Площадь под гиперболой, логарифм и экспонента

30

1. Введение.
   Определение логарифма

Показательная функция $x \rightarrow a^x$ изучается в школе после нескольких обобщений операции возвывания в степени: сначала определяется степень с натуральным показателем, затем с разциональным и, наконец, с irrationalным показателем. Логарифм определяется затем как функция, обратная показательной.

Мы поступим начете: начнем сразу с определения логарифма, а потом перейдем к обратной функции — «экспоненте». Определение, которое мы сейчас даим, позволяет изучить основные свойства этих функций и получить оценки, особенно важные для физических приложений, а также продемонстрировать один из часто встречающихся в математике способов построения новых функций по уже известным.

Такой известной функцией послужит нам функция $x \rightarrow \frac{1}{x}$, график которого $y = \frac{1}{x}$ — знакомая вам гипербола.

Определение. Пусть $b$ — положительное число. Обозначим через $\ln b$ число, модель которого равен площади функции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = b$, а знак — плоск, если $b > 1$ (рис. 1, а), и минус, если $b < 1$ (рис. 1, б); если $b = 1$, то $\ln b = 0$.

Функция $b \rightarrow \ln b$ называется натуральным логарифмом.

Мы видим скоро, что $\ln b$ действительное есть логарифм числа $b$ по основанию $e$, где $e = 2,71828\dots$ — заменательная математическая константа, о которой уже расссказывалась в «Кванте» (см. статью Л. Г. Л именова «О числе $e$ и $n$» в № 5 за 1972 г.).

Для тех, кто знаком с понятным интеграла (например, по статью Ю. И. Ионина в «Кванте» № 9), нашей определение логарифма можно формулировать так:

$$\ln b = \begin{cases} \int \frac{1}{x} dx, \text{ если } b > 1, \\ 0, \text{ если } b = 1, \\ -\int \frac{1}{x} dx, \text{ если } 0 < b < 1. \end{cases}$$

Мы будем иногда ссылаться на статьи «О числе $e$» и «Интеграл», но лишь для сопоставления: предварительноного знакомства с ним от читателя не требуется. Читатель, который хотел бы детально и строго проследить за всеми рассужdenями и решить задачи (а в них заключаена значительная часть содержания статьи), потребуется знание основных свойства действительных чисел *). Однако Sta-

*) См., например, пробный учебник Б. Е. Вейцца и И. Т. Демидова «Алгебра и начала анализа», 9 класс, М., «Просвещение», 1969.

31

Рис. 1.
тья написана по возможности так, чтобы основные факты, касающиеся свойств логарифма и экспоненты, можно было понять, пользовать лишь наивными представлениями о действительных числах, непрерывности, пределе и т.п., не вникая в тонкости, связанные со строгими определениями этих понятий.

2. Площадь
   Одно из понятей, которое следует бы строго определить, — это понятие площади. Действительно, нужно обяснить, что мы понимаем под площадью «криволинейной трапеции» (см. рис. 1). Ведь в школе речь идет только о площадях многоугольника, кругга и его частей, а наша трапеция с одного бока ограничена гиперболой.

Здесть мы ограничимся заменением, что площадь — это функция, которое можно определить на достаточно широком классе функции (в этот класс включаются и многоугольники, и все выпуклые ограниченные функции, и наша «трапеция») так, чтобы выполнялись условия:

1. площадь любой функции — число неотрицательное;
2. площади равных (конгруэнтных) функции равны;
3. если функция разрезать на две части, для каждой из которых площадь определена, то сумма этих площадей равна площади всех функций;

Рис. 2.
4) площадь прямогольника со стороны $a$ и $b$ равна $ab$.

Описывать класс функции, для которых можно определить такую функцию $S$, мы не будем, но доказем, что условиями 1—4 площадь $S$ «криволинейной трапеции» $a \leq x \leq b$; $0 \leq y \leq \frac{1}{x}$ (рис. 2) определяется однозначно.

Для этого разделим отрезок $[a, b]$ на $n$ равных частей и построим две «лестницы» — ступенчатые функции, состоящие из прямогольников с основаниями $\frac{b-a}{n}$ на оси $Ox$, из которых одна содержит нашу кривolinейную трапецию, а другая содержится в ней (рис. 2). Пусть $S'_n$ и $S''_n$ — площади этих «лестниц» $^*$). Ясно, что $S'_n < S < S''_n$. С другой стороны, ясно, что

$$S''_n - S'_n = \frac{b-a}{n} (a^{-1} - b^{-1}),$$

то есть при достаточно большом $n$ разность между $S''_n$ и $S'_n$ может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому существует только одно число $S$, заключенное между $S'_n$ и $S''_n$ при всех $n$ (отсюда следует также, что обе последовательности $S'_n$ и $S''_n$ с ростом $n$ приближаются к $S$, то есть, что $S$ является их общим пределом).

*) Эти площади мы умеем определить с помощью условия 3 и 4.

32

3. Основное свойство натурального логарифма

Это свойство выражается формулой

$$\ln x_1 x_2 = \ln x_1 + \ln x_2$$

(1)

(при $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$)

и означает, что натуральный логарифм произведение равен сумме натуральных логарифмов сомножителей.

Прежде чем доказывает формулу (1), установим одно важное свойство кривolinейных трапеций для функций $y = \frac{1}{x}$.

Обозначим через $S[A, B]$ площадь кривolinейной трапеции с вершинами $A, B$ (рис. 3). Тогда, если $b > a > 0$ и $k$ — произвольное положительное число, то (рис. 4)

$$S[a, b] = S[ka, kb].$$

(2)

Для доказательства рассмотрим преобразование плоскости, состоящее в растяжении в $k$ раз от оси $Oy$ и в скатии в $k$ раз к оси $Ox$, то есть преобразование, переводящей точку $(x, y)$ в точку $(kx, \frac{y}{k})$ (рис. 5). Легко видеть, что это преобразование по:

$$\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \int_k^a \frac{1}{x} \, dx.$$

34

5. Экспонента

Можно доказать, что функция, изученная нами в предыдущих параграфах, принимает все действительные значения *). При этом каждое значение принимается, конечно,ровно один раз, то есть при любом $x$ уравнение $\ln y = x$ имеет единственное решение. Для числа $y$, являющегося решением этого уравнения, приято обозначение

$$y = \exp x.$$

Получившаяся новая функция $x \rightarrow \exp x$, обратная к функции $x \rightarrow \ln x$, называется экспонентой.

Заметим, что по определению экспоненты справедливо равенство

$$\exp (\ln x) = \ln (\exp x) = x.$$ (6)

График $y = \exp x$ симметричен графику $y = \ln x$ относительно прямой $y = x$. В самом деле, поскольку $y = \exp x$ равносильно $\ln y = x$, то график экспоненты получается из графика логарифма преобразованием плоскости, при котором точка $(x, y)$ переходит в точку $(y, x)$, а это преобразование — симметрия относительно прямой $y = x$ (рис. 8**)).

*) Мы не будем этого доказать, но заметим, что это почти очевидно «из сообщений непрерывности». Строное доказательство этого факта можно проведен примерно так же, как доказательство существования $\sqrt{a}$ для любого $a \geq 0$.

**) Для того чтобы убедиться в правильности этого рисука, вам следует доказать, что $\ln x < x$ при всех $x > 0$.

Таким образом, экспонента — возрастоящая функция, определяная на всей числовой прямой $-\infty < x < +\infty$ и принимающая положительные значения. Кроме того, экспонента принимает сколь годно больше значения при неограниченном возрастании $x$ и стремится к нулю при $x$, стремящемся к $-\infty$.

6. Основное свойство экспоненты

Это свойство выражается следующей формулой:

$$\exp \left( x_1 + x_2 \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2.$$ (7)

Для его доказательства воспользуемся основным свойством натурального логарифма и соответствием (6). Так как $\ln y_1 y_2 = \ln y_1 + \ln y_2$, то для $y_1 = \exp x_1$ и $y_2 = \exp x_2$ получаем $\ln y_1 y_2 = x_1 + x_2$, то есть $y_1 \cdot y_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$ или $\exp x_1 \cdot \exp x_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$.

Из основного свойства exp (или из соответствующих свойств функции ln) легко вывести, что

$$\exp (-x) = \frac{1}{\exp x}$$

и

$$\exp \left( x_1 + x_2 + \dots + x_n \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2 \dots \cdot \exp x_n).$$

Обозначим число exp1 через $e$. Другими словами, $e$ — это решение уравнения $\ln e = 1$.

Пользоваем основным свойством экспоненты, мы докажем, что для рациональных $x = \frac{m}{n}$ exp $x = e^x$.

Прежде всего при натуральном $m$ exp $m = \exp \left( 1 + 1 + \dots + 1 \right) = \exp 1 \cdot \exp 1 \cdot \dots \cdot \exp 1 = e^m$ и exp $(-m) = \frac{1}{\exp m} = \frac{1}{e^m} = e^{-m}$.

Итак, exp $m = e^m$ при любом целом $m$.

Кроме того, при натуральном $n$

$$\exp \left( \frac{1}{n} \right)^n = \exp \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} \right) = \exp 1 = e,$$

36

истъ тангенс угла ее наклона к оси Ox равен (рис. 9)

$$\text{tg} \alpha = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$$

Когда точка $x_1$ приближается к $x_0$, секущая стремится к предельному положению — к касательной, проведенной к кривой $y = f(x)$ в точке $x_0$. Таким образом, значение произвольной при $x = x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке $(x_0, f(x_0))$.

Попробуем вычислить «мгновенную» скорость изменения для функции $f(x) = \ln x$. Ее приращение на отрезке $[x_0, x_1]$ равно

$$\ln x_1 - \ln x_0 = \ln \frac{x_1}{x_0} = \ln \left(1 + \frac{x_1 - x_0}{x_0}\right),$$

позетом

$$\frac{\ln x_1 - \ln x_0}{x_1 - x_0} = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{\ln(1 + h)}{h},$$

где

$$h = \frac{x_1 - x_0}{x_0}.$$

Когда $x_1$ стремится к $x_0$, величина $h$ стремится к 0. Таким образом, остается выяснить, как ведет себя отношение $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ при малых $h$.

Из нашего определения логарифма, как мы вскоре увидим, легко получаются оценки, из которых следует, что при приближении $h$ к нулю величина $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ приближается к 1, то есть

$$\ln(1 + h) \approx h \text{ (при малых } h).$$

Эту оцень важную для приближенных расчетов формулу можно переписать еще так:

$$\exp h \approx 1 + h \text{ (при малых } h).$$

Отсюда мы выведем ссновные формулы для скорости изменения логарифма и экспоненты:

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

и

$$(\exp x)' = \exp x.$$

9. Оценки натурального логарифма величии единиц

Вот одно из основных свойств логарифма:

$$\left| x - \frac{x^2}{x+1} \right| = \left| \frac{x}{x+1} \right| < \left| \ln(1+x) \right| < |x|.$$

Для доказательства этих неравенств при $x > 0$ достаточно сравнить площадь кривойнейной трапеции $ABCD$ с площадями двух прямых $AD'CB$ и $ADC'B$ (рис. 10). Действительно, площадь кривойнейной трапеции равна $\ln(1+x)$, площадь $AD'CB$ равна

38

слагаемых

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{x^k}{1 \cdot 2 \cdot \dots k} + \dots$$

(16)

подобно тому, как бесконечная геометрическая прогрессия $1 + x + x^2 + \dots$ представляется при $|x| < 1$ функция $y = \frac{1}{1-x}$.

Такое представление удобно по двум причины. Во-первых, для вычисления экспоненты с высокой точностью (например, при составлении таблицы) по формуле $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ хватает сравнительно небольшого числа слагаемых и, во-вторых, это разложение позвольет глубже изучить экспоненту (например, доказать irrationalность числа $e$ (см. задачи 11, 12).

Мы ограничимся доказательством формулы (16) при $x > 0$.

Итак, пусть $T_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ и $S_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{x^n}{n!}$. Мы должны доказать, что

$$\lim S_n(x) = \exp x.$$

По формуле бинома получаем

$$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = 1 + n \cdot \frac{x}{n} + \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \frac{x^2}{n^2} + \dots + \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{\left(1 - \frac{1}{n}\right) x^2}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{\left(1 - \frac{1}{n}\right) x^k}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{x^n}{n!}.$$

Числа, стоящие в правой части этого равенства в круглых скобках, все меньше единицами. Если их заменить единицами, то правая часть уве-
38