Задачи

39

2. Найдите пределы: a) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$;

6. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n}$;

7. Найдите пределы: a) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)$;
8. Найдите угловые коэффициенты касательных к кривым $y = a^x$ и $y = \log_a x$.
9. Найдите предел
   $$\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{a} - 1 \right).$$
10. Используя геометрическое определение логарифма, докажите при $x > 0$ неравенства $\frac{2x}{2+x} < \ln(1+x) < \frac{x(x+2)}{2(x+1)}$, выведите отсюда, что
    $$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x - \frac{x^2}{2} + x^3.$$
11. Dokажите, что $0 < e^x - \left( 1+x \right) + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} < \frac{x^n e^x}{(n+1)!}$ при $x > 0.$
12. Пользовать неравенства при предыдущей задачи, докажите, что число $e$ и разциональное; 6) не является корнем инкактора квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами ($a > 0$).

Задание

1. На плоскости нарисован треугольник $ABC$ и проведены две пересекающие прямые. Точка $P$ и $Q$ движутся равномерно по этим прямым, причем точку пересечения прямых они проходят не одновременно. В каждой момент времени строится точка $R$ такая, что треугольник $PQR$ подбен треугольнику $ABC$, причем преобразование подобия сохраняет ориентацию треугольника.

Найти геометрическое место точек $R$.

2. Обозначим через $\varphi(n)$ количество натуральных чисел, меньше $n$ и взимено простых $n$.

Выразить через $\varphi(n)$ количество звездчатых многоугольников (то есть самопересекающийся многоугольник, все стороны которых равны и все углы равны).

3. Точка $P$ лежит на окружности, описанной вокруг правильно $(2n+1)$-угольника, причем $P$ лежит между вершинами $A_1$ и $A_{2n+1}$.

Доказать, что сумма расстояний от точки $P$ до вершины с нечетными индексами равна сумме расстояний от нее до вершины с четными индексами.

4. В треугольника $ABC$ и $DEF$ данно, что $AB = DE, AC = DF$ и $BAC > EDF$. Доказать, что $\angle ABC$ меньше, чем $\angle DEF$, в зависимости от того, будет ли сумма $\angle ACB + \angle DFE$ меньше, равна или больше $180^\circ$.

5. Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Доказать, что если $BO = OD$ и $AB + BC = AD + DC$, то этот четырехугольник или является параллелограммом, или симметричен относительно диагонали $AC$.