Задачи наших читателей

9

(напомним, что $s^2$ принадлежит полю $P$),
$p_1 + p_2 s) : (r_1 + r_2 s) =$
$$\frac{(p_1 + p_2 s) (r_1 - r_2 s)}{r_1^2 - r_2^2 s^2} =$$
$$= (p_1 + p_2 s) \left( \frac{r_1}{r_1^2 - r_2^2 s^2} - \frac{r_2 s}{r_1^2 - r_2^2 s^2} \right)$$
$(r_1^2 - r_2^2 s^2 \neq 0$, так как иначе $s^2 = r_1^2/r_2^2$, и $s = \pm r_1/r_2$ принадлежит $P$ вопроси условию).

2. Положим $\bar{q} = p_1 - p_2 s$, тогда число $q = p_1 + p_2 s$ удовлетворяет уравнению $(x - q)(x - \bar{q}) = x^2 + dx + e = 0$, где $d = -(q + \bar{q}) = -2p_1$, $e = q \bar{q} = p_1^2 - p_2^2 s^2$.

Доказательство леммы 1. Докажем лемму 1 от противного. Пусть уравнение (4) имеет корень $q$ в поле $Q$. Тогда по лемме 2 число $q$ удовлетворяет системе уравнений
$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0,$$
$$x^2 + dx + e = 0.$$
(4’) Умножив уравнение (4’) на $(x + a - d)$, вычитем его из уравнения (4). Получим $[b - e - (a - d)d]x + [c - (a - d)e] = 0$. Обозначим первую скобку через $f$, а вторую — через $g$. Тогда $fq + g = 0$. Если $f \neq 0$, то $q = -g/f$ принадлежит полю $P$, что противоречит условию. Если $f = 0$, то и $g = 0$, и значит,
$$x^3 + ax^2 + bx + c - (x + a - d) \times (x^2 + dx + e) = fx + g = 0$$
то есть
$$x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a - d) + (x^2 + dx + e).$$
No тогда уравнение (4) имеет корень $q = d - a$, принадлежший полю $P$, — вопроси условию.

Полученное противоречение доказывает лемму 1, а вместе с ней и теорему 2.

Задание
наших читателей

1. Сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. На диагонали $AC$ взята точка $P$ так, что $|PC| = |AC|/4$. Пусть $E$ — точка пересечения $BP$ и $CD$, $O$ — центр квадрата, $M$ — точка пересечения $BP$ с перпендикуляром $OK$, проведенным из точки $O$ на сторону $BC$.

a) Найти $|CE|$.

b) Доказать, что треугольник $OEM$ равноведренный.

M. И. Айзенберг

2. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. Из произвольной точки этой окружности на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольников опущены соответственно перпендикуляры $h_c$, $h_a$ и $h_b$. Затем из этой же точки опущены перпендикуляры $H_a$, $H_b$ и $H_c$ на касательные к данной окружности соответственно в точках $A$, $B$ и $C$. Доказать, что $H_a + H_b + H_c \geq h_a + h_b + h_c$.

H. В. Шербина

3. Дан 1974-угодник. Его разрешают на $k$ 987-угодников таких, что их вершины либо совпадают с вершинами 1974-угодника, либо лежат внутри него, причем ни одна из вершин какого-либо 987-угодника не является внутренней точкой стороны другого 987-угодника.

Найти наименьшее значение $k$.

M. Биктимиров

4. На плоскости расположены 1973 прямые общего положения (никакие две прямые не параллельны,никакие три прямые не пересекаются в одной точке). При их пересечении образовались 100 многоугольников. Определить число точек пересечения прямых.

П. Иванов