Одиннадцать кругов

21

Одиннадцать кругов

На четвертой странице обложки в круге размещены двадцать три круга. Положение каждой из них определяно точками касания либо с опорными окружностями, либо с опорными прямыми, либо друг с другом. Центры всех опорных окружностей лежат на вертикальном диаметре, точки их пересечения с этим диаметром — или крайние точки диаметра, или центр круга, или середина радиуса.

Одинаково окруженные круги кажутся конгрузентными, не так ли? Но, может быть, зрене нас обманывает? Во всяком случае, с помощью циркуля различение между ними установить не удалось. Так какое же выполняется равенство — точное или приближенное?

На рисунке 1 из рисунка с обложки удалены части, содержащие круги, явно конгрузительные оставшимися однозветным. Двенадцать кругов исчезло, оставшиеся пропусерованы. В том же порядке занутерем их радиусы. Ясно, что если удается провести доказательство гипотезы для кругов на рисунке 1, то его легко распространить на рисунок с обложки.

Проверку начем с желтых кругов. Пусть радиус наибольший из опорных окружностей равен R. Из рисунка 2 видно, что

$$\left(\frac{R}{4}\right)^2 + \left(\frac{R}{2} - r_1\right)^2 = \left(\frac{R}{4} + r_1\right)^2,$$

откуда $r_1 = R/6$. Аналогично из рисунка 3 получаем равенство

$$\left(\frac{R}{2} + r_2\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = (R - r_2)^2,$$

из которого следует, что и $r_2 = R/6$. Теперь вы без труда докажете самостояльно, что $r_3 = R/6$.

А вот для того, чтобы докажать, что $r_4 = R/6$, теоремы Пифогора недостаточно; приходимся восполивать теоремой Стюарта: если в треугольнике со строконами a, b и c из вершины A к строконе a проведится отрезок длины d (рис. 4), который делит ее на отрезки m и n, mo

$$d^2 a = b^2 m + c^2 n - amn.$$

Доказательство теоремы Стюарта следует из равенств $c^2 = d^2 + m^2 - 2mp$ и $b^2 = d^2 + n^2 + 2np$, где p — проекция отрезка d на основание треугольника.

Радиус любого из белых кругов равен R/8. Чтобы докажать это для десятиого круга, можно рассмотреть прямуюугольный треугольник, выделенный красным цветом на рисунке 5.

Доказано почти все, остальное вы без труда сделайте самостояльно. А может быть, вы найдете другое доказательство?

В. Н. Березин