Прикладная математика и математики

Квант 1975, №6 с. 31-38 Тег 4KB0

Л. Е. Садовский

Мы оказались современниками мощного прогресса математических знаний, становления новых разделов математики, новых сфер ее приложений и таких научных направлений, как «математическая экономика», «математическая лингвистика», «математическая психология», «математические методы в биологии».
Вторжение математики внедрилионы для нее области интеллектуальной и практической деятельности человека, создание за последние десятилетия электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) — существенные черты производства во всем мире процесса, именуемого научно-технической революцией.
Этот процесс потребовал перестройки математического образования на всех ступенях: в школах, технических,узах. Вольно или невольно, но мы все — участники этой перестройки.
Учащиеся начальних и средних школ уже изучают математку по новым учебникам, сообщazo новым концепциям и программам. В 1975—1976 годах экспериментальные школа и классы страны закончат применено 3000 учащихся, а в 1977 году все выпускники наших школ будут подготовлены по новым программам.
Учителя. школ уже ведут преподавление по новому, перестраивают методку обучения. Математические кафедры взов и университетов, в свою очередь, вынужданы учитыватьrealно сложенные ситуации и также менять многое в издавна установленных порядках. Научные рабочки, инженеры, чтобы не отстаать, вынужданы овладеть новыми разделами прикладной математики и широко использовать ЭЦВМ.
Таким образом, огромная часть активно работающего общества неосредственно или косвенно включена в процесс математизации наук.
При этом возникнет множество больших и малых проблем. Охватить их, даже частично, в небольшой стране — еще одна проблема (и к тому же неразрешимая!).
Поэтому, имея в виду естественные интересы выпускников средних и специальных физико-математических школа и интернатов, останалось на новом языке, порожденное возрастающей потребностью современного общества в «математизированных кадрах». Здесь я, во-первых, имею в виду существенное расширение математических курсов на традиционных и новых факультетах техническихузов и, во-вторых, факультеты (потоки) прикладной математики, созданные за последние годы в ряде крупнейшихузов страны.
Нынешние выпускники взов к концу текущего столетия станут активной научной и инженерной силой. В условиях быстрое развития технических, технически производств и профессиональных навыков инженер обязан готовиться к осмысленному новых явлениям, к изменению профессиональной направленности, к поисковым работам на стыке различных областей. По словам американского специалиста Гэлбрейта,

Чтобы управлять организацией, возникшей в результате специальизации, нужен специализит в области организации.

Менее всего со временем теряют свою значимость знания в области функциональных дисциплин, в первую очередь — математики с ее приложениями, теоретической механики и физики. В несколько категорий, но выразительный форме об этом пишут авторы книги «Matematika и логика. Ретроспектива и перспективы» («Мир», 1971) М. Кац и С. Улам: «В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой ее результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однако доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выяснить, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более простой истинны. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать».

Знание совокупности законов природы, математических конструкций, теорем, умение логических мыслить, сопоставлять и анализировать факты на основе диалектко-материалистического мировоззрения — вот существенная часть научного калитала инженера. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшем совершенствованию высшего образования в стране» как раз и ориентирует нашу высшую школа на изучение общих закономерностей природы, на получение творых знаний в области функциональных дисциплин, на умение вести самостоятельную поискую работу. Изучение инструкций, описательных дисциплин, частностей устройства агрегатов, технически и т. д. отодвигается на второй план.

О требовании к знаниям молодежи говорил также в своей речи на XVII съезд ВЛКСМ тов. Л. И. Брежнев *): «Наше время —

*) «Правда», 24 апреля 1974 г.

ления (АСУ) и других звеньев народного хозяйства.

По скромным подсчетам, девятая пятилетка потребовала свыше 125 000 специалистов по прикладной математике и АСУ. Более 50 000 математиков-прикладников будет подготовлено за текущее пятилетие.

Более чем в 60 вузах страны началась подготовка таких специалистов. Несколько лет в университетах и крупнейших вузах ведется подготовка инженеров—математиков (или математиков—инженеров). За прошедшие годы страна получила примерно 10 тысяч инженеров—математиков. С 1969 года специальность «инженер—математик» преобразована в новую специальность —«прикладная математика», имеющую несколько специализаций. Основные из них:

математическое обеспечение АСУ,
математическое обеспечение ЭВМ,
применение средств вычислительной техники (к решению инженерных, экономических, управленческих и других задач).

Проблемы, с которыми сталкивается инженер—математик, весьма разнообразны и по своему происхождению, и по трудности. Поэтому охарактеризовать их можно лишь в общих чертах.

Специалисты по математическому обеспечению АСУ занимаются, в основном, проектированием принципиальных схем АСУ, математическим описанием и выбором оптимальных вариантов процессов производства, управления, сбора и обработки информации, построением оптимальных объемных планов (на год, квартал), оперативным планированием (например, суточным), экономико-статистическими исследованиями (от взаимосвязей со смежными производствами и реализации продукции до системы материального поощрения) и другими.

АСУ представляет собой своеобразную иерархическую систему. В ней цель каждой подсистемы состоит в принятии определенных решений. При движении от более крупных частей к более мелким происходит постепенная детализация задач. Чем задача конкретнее, тем она, как правило сложнее. К самым трудным относятся вопросы оперативного планирования и управления. Большие затруднения вызывает установление критериев полезности, оптимальности. Обычно создание обоснованного критерия — часть решения задачи. Примерно таким кругом задач описывается специализация математического обеспечения АСУ — одной из указанных выше специализаций «прикладной математики».

Вторая специализация (математическое обеспечение ЭВМ)— это так называемое внутреннее обеспечение ЭВМ: составление наборов (пакетов) программ, направленных на решение определенного круга задач; изучение различных языков программирования; созда-

ние трансляторов — устройств, воспринимающих текст программ, написанных на «почти человеческом» языке, и переводящих их на язык машины; исследование различных режимов работы отдельной ЭВМ и вычислительных систем, разработка структуры вычислительного процесса.

Третья специализация (применение средств вычислительной техники) связана с подготовкой математиков для поисковых работ в различных областях техники, технологии, экономики, обработки информации, управления.

Здесь требуется умение сформулировать задачу на языке математики — построить ее «математическую модель», изучить эту модель, установить, если это требуется, критерии полезности и выявить условия, их оптимизирующие.

Поэтому специалисты в указанной области и классифицируются как математики.

Подготовка математиков-прикладников ведется в университетах и наиболее крупных втузах страны (в частности, в Ленинградском и Львовском политехнических, Харьковском радиотехническом, Казанском авиационном институтах, в Днепропетровском институте инженеров железнодорожного транспорта, в МАИ, МИЭМ, МИФИ, МФТИ, МИИТе, МИНХ и ГП).

Чтобы стать математиком-прикладником, вовсе не обязательно стремиться в университеты или в столичные города. Эта возможность открыта любителям математики, физики и их приложений во многих учебных заведениях страны.

Математики-прикладники — выпускники специализированных факультетов университетов и втузов — высоко ценятся повсюду. Вспоминаю слова представителя дирекции завода счетно-аналитических машин (САМ), произнесенные им в 1972 году на совещании в Министерстве высшего и среднего специального образования СССР: «Математики и только математики с университетским образованием и выпускники факультетов прикладной математики нужны САМ». Еще одна иллюстрация: математикам-прикладникам, направляемым на работу в вычислительные центры железных дорог, Министерство путей сообщения установило начальный оклад в 160 рублей в месяц.

Заметим, что нужда в специалистах-математиках велика во всех странах мира. Так, потребности европейских стран за период с 1970 по

1975 год оценывания в 400 000 человек, примерно на том же уровне нахождения потребности США.

Основная особенность специализности «прикладная математика» заключается в широкой математической подготовке в сочетании с овладением программмирования на универсальных языках для ЭЦВМ и знанием основ ряда общего перечисленных и инженерных дисциплин — физики, теоретической механики, электротехники, электроники, теории автоматического управления. Широкое математическое образование и активное владение им обеспечивает подготовку к решению неодной какой-либо задачи, а к решению многих различных задач. В то же время обучное инженерное образование приспособлено, как правило, к решению узкого кругга задач. В учебном плане специализности «прикладная математика» из общего числа 4700 учебных часов около 2600 отделений математике, ее приложения, ЭЦВМ и АСУ, предусмотрено 18 различных математических курсов (объемом в 1700 часов) от математического анализа до особенности

подходов и методологии прикладной математики*).

«Распространение математики вширь сопровождается ее проникновением вглубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества. Изменилось и традиционное представление о математиках: место паганелеобразных чудаков заняли в этом представлении молодые люди в ковбойках, занимающиеся лыжным спортом. Все большее число родителей желает определить своих детей в школы с математическим уклоном.» (В. А. Успенский, из предисловия к книге «Математика в современном мире»).

В чем же секрет этой моды? Конечно же, не в том, что профессия математика достижима в итоге малых усилий. Наоборот, не так уж много удастся указать специализаций, требующих стольких усилий и времени, сколько требует специализация математическая. До конца понять это может тот, кто сам занимается математикой: решает задачи, доказывает утверждения, вносит свой большой или малый вклад в развитие этой науки. Следовательно, суть в ином — в том реальном эффекте, который приносят успешные приложения математических методов в решении практических задач и в уверенности в неограниченном росте этого эффекта. Суть также и в том, что математика, как и всякая другая наука, развивается по собственным внутрен-

*) В их числе: линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, общая алгебра, теория графов и комбинаторика, численные методы, теория функций комплексной переменной и специальные функции, функциональный анализ, теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, математическая логика, теория информации и кодирования, теория массового обслуживания, теория игр и исследование операций, методы оптимизации, теория надежности и планирования эксперимента, электронные вычислительные машины и программирование, теория алгоритмических языков, элементы и устройства АСУ.

ним законам, но питается идеями и задачами, возникшими как внутри, так и вне ее; она ставит перед собой цели, диктуемые собственной логикой развития и развитием других наук. Эти задачи и цели способны увлекать своей сложностью, необычностью и красотой тех, кто способен к восприятию этих особенностей. Нельзя не учитывать также и требований общества. Известный английский математик-педагог У. Сойер пишет по этому поводу в книге «Путь в современную математику» («Мир», 1972): «Автоматизация все больше будет вытеснять человека в область творческих профессий, требующих качеств, свойственных исключительно человеку: понятливости, принципиальности, оригинальности, критичности, инициативности. Очевидно, что «автоматизированное общество» предъявит особый спрос на высокоразвитое творческое начало». И далее: «Человеку 2000 года, несомненно, потребуется гораздо более солидный научный фундамент, чем нашему современнику. Быть может, ему понадобится знакомство с исследованием операций, чтобы принимать рациональные решения при большом разнообразии ситуаций. В его общем образовании некоторые разделы математики несомненно займут свое место».

Кстати, в связи с исследованием операций (понимаемых как мероприятия, подчиненные единому замыслу и направленные к достижению определенных целей) небезынтересно шутливое высказывание известного специалиста Т. Саати: «Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще более плохие ответы другими методами». Однако в каждой шутке есть доля правды: методы прикладной математики применимы зачастую в тех ситуациях, в которых иные подходы не дают сколько-нибудь приемлемых результатов.

Вопрос о том, что такое прикладная математика, естественно предварить вопрос: «Что такое математика?»

Широко известны, ставшие классические, слова Ф. Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действияного мира» («Анти — Дюринг», К. Маркс и Ф. Энгельс, соч. изд. 2, т. XX, с. 37).

Об особенности математики высказывались многое учены. Так, профессор МГУ Г. Е. Шилов говорил на заседании математической секции Московского Дома ученых в 1972 году: «Matematika есть наука о математических структурах, расматриваемых в их предистории, то есть накопления фактов и связей явлений действительности, в их истории — анализе и расчленения логических связей и понятий, критизации расчлененных понятий в аксиомы, в их окончательном аксиomatическом оформлении и развития и, наконец, в их выходе в другие области как самой математики, так и других наук».

В то же время известный математик Р. Курант весна образно писал: «На вопрос — что такое математика? — невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь физических обобщений, семантических определений или с помощью объектаемого газетно-журналного многоословия. Так же как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сутки математики еще в большей степени необходимого продлиного проникновения в составляющие ее элементы.

Принимая во внимание все вышесказанное, можно тем не менее дать математике некоторое общее определение… Взаимосвязь общего с частным, делукини с конструктивным подходом, логики с воображением — именно они и составляют самую существующее живот математики…

Иными словами, полез в слабые абстрактной обшости должен исходить из конкретного и частного и завершаться конкретным и частным» («Matematika в современном мире», «Мир», 1967, с. 16).

Нельзя не согласиться с тем, что попытки дать исчерпывающей определение математики ознакомят в нейе границы, в то время как математика способна моделировать всевозможные процессы мышления и многочисленные ситуаций, изучаемые в науке и технике. Именно в построении математических модели является процесссов, схем, в их исследовании и проявляются прикладные аспекты математики.

Всякий научный подход связа с построением модели изучаемого явления. Модель в определении смысле процесса самого объекта, обычно она имитирует не все, а лишь наибольшее важные его особенности и потому удобнее для изучения. Модели могут иметь различную природу: математическое, физическое, химическое, экономическое и иную. Все зависит от изучаемого объекта (явления, ситуации) и от тех его свойств, которые учитываются модели. Так, математический модель токов, протекающих в электрической цепи, служит система линейных уравнений (закон Кирхгофа). Физическая модель, воспроизводящей работу водителя поезда, является автоматическим. Физическая модель строительной конструкции может служить системе упругих стержней, а математическая модель последней — система уравнений, связывающая напряжение в этих стержнях. Н. Винер и его сотрудники построили механическую модель, имитирующую дрожжие руки человека с нарушенной координатой движения. Затем была построена математическая модель изучаемого явления.

В действительности нет ничего необъчно в построении модели: каждый инженерный, экономический иной расчет, выполняемый с привлечением средств и языка математики, оказывается, в существии, математических моделированем.

Хорошо знакомые вам понятие числа, функции, уравнения служат в известных условиях математических моделями определенных реальных объектов. Существуют экономико-математические модели использования математных ресурсов различных отраслями хозяйства, модели производства и потребления и другие.

Проблемы, связанные с выбором модели, ее изучением, оптимизации некоторых критериев ее качества, неизбежными упрощениями предположениями, необходимыми вычислениями и многое другое, весма многообразны, трудны и не могут здесь рассматривать. Все сказанное носит лишь иллюстративный характер: вот, например, чем занимается прикладная математика. По вопросу о том, является ли прикладная математика самостоятельной дисциплиной, ныне не существует единого мнения. Однако это обстоятельство для нас несущенено. В особенности, в условиях отсутствия исчерпывающей дефиниции всей математики как таковой.

Видимо не существует бесспорных признаков, по которым можно классфицировать математические конструкции на теоретические («численные») и прикладные. Все относительно. Так, например, во времена К. Гаусса комплексные числа большистом математков рассматривались как весма абстрактные объекты. Но прошли годы, возникла теория функций комплексной переменной, ее аппарат нашел приложения в гидро- и азродинамике (в расчетах подъемной силы крыла самолета), в теоретической электротехнике и других областях. Абстрактная теория групп, ведущая свое начало от работ Лагранжа (1736—1813), нашла изучительное применение в конкретных задачах кристалографии, теоретической физики, в квантовой механике, в теории кодирования (в математической науке о передаче сообщений по линяям связи), в проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радиках. Существование некоторых элементов частицы было предвосшено теорией группы задолго до их фактического обнаружения *).

В терминах теории групп Ф. Клейн классифицировал различные геометрины. Понятие группы, наряду с понятиями множества, функции, предела стало одним из основных в математике. Подобными примерами перерастиния чистого в прикладное и обратными процесами история математики очень богата.

В уже упомянутой книге Р. Курант писал: «На самом деле между «численой» и «прикладной» математкой невозможно проверить четку граны. Поэтому-то в математике и не должны быть разделения на часту верховых жрецов, поклоняющихся неогрешимой математической красоте и внимащим только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» в лучшем случае симплот человекской ограниченности, удерживающей большинство людей от свободного странствования по необъятным простом человекских интерсов».

Об этом же писал Ф. Клейн в книге «Элементарная математика с точки зрения высшей» (Гостехидат, 1934): «Чисто логическое концепции должны составить, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщащий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относится преимущественно».

*) Так, например, существование позитрона иmezона постулировалось в работах П. Дирака и Х. Юкавы. Свойства этих части изучались математическим методами до их экспериментального подтверждения.

щественно к ее приложениям, то есть к взаимным отношениям ее астрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать живое существое с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов». Уместно также вспомнить известный афоризм: «Чистые математики делают то, что можно, так, как нужно, а прикладники — то, что нужно, так, как можно».

Подчеркием, что подготовка кадров на факультетах прикладной математики в технической школе представляет две взаимосвязанные цели: создать устойчивую основу математических знаний и привить вкус к прикладным задачам, научить методам прикладной математики, методам вычисления, опыт построения и исследования математических моделей с использованием ЭЦВМ, пониманию того, что приложенное решение лучше, чем полное его отсутствие, что первое приложение сегодня подчас важнее лучшего через месяц.

«В нашей стране сложились, в основном, два направления подготовки кадров высшей квалификации — университеты и техническая школа. Первое направление отличается широкой общеначальной подготовкой, но не готовит выпускников в полной мере для работы в промышленных научно-исследовательских институтах и laboratories; техническая школа не дает достаточно широкой подготовки». Сейчас наблюдается определенное слияние университетского и технического образования, создан целья ряд вызов (технических университетов), сочетающих в себе элементы (если угодно, премиущества) университетской и технической школ» (О. М. Белоцерковский. Технические университеты. — В сб. «Будущее науки», М., «Знание», 1974.).

Воспитание математика-прикладника во многом зависит от процесса учебы и преподавания. В нем, как и