Квант
Квант для младших школьников

Животные на... плоскости

Квант 1979, №6с. 28, 31, 32Тег 3DW1

28

Животные
на … Плокости

В пятом классе на уроках математики вы начинаете изучать координатную плоскость. Учителяница предлагает вам по координатам точки найти ее на плоскости, определять координаты точки, построить график каждой нибудь функции… Чтобы задания сделать более веселыми, «Квант» три года назад объявил «соревнование художников». На координатной плоскости задаются координаты несколько точек. Соседние точки соединяются отрезками. Если точки найдены правильно, то в результате получится какой-нибудь рисунок: например, слон, собака, кошка, мышка, белка, песец, пингвин, утенок, лось, бегущая лошадь, лисенок, тюлень (эти рисунки присланы в редакцию ученики средней школы № 5 г. Среднеуральска Свердловской области, учитель математики — Т. Н. Сергеева). Сегодня мы предлагаем «записать» этих животных «в координатах» и,kроме того, нарисовать такие картины:

  1. (3; 3), (0; 3), (−3; 2), (−5; 2), (−7; 4), (−8; 3), (−7; 1), (−8; −1), (−7; −2), (−5; 0), (−1; −2), (0; −4), (2; −4), (3; −2), (5; −2), (7; 0), (5; 2), (3; 3), (2; 4), (−3; 4), (−4; 2); глаз (5; 0).

  2. (−9; 7), (−7; 8), (−6; 10), (−3; 10), (−1; 7), (8; 1), (15; −2), (13; −4), (6; 0), (4; −1), (3; −1), (1; −7), (−1; −7), (1; −6), (2; −1),

(0; −1), (−2; −7), (−4; −7), (−2; −6), (−1; −1), (−5; 2), (−6; 5), (−7; 6), (−9; 7); глаз (−5; 8).

  1. (1; 7), (0; 10), (−1; 11), (−2; 10), (0; 7), (−2; 5), (−7; 3), (−8; 0), (−9; 1), (−9; 0), (−7; −2), (−2; −2), (−3; −1), (−4; −1), (−1; 3), (0; −2), (1; −2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10); глаз (1; 6).

  2. (−5; 1), (−6; 3), (−6; 6), (−3; 8), (−1; 10), (2; 11), (3; 10), (3; 9), (6; 10), (7; 9), (7; 7), (4; 4), (4; 1), (2; −1), (2; −4), (5; −4), (6; −7), (5; −8), (1; −10), (1; −12), (−4; −12), (−7; −9), (−7; −7), (−6; −6), (−4; −7), (−4; −5), (−6; −4), (−6; −2), (−4; −2), (−3; −1), (−5; 0), (−5; 1); глаз (−3; 4), (−2; 4), (−2,5; 3), (−3; 4).

  3. (−9; 4), (−5; 4), (−3; 5), (−7; 7), (−8; 7), (−10; 8), (−9; 8), (−10; 10), (−8; 9), (−10; 11), (−8; 10), (−9; 12), (−7; 10), (−5; 9), (−2; 8), (−1; 5), (0; 5), (−1; 7), (−1; 8), (1; 10), (2; 10), (2; 9,5), (3; 9), (1; 9), (0; 8), (0; 7), (1; 4), (−1; 3), (−3; 2), (−6; 2), (−6; 3), (−9; 4); глаз (1,5;9,5).

(Задание 1—5 составлены ребятами из Среднеуральска.)

  1. (7; 0), (7; −1), (6,5; −2,5), (7; −5,5), (6; −6,5), (5; −6,5), (6; −5,5), (5; −2), (3,5; −0,5), (1; −1), (−2; −1), (−2; −2), (−3; −3), (−3; −5,5), (−4; 6,5), (−5; −6,5), (−4; −5,5), (−4; −2), (−5; 0); (−5; 2), (−7; 4), (−9,5; 4,5), (−10; 5,5), (−7,5; 5,5), (−7; 6), (−6; 6), (−5; 7), (−5; 6), (−3; 4), (−1; 3), (2; −2), (5; 3), (7; 2), (8; −2), (7; −3) и (5,5; −4,5), (5,5; −5,5), (4,5; −6,5), (4,5; −5,5), (5; −2) и (−2; −2), (−1,5; −5,5), (−2,5; −6,5), (−3,5; −6,5), (−2,5; −5,5), (−3; −3); глаз (−7; 5,5).

  2. (2; 12), (2; 13), (3; 13,5), (4; 13,5), (5; 13), (3; 4), (8; 4), (6; 1), (3; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 11), (4; 12,5), (3,5; 12,5), (2; 11), (2; 12), (3; 12) и (3; 3), (4; 2), (6; 2); глаз (2,5; 12,5).

(В заданных и seven читателей А. Наймовым из Таджикстана, точки, разделенные союзом «и», соединять не нужно.)
Кто у вас получился?

31

мы, как правило, с существенно больших расстояний (объчно с расстояния наличишего видения, равного 25 см), поэтому в сразу попадает очень узкий пучок лучей, имеющих примерно одинаковые углы наклона. (Проверьте самостояльно, что для лучей, попадающих в центр зрача и на его края, система уравнения, аналогичных уравнениям (1) — (3), будет совместной, то есть продолжения преломленных лучей пересекутся в одной точке.)

Таким образом, мы можем видеть предметы, находящиеся под водой, благодаря тому, что сразу нашнего глаза является естественным ограничением ширины световых лучков, созданных избражения.

Задача 2. На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек, наклонившись над сосудом, видит изображение своего глаза в зеркале на расстоянии d=25d = 25 см (рис. 2). Расстояние от глаза до поверхности воды h=5h = 5 см. Показатель преломления воды n=4/3n = 4/3. Определить глубину HH сосуда.

Самое главное при решении задачи такого рода — аккуратно постройход лучей. Пусть точка AA — какая-то точка глаза человека. Для построения избражения точки нужно использовать, как минимум, два луча.

Рис. 2.

В качестве одного луча обычно берется луч, перpendикулярный границе раздела различных сред,— на рисунке 2 это луч ABAB. Он проходит границу раздела, не преломляясь, и отражается от зеркала без изменения угла наклона.

Вторым лучом пусты будет произвольный луч ACAC. На границе раздела воздуха — вода (в точке CC) он испытает преломление, doit дет до зеркала, в точке DD отражается от него, еще раз преломится на границе раздела (в точке EE) и выйдет в воздух по направлению EFEF.

На пересечении продолжений лучей BABA и EFEF и будет находиться избражение A′A' выбранной точки AA.

Теперь займемся расчетами. Поскольку размеры зрача глазы (они существенно меньше расстояний dd, hh и HH), все интересующие нас углы глазы, и их тангенсы можно заменять снусами или самими углами. (Заметим, что на рисунке 2 для наглядности масштаб по горизонтали сильно растут.) Как следует из рисунка 2,

∣BC∣=htgα1=hsin⁡α1,|BC| = h \mathrm{tg} \alpha_1 = h \sin \alpha_1,
∣CE∣=2Htgα2=2Htgβ1=2Hsin⁡β1/n,|CE| = 2H \mathrm{tg} \alpha_2 = 2H \mathrm{tg} \beta_1 = 2H \sin \beta_1/n,
d=h+∣BA′∣=h+∣BE∣/tgβ3=h+∣BE∣/tgα1=h+(∣BC∣+∣CE∣)/sin⁡α1=2h+2H/n.d = h + |BA'| = h + |BE|/\mathrm{tg} \beta_3 = h + |BE|/\mathrm{tg} \alpha_1 = h + (|BC| + |CE|)/\sin \alpha_1 = 2h + 2H/n.

Отсюда

H=n(d/2−h)=10 см.H = n (d/2 - h) = 10\text{ см.}

Вы видели, что в этой задаче глаз является как источником светового излучения, так и его приемником. Подобные ситуации позволяют при рассмотрении оптических систем, содержащих плоские или сферические зеркала.

Особый и весма общирный класс составляют задачи, связанные с коррекцией недостатков глаза с помощью очков. Как известно, глаз человека способен аккомодировать, то есть «приспособливаться» к резкому видению предметов, находящихся от него на различных расстояниях. В силу тех или иных принципов пределяя акко-

32

модации не для всякого глаза один и те же.

Если человек резко видит предметы, находящиеся не дальше неекоторого расстояния, такой дефект зрения называют близорукостью. Если же человек хорошо видит предметы, расположенные не ближе какого-то расстояния, это — дальнейорукость. Такие дефекты, как близорукость и дальнейорукость, можно более или менее успешно компенсировать с помощью очков (именно кommen сротовать, а не излечить).

К чему же своится роль очков? Очевидно, что их линзы должны создавать изображения расстриваемых предметов на удобных для данного глаза расстояниях. Это значит, что одним из требований, предъявляемых к очковым линзам, является требование того, чтобы изображения предметов находимись в пределах четкого видения глаз. Второе требование — полученные изображения должны быть, конечно же, прямыми. А прямые изображения, создавемые тонкими линзами, всегда минимые. Таким образом, линзы очков должны создавать прямые минимые изображения на расстояниях, находящиеся в пределах аккомодации глаз.

Разберем две конкретные задачи.

Задача 3. Близоруккий человек видит предметы, находящиеся не дальше 0,5 м от него. Какие очки следует прописать этому человеку, чтобы он мог любиться звездами?

Как мы уже говорили, очковая линза должны создавать минимое изображение, расположенное на таким расстоянии, с которой глаз это изображение видится, в нашем случае — на расстоянии 0,5 м от глаз.

Поскольку изображение удаленного предмета (а звезды действительно удалены от наблюдателя) находится в фокальной плоскости линзы, данному человеку следует прописать очки с линзами, имеющими фокусное расстояние 0,5 м. При этом линзы должны быть рассеивающими, чтобы изображения были минимыми.

Итак, близорукому человеку надо прописать очки с рассеивающими линзами оптической силы D=−2D = -2 диоптрии.

Задача 4. Дальнозоркий человек резко видит предметы, расположенные не ближе d=1d = 1 м от него. В каких очках он нуждается, чтобы цитамь газему, держа ее на расстоянии d0=25d_0 = 25 см от глаз?

Сформулируем четко, что требуется от очковой линзы в данной случае. Эта линза должна создать минимое изображение предмета, находящаяся от нее на расстоянии d0=25d_0 = 25 см (небольшим зазором между глазом и линзой можно претензить), на расстоянии f=d=1f = d = 1 м. Данных вполнехвать, чтобы воспользоваться формулой линзы:

D=1d0−1f=3 дитрD = \frac{1}{d_0} - \frac{1}{f} = 3 \text{ дитр}

(знак «минус» стоит в формуле потому, что изображение должно быть минимым).

Таким образом, дальнейорукому человеку нужно очки с собирающим линзами оптической силы D=+3D = +3 диоптрии.

Уражнения

  1. Близоруккий человек видит предметы, удаленные от него на расстояния от d1=10d_1 = 10 до d2=50d_2 = 50 см. При выписке рецепта на очки врача, правильно указыва абсолотную величины оптической силы линз, забыл указать, что линзы отрицательные. В каких пределях этот человек будет видеть в выписанных очках?

  2. Человек рассматривает отражения предметов в посередренном стеклянном шаре диаметром 2R=322R = 32 см. С какого максимального расстояния он будет без очков предметы, если обчно он пользовается очками с оптической силой D=5D = 5 дитр?

  3. Человек рассматривает изображение своего глаза в плоском зеркале, расположенном на расстоянии a=20a = 20 см. Если на пути лучей вплотную к зеркалу поставить собирашую линзу, то угловой размер изображения увеличится в 1,5 раза. При этом изображение остается минимым. Каково формуле расстояние линзы?

  4. Человек рассматривает свое линз в волнутом зеркале, находящаяся на расстоянии a=15a = 15 см от него. Если он наденет очки, то это же зеркало располагает на расстоянии b=10b = 10 см от себя. Какие очки он носит? Расстояние на лучшего зрении для человека с нормальным зрением принять равным d0=30d_0 = 30 см.