Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина (математический факультет)

49

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$3^2 - x = 3^x - 8.$$

2. Вычислить без таблицы
   $$\cos^4 \frac{\pi}{8} + 13 \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}.$$

3. Решить неравенство
   $$\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} > 1.$$

4. Решить неравенство
   $$f'(x) \leq g'(x)$$
   если $f(x) = \frac{2}{x}$; $g(x) = x - x^3$.

5. Данные четые точки $A(-2; -3; 8)$, $B(2; 1; 7)$, $C(1; 4; 5)$ и $D(-7; -4; 7)$.
   Проверить, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$4^x + \sqrt{x^2 - 2} - 5 \cdot 2^x - 1 + \sqrt{x^2 - 2} = 6.$$

2. Решить уравнение
   $$\sin^2 x = \sin 3x + \cos x (\cos x - 1).$$

3. Решить неравенство
   $$\left| \frac{3x}{x^2 - 4} \right| \leq 1.$$

4. При каком значении $z$ векторы $\overrightarrow{a} = (6; 0; 12)$ и $\overrightarrow{b} = (-8; 13; 7)$ перпендикулярны.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
   $$y = \frac{1}{\cos^2 x}, y = 0, x = 0 \text{ и } x = \frac{\pi}{4}.$$

Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$7^1 gx = 98 - x^1 g^7.$$

2. Решить уравнение
   $$2 + \cos 4x = 2 \sin^2 x.$$

3. Решить неравенство
   $$\left| \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 4} \right| < 1.$$

4. При каком значении $z$ векторы $\overrightarrow{a} = (2; -3; 4)$ и $\overrightarrow{b} = (-3; 2; z)$ перпендикулярны.

5. Вычислить интеграл
   $$\int_3^{-18} \sqrt[3]{2 - \frac{x}{3}} dx.$$

Физика
Задачи устного экзамена

1. Найти работу, которое надо совершить, чтобы уведомить скорость движения тела от $\overrightarrow{v}_1$ до $\overrightarrow{v}_2$ = 6 м/с на пути $l = 10$ м. На всем пути действует постоянная сила треня $\overrightarrow{F}_{\text{Tp}} = 2\text{H}$. Масса тела $m = 1$ кг.

2. Стальной баллон наполнен азотом при температуре $t = 12^\circ\text{C}$. Давление азота $p = 15\text{MPa}$. Найти плотность азота при этих условиях. При какой температуре давление возрастет до значения $p_1 = 18\text{MPa}$? Расширением стенок баллона пренебречь.

3. В calorimetр тепломкости $C = 63\text{Дж/K}$ было налито $m_1 = 250$ г масла при температуре $t_1 = 12^\circ\text{C}$. После опускания в масло медного тела массой $m_2 = 500$ г при температуре $t_2 = 100^\circ\text{C}$ установилась окончательная температура $\theta = 33^\circ\text{C}$. Какова удельная тепломкость $c_1$ масла по данным опыта? Удельная тепломкость меди $c_2 = 0,38\text{кДж/(кг·К)}$.

4. Заряды $q_1$ и $q_2$ находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Во сколько раз надо изменить расстояние между ними, чтобы сила взаимодействия осталась прежней, если абсцилтуную величину заряда $q_1$ уведомить в 4 раза?

5. Четыре электрические лампочки, расчитанные на напряжение $U = 3\text{В}$ и силы тока $I = 0,3\text{A}$, надо включить параллельно и питать от источника напряжения $U_0 = 5,4\text{В}$. Какое дополнительное сопротивление надо включить послеовательно цепочке ламп?

6. Какую максимальную скорость имеются электроны, выравниные из натрия светом с длиной волны $\lambda = 0,5\text{мкм}$? Красная граница фотозфекта для натрия равна $\lambda_{\text{кр}} = 0,68\text{мкм}$. Постоянная Планка $h = 6,62 \cdot 10^{-34}\text{Дж·с}$, масса электрона $m = 9,1 \cdot 10^{-31}\text{кг}$.

А. Моцелиин,
В. Дремина

Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
(MATEMATIЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ)
Matематический факультет является одним из наиболее многочисленных по составу факультетов МГПИ им. В. И. Ленина: на дневном отделении — более 900, и на вечернем — более 200 студентов.

На факультете готовят учитель математики для средней школы. В учебный план входят: математический анализ, алгебра и теория чисел, геометрия, математическая логика, теория алгоритмов, числовые системы, вычислительная математика, программирование, теория аналитических функций, уравнения математической физики, теория вероятности,