Bài toán M176—M180; F188—F192

34

Lời giải bài toán của số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1973 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant» M176” hoặc “…F198”.

Lời giải bài toán cho mỗi môn học - toán và vật lý - cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng.

Vui lòng gửi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản cùng với các giải pháp của bạn cho những bài toán này (trên phong bì ghi “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).

Khó hơn bài toán được đánh dấu *.

Bài toán

M176. Cạnh nào của tam giác ABC là giao điểm của các đường cao gần nhất với nó, nếu $A < B < C$? Và đến đỉnh cao nào?

L. Schneider, học sinh lớp 9

M177. Tìm tất cả các phương trình lời giải

$$\sqrt[n]{x^n - a^n} + \sqrt[n]{2a^n - x^n} = a,$$

trong đó $a$ là một số thực nhất định, $n$ là một số tự nhiên lớn hơn một.

T. Temirov

M178. Chúng ta thả từ điểm bất kỳ $P$ nhị phân có góc $A$ của tam giác ABC vuông góc $PA_1, PB_1, PC_1$ lần lượt vào các cạnh BC, CA và AB. Gọi $R$ là giao điểm của đường $PA_1$ và $B_1C_1$. Chứng minh rằng đường thẳng $AR$ chia đôi cạnh BC.

M179. Đối với mỗi tam giác không vuông $T$ chúng ta biểu thị bằng $T_1 = H(T)$ tam giác có các đỉnh là đáy của các đường cao của tam giác $T_1$; qua $T_2 = H(T_1)$ - một hình tam giác có các đỉnh là đáy của các đường cao của tam giác $T_1$; hãy tiếp tục $T_3 = H(T_2)$; $T_4 = H(T_3)$, …

Các góc của tam giác $T$ phải bằng bao nhiêu để

a) tam giác $H(T)$ có nhọn không?

b) trong dãy $T_1, T_2, T_3$, … có tam giác vuông $T_n$ (trong trường hợp này $H(T_n) = T_{n+1}$ không được xác định)?

b) tam giác $T_3 = H(H(T))$ có đồng dạng với tam giác $T$ không?

d)* Với mỗi $n=1, 2, 3, ...$, hãy cho biết có bao nhiêu hình tam giác khác nhau $T$ mà $T_n$ giống với $T$.

N. V. Vasiliev

M180*. Hai người chơi trò chơi này. Một người nghĩ về số tự nhiên $n$, người còn lại đặt những câu hỏi như “có đúng là $n \geq x$” (anh ta có thể chọn x theo ý mình) và nhận được đáp số “có” hoặc “không”. Chiến lược khả thi nào $T$ của trò chơi thứ hai được thúc đẩy bởi chức năng $f_T(n)$, bằng số lượng câu hỏi (trước khi gỡ lỗi), nếu số $n$ được hình thành.