50 giải trí bài toán

61

50 VẤN ĐỀ VUI VẺ

Vào đêm giao thừa năm 1972, nhà xuất bản Nauka đã tặng tất cả những người yêu thích toán học một món quà tuyệt vời - bản dịch cuốn sách của nhà toán học nổi tiếng người Mỹ F. Mosteller “Năm mươi xác suất giải trí bài toán có lời giải” (phát hành 200.000 bản, giá 26 kopecks). Thực tế có 57 bài toán trong cuốn sách, 50 trong số đó đã được giải và 7 trong số đó được thảo luận.

Lý thuyết xác suất là gì dường như được nhiều độc giả của chúng tôi quan tâm. Tất nhiên, bạn có thể lấy sách giáo khoa*) và đọc nó. Tuy nhiên, người ta không thể nghiên cứu lý thuyết nếu không giải được bài toán. Mặt khác, bằng cách giải bài toán người ta có thể nghiên cứu lý thuyết; Trong sách giáo khoa, toàn bộ phần lý thuyết được trình bày dưới dạng bài toán. Trong lời nói đầu, F. Mosteller viết:

“…Tôi nợ phần lớn kiến ​​thức toán học của mình nhờ lời giải nhiều bài toán khác nhau. Qua nhiều năm, tôi ngày càng khó tách các hoạt động dựa trên máy chủ khỏi lời giải, các hoạt động dường như là “đồ chơi” bài toán. Rất thường xuyên, bài toán tiểu học trở nên cực kỳ đẫm nước mắt khi có sự cố máy chủ lời giải.”
Bài toán trong cuốn sách của F. Mosteller hầu hết sẽ giống với “Sách Vấn đề «Kvant».” Và, như trong «Kvant», lời giải mỗi bài toán là một nốt nhỏ. Bài toán nhiều nhất

*) Nariter, F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. “Xác suất”, “Mir”, 1969, hoặc F. Feller. “Giới thiệu lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó”, tập. 1, IL, 1952; tập. 2, “Thế giới”, 1967.

khác nhau, lời giải của chúng bao gồm nhiều phần của lý thuyết và đôi khi vượt quá giới hạn của nó. Ví dụ: bài toán 56

Hai chiếc bình

Hai chiếc bình chứa cùng một số quả bóng, một số màu đen và một số màu trắng. Từ đó, $n$ ($n \geq 3$) quả bóng được lấy ra và trả lại. Tìm số $n$ và nội dung của cả hai bình nếu xác suất để tất cả bi trắng được lấy ra từ bình thứ nhất bằng xác suất lấy được tất cả bi trắng hoặc đen từ bình thứ hai.

Nếu hiểu, bạn sẽ nhận thấy rằng đây là một công thức xác suất của Định lý Fermat (xem «Kvant» số 8, 1972); trong cuốn sách này bài toán chỉ được thảo luận. Hoàn toàn không có bài toán mà là các bài kiểm tra tâm lý:

Quo Vadis *)

Hai người xa lạ đã thống nhất cách tìm hiểu nhau và phải gặp nhau vào một ngày giờ nhất định ở New York, một thành phố mà cả hai đều không biết. Tuy nhiên, họ quá lười để quyết định địa điểm gặp mặt. Họ nên đi đâu nếu cố gắng gặp nhau?**)

Tuy nhiên, hầu hết bài toán đều liên quan đến lý thuyết xác suất. Dưới đây là một số trong số họ.

*) Bạn đang đi đâu? (lat.).
**) Đối với lời giải bài toán, tất nhiên, bạn cần phải làm quen với những địa điểm thường xuyên ghé thăm nhất ở New York.

Thành viên ban giám khảo phù phiếm

Trong ban giám khảo gồm ba người, hai thành viên độc lập đưa ra phán quyết lời giải chính xác với xác suất $p$ và người thứ ba tung đồng xu để phán quyết lời giải (kết quả cuối cùng lời giải được quyết định bằng đa số phiếu). Ban giám khảo một người trả lại kết quả công bằng lời giải với xác suất $p$. Bồi thẩm đoàn nào trong số này có nhiều khả năng đưa ra công bằng lời giải?

Cuộc đấu ba chiều

A, B và C hội tụ cho một cuộc đấu tay đôi ba bên. Được biết, đối với A xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,3, đối với C là 0,5 và B bắn không trượt. Duzlyats có thể bắn ở bất kỳ vị trí nào họ chọn. A bắn trước, sau đó là B, sau đó là C, v.v. theo thứ tự tuần hoàn (người bị thương sẽ bị loại khỏi cuộc đấu tay đôi), cho đến khi chỉ còn một người còn nguyên vẹn. Chiến lược A nên là gì?

Như bạn có thể thấy, bài toán rất thú vị. Nếu bạn không thể giải quyết chúng, đừng tuyệt vọng. Những Lời giải được đưa ra trong cuốn sách cũng thú vị không kém gì bài toán.

A. N. Vilenkin, L. G. Limanov