Olympic MIPT • 72

66

Olympic Vật lý - Toán học truyền thống của Viện Vật lý Matxcơva năm 1972 được tổ chức theo hệ thống mới. Thay vì hai vòng, mỗi vòng đưa ra bài toán ở cả vật lý và toán học, các vòng vật lý và toán học riêng biệt đã được tổ chức.

Chuyến tham quan vật lý cũng chính là Olympic Vật lý Thành phố Mátxcơva. Khoảng 1.500 học sinh từ Moscow và khu vực Moscow đã tham gia Olympic. Hơn 100 học sinh giải được ít nhất gót chân bài toán đã được trao giải thưởng và giấy chứng nhận của Olympic. Dưới đây là các điều kiện bài toán.

bài tập toán

1 (8 lớp). Cho một hình vuông $ABCD$. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $M$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AD$ tại điểm $E$ và đường thẳng đi qua $M$ và song song với $BD$ tại điểm $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $FC$ và đường thẳng đi qua điểm $E$ song song với đường chéo $AC$ cắt nhau trên đường chéo $BD$.

2 (8 lớp). Có 6 điểm cho trên mặt phẳng. Mỗi hai trong số chúng được kết nối bằng một đường màu đỏ hoặc xanh lam. Có thể có số lượng nhỏ nhất các hình tam giác có đỉnh tại các điểm và các cạnh cùng màu là bao nhiêu?

3 (8 lớp). Cho một tứ giác lồi $ABCD$. Chứng minh rằng một tứ giác có các đỉnh là trọng tâm của các tam giác $ABC, ABD, ACD$ thì đồng dạng với tứ giác đã cho.

4 (8 lớp). Đối với một số hệ điểm trên mặt phẳng, người ta biết rằng đối với bất kỳ cặp điểm nào trong số chúng đều có một tam giác của điểm hệ thống và góc giữa các đoạn thẳng vẽ từ điểm này đến điểm ban đầu nhỏ hơn 55°. Chứng minh rằng trong hệ này không có cặp điểm nào có khoảng cách giữa chúng lớn hơn khoảng cách giữa các cặp điểm còn lại trong hệ.

5 (lớp 9-10). Giải các phương trình sau dưới dạng số tự nhiên:

$$3 \cdot 2^x + 1 = y^2.$$

6 (9 lớp). Các số $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thỏa mãn điều kiện:

$$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 1.$$

Chứng minh rằng

$$(x_1 - x_2)^2 + (x_1 - x_3)^2 + \ldots + (x_1 - x_n)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \ldots + (x_{n-1} - x_n)^2 \leq n.$$

7 (9 lớp). Dan 1972-làm hài lòng. Hãy xem xét tất cả các hình tam giác có đỉnh ở các đỉnh của đa giác này. Chứng minh rằng mọi điểm trên mặt phẳng không thuộc một cạnh của các tam giác này đều được bao phủ bởi một số chẵn các tam giác đó.

8 (9 lớp). Cho một hình vuông. Hai đỉnh của một tam giác đều nằm trên các cạnh đối diện của hình vuông. Tìm quỹ tích các đỉnh thứ ba của các tam giác đó.

9 (9 lớp). 10 công nhân phải làm ra 50 sản phẩm. Mỗi cái phải được sơn và sau đó gắn. Thời gian sơn - 10 phút, thời gian lắp đặt - 20 phút, sau khi sơn sản phẩm là 5 phút. cứu. Làm thế nào để phân chia công nhân thành thợ sơn và thợ lắp đặt để hoàn thành công việc trong thời gian ngắn nhất?

10 (10 lớp). Trong các nút thắt của tờ giấy ca rô, chọn 5 điểm sao cho không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng bạn luôn có thể tìm thấy hai trong số chúng và đoạn nối các điểm này chứa ít nhất một nút nữa.

11 (10 lớp). Nếu một khối đa diện có một hình cầu đồng tâm nội tiếp và ngoại tiếp thì tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh là 180°. Chứng minh.

12 (10 lớp). Đường kính của hình tròn được chia thành $n$ phần bằng nhau. Điểm $M$ được lấy trên đường tròn. Chứng minh rằng tổng bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm chia (kể cả hai đầu đường kính) không phụ thuộc vào việc chọn điểm $M$ trên đường tròn.

13 (10 lớp). Ali Baba muốn chui vào kho báu. Trước động có một cái thùng, trên nắp có bốn lỗ, tạo thành hình vuông. Dưới các lỗ có một cái bình, mỗi cái đựng một con cá trích có đuôi hướng lên hoặc hướng xuống. Nếu đuôi của tất cả các con cá trích đều hướng về một hướng thì cửa hang sẽ mở ra. Ali Baba có thể thọc tay vào hai lỗ bất kỳ, xác định vị trí của những con cá trích trong những chiếc bình đặt dưới chân mình và thay đổi vị trí của chúng theo cách riêng của mình.

67

Cơm. 1.

sự mong muốn. Sau khi Ali Baba bỏ tay ra khỏi lỗ, thùng nhanh chóng được quay và rời đi, Ali Baba không thể xác định được vị trí mới so với vị trí cũ. Nếu đuôi cá trích hướng về một hướng thì cửa sẽ mở; nếu không thì Ali Baba có thể thử lần nữa. Có phương pháp hành động nào cho phép Ali Baba mở cửa không?

Bài tập vật lý

1 (8 lớp). Trong hệ thống được mô tả ở Hình 1, các khối lượng đã cho là $M$ và $m$. Khối lượng $m_x$ phải có kích thước bằng bao nhiêu để tải trọng của khối lượng $m$ đứng yên so với điểm treo $A$ của toàn hệ? Tốt hơn hết là không nên tính đến các khối và luồng đều không có trọng lượng.

2 (lớp 8-9). Một khối lập phương nhỏ có khối lượng $m$ bay với tốc độ $v$ lên một vật có khối lượng $M$ đứng trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn và trượt dọc theo thành của vật đó mà không ma sát. Bậc thang có dạng hình bán nguyệt với bán kính $R$ (Hình 2). Điểm truy cập khối $A$. Ở tốc độ này của khối lập phương và cơ thể tại thời điểm này.

3 (8 lớp). Có ba thiết bị đầu cuối trên hộp đen. Nếu điện áp $U$ được cấp vào các cực $A$ và $B$ thì điện áp $U$ được cấp vào các cực $B$ và $C$, thì điện áp $U$ được cấp vào các cực $A$ và $C$. Đề xuất thiết kế hộp đen. Điện áp sẽ là bao nhiêu ở các cực $A$ và $B$ nếu điện áp $U$ được cấp vào các cực $B$ và $C$?

4 (9 lớp). Một quả cầu có khối lượng $m$ được treo trên một sợi dây có chiều dài $l$. Với tốc độ nào $v$ điểm treo phải được kéo theo phương ngang để quả bóng quay hết một vòng trong mặt phẳng thẳng đứng?

5 (lớp 9-10). Có một mặt phẳng nghiêng cố định rất nhỏ có góc $\alpha$. Hai quả bóng nằm ngang bay về phía nó: quả thứ nhất, quả thứ nhất mở ra một cách đàn hồi, và sau đó là quả thứ hai, mở ra không đàn hồi. Ở góc nào $\alpha$ các quả bóng sẽ bay cùng một khoảng cách?

6 (lớp 9-10). Hai vùng dẫn điện được đặt song song với mặt phẳng dẫn vô hạn - một vùng có diện tích $S_1$ cách mặt phẳng một khoảng $d_1$, vùng thứ hai có diện tích $S_2$ ở khoảng cách $d_2$ tính từ mặt phẳng. Tìm khoảng trống giữa các tấm.

7 (10 lớp). Có một mạch điện như trong Hình 3. Một điện áp xoay chiều 127 $\theta$ được đặt vào các điểm $A$ và $B$. Điện áp giữa các điểm $M$ và $N$ là bao nhiêu?

8 (10 lớp). Có một cuộn dây điện từ, trong đó có một dòng điện chạy qua cuộn dây, được tạo ra bên trong một trường cảm ứng từ $B$ (Hình 4). Diện tích mặt cắt ngang của điện từ là $S$. Sợi dây $ND$ nằm vuông góc với trục điện từ $AE$. Một quả cầu nhỏ có khối lượng $m$, mang điện tích $e$, có thể trượt dọc theo sợi dây mà không ma sát. Ban đầu quả bóng đứng yên tại điểm $C$ sao cho $AC \perp ND$, $AC \perp AE$. Khoảng cách $AC$ bằng $r$. Dòng điện trong điện từ bị tắt. Quả bóng đạt được tốc độ bao nhiêu sau khi tắt dòng điện, nếu sự dịch chuyển của nó được áp dụng trong quá trình tắt?