Thủy tĩnh học

Kvant 1972, số 12 tr. 53, 54, 56, 57, 58, 59 Thẻ QIGN

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

THỦY TĨNH

L. G. Aspamazov

Chất lỏng gây áp lực lên thành bình chứa nó hoặc lên bất kỳ bề mặt nào khác tiếp xúc với nó. Áp suất là một đại lượng vô hướng. Nó thay đổi theo giá trị tuyệt đối của lực tác dụng lên phần chất lỏng trên một đơn vị diện tích bề mặt:

$p = F/S$

(Hình 1). Áp suất tại các điểm khác nhau trên bề mặt có thể khác nhau. Vì vậy, chúng ta phải giữ diện tích S khá nhỏ.

Theo định luật Pascal, áp suất chất lỏng không phụ thuộc vào hướng của bề mặt. Cho dù bề mặt ở một vị trí nhất định của chất lỏng như thế nào thì áp suất lên nó sẽ như nhau.

Lực ép luôn vuông góc với bề mặt. Trong điều kiện bình thường, nó được định hướng như thể chất lỏng đang cố giãn nở.

Bài toán 1. Trong một chiếc bình có hình lập phương có cạnh a, đổ chất lỏng có mật độ p vào trên cùng của burbot. Xác định áp suất của chất lỏng tác dụng lên đáy và thành bình.

Áp suất của chất lỏng ở đáy bình bằng trọng lượng của cột chất lỏng có chiều cao a với diện tích đáy bằng 1 (Hình 2): $p_1 = \rho g a$ , trong đó g là gia tốc rơi tự do (để đơn giản, ở đây và trong các bài toán khác không được nêu cụ thể, người ta cho rằng không có áp suất khí quyển). Lực ép lên đáy bình

$F_1 = p_1 S = \rho g a^3.$

Áp suất trên mặt bên của khối lập phương sẽ phụ thuộc vào khoảng cách đến bề mặt chất lỏng. Ở độ sâu h áp suất là $p = \rho g h$ . Vì áp suất thay đổi theo độ sâu theo quy luật tuyến tính nên để xác định lực ép ta phải lấy áp suất trung bình

$p_{cp} = \frac{\rho g a + 0}{2} = \frac{\rho g a}{2}$

nhân với diện tích của mặt bên:

$F_2 = \frac{\rho g a^3}{2}.$

Bài 2. Một pittông có chiều dài ống thẳng đứng đường kính d=0,05 m được đưa vào một bình hình trụ có đường kính D=0,2 m (Hình 3). Lực tối đa là lực thứ ba giữa piston và thành bình $F_{tp} = 100$ n. Sau tháng thứ ba, bình chứa đầy thi thể. Xác định mực nước trong H thứ ba mà piston bắt đầu. Nó sẽ bằng bao nhiêu

Cơm. 1. Hình 2.

Đây có phải là lực ép của nước tác dụng lên đáy bình? Pít-tông nằm ở độ cao $h=0,2$ m tính từ đáy bình. Mật độ của nước là $\rho=10^3 \frac{\kappa_2}{m^3}$ . Bỏ qua khối lượng của piston và bộ ba.

Áp suất trong chất lỏng ở mức bề mặt dưới của piston được xác định bằng khoảng cách từ mức này đến bề mặt tự do của chất lỏng: $p_1=\rho g(H-h)$ . Pít-tông bắt đầu chuyển động khi lực ép từ chất lỏng tác dụng lên nó bằng lực ma sát cực đại: $p_1(S-s)=F_{\text{tp}}$ , trong đó $S=\pi D^2/4$ và $s=\pi d^2/4$ lần lượt là diện tích mặt cắt ngang của bình và ống. Thay thế biểu thức cho $p_1$ ở đây, chúng ta tìm thấy:

$H=h+\frac{4F_{\text{tp}}}{\pi\rho g(D^2-d^2)}=0,5\text{ м.}$

Áp suất ở đáy bình là $p_2=\rho g H$ . Lực ép

$F=p_2S=\rho g H \frac{\pi D^2}{4}=$

$=\frac{\pi}{4}\rho ghD^2+\frac{F_{\text{tp}}D^2}{D^2-d^2}\approx 160\text{ м.}$

Bài 3. Một đoạn ống thẳng đứng có pít-tông được hạ xuống ở một đầu trong bình (Hình 4). Lúc đầu, piston ở trên mặt nước, sau đó từ từ nâng lên. Lực tác dụng lên piston phụ thuộc như thế nào vào độ cao $h$ độ nâng của nó? Diện tích mặt cắt ống $S$ , áp suất khí quyển $p_0$ . Bỏ qua sự thay đổi mực nước trong bình, khối lượng của piston và ma sát của nó với thành ống.

Khi piston được nâng lên, nước dưới tác động của áp suất khí quyển sẽ bắt đầu tràn vào đường ống (Hình 4, a). Áp suất trong đường ống ở mức chất lỏng trong bình bằng áp suất khí quyển $p_0$ . Áp suất nước tác dụng lên pít-tông nhỏ hơn áp suất khí quyển bởi trọng lượng của cột chất lỏng có chiều cao $h$ và diện tích đáy bằng một: $p=p_0-\rho gh$ . Áp suất khí quyển vẫn tác dụng lên piston từ phía trên. Do đó, để giữ piston ở độ cao $h$ , phải tác dụng một lực $F=(p_0-p)S=\rho ghS$ hướng lên trên.

Khi $h$ tăng, áp suất nước lên piston $p$ sẽ giảm. Ở độ cao $h_0=p_0/\rho g\approx 10\text{ м}$ ( $p_0=1\frac{\kappa\Gamma}{cm^2}=9,8\cdot 10^4\frac{\text{H}}{m^2}$ ) áp suất bằng không. Khi tiếp tục nâng piston lên (Hình 4, b), mực nước

có chất lỏng ở các khuỷu của ống. Trong hình 7 dựa trên sự phụ thuộc của áp suất ở cả hai chỗ uốn của ống vào chiều cao. Mật độ của thủy ngân là $\rho_{pT}=1,36 \cdot 10^4$ ke/m $^3$ , mật độ của nước là $\rho_B=10^3$ ke/m $^3$ . Chúng tôi không tính đến áp suất khí quyển.

Áp suất lên lõi ở mức $h_0$ tiếp xúc giữa nước và thủy ngân (Hình 7) ở cả hai khuỷu tay phải giống nhau (định luật thông mạch đối với chất lỏng đồng nhất). Do đó, $\rho_B g l=\rho_{pT} g(l-\Delta h)$ , trong đó chênh lệch cấp độ $h_2-h_1$ được biểu thị bằng $\Delta h$ . Do đó $\Delta h=(\rho_{pT}-\rho_B) l/\rho_{pT} \approx 0,09$ m.

Áp suất ở khuỷu tay chỉ chứa thủy ngân thay đổi theo độ cao $h$ theo định luật $p_1=\rho_{pT} g(h_1-h)$ . Công thức này cũng đúng ở phần cong của ống. (Hãy tưởng tượng rằng khuỷu tay cong thông với một bình hình trụ thẳng, cũng chứa thủy ngân; khi đó áp suất ở cùng độ cao trong cả hai bình sẽ bằng nhau.)

Ở khúc cua còn lại, ở vùng $h_0<h<h_2$ , nơi chúng ta chỉ tìm thấy nước, áp suất là $p_2=\rho_B g(h_2-h)$ . Dưới mức $h_0$ , sự phụ thuộc của áp suất vào chiều cao được tính theo công thức tương tự như ở khúc cua đầu tiên: $p_1=\rho_B g l+\rho_{pT} g(h_0-h)=\rho_{pT} g(h_1-h)$ .

Sự phụ thuộc của áp suất trong ống uốn vào chiều cao được thể hiện bằng đồ thị trên Hình 7. Có thể thấy, trên mức $h_0$ thì áp suất ở cùng một độ cao là khác nhau.

Như đã biết, lực nổi tác dụng lên một vật ngâm trong chất lỏng. Lực này là lực cân bằng của áp suất chất lỏng tác dụng lên cơ thể. Ví dụ, chúng ta hãy tìm lực nổi tác dụng lên một khối lập phương có cạnh $a$ , được ngâm hoàn toàn trong chất lỏng có mật độ $\rho$ . Lực ép từ chất lỏng lên mặt trên của khối lập phương bằng $F_1=\rho g h^2$ , trong đó $h$ là khoảng cách từ mặt này đến bề mặt chất lỏng (để đơn giản, chúng ta giả sử rằng mặt phẳng của mặt trên của khối lập phương song song với bề mặt chất lỏng). Lực $F_2=\rho g(h+a) a^2$ tác dụng lên mặt dưới của hình lập phương. Lực ép lên các mặt bên của khối lập phương cân bằng

Cơm. 8.

nhau. Lực ép bằng nhau, tức là lực nổi, bằng $F=F_2-F_1=\rho g a^3$ và hướng thẳng đứng lên trên. Chúng ta đã nhận được định luật Archimedes: lực nổi bằng lực hấp dẫn tác dụng lên chất lỏng bị vật chiếm chỗ.

Nói chung, định luật Archimedes có thể được chứng minh bằng cây nguyên lý. Sau đó, chúng tôi sẽ thay thế phần chất lỏng ngâm trong đó (Hình 8). Rõ ràng chất lỏng này đang ở trạng thái cân bằng. Do đó, lực hấp dẫn $P$ tác dụng lên nó được cân bằng bởi lực ép từ chất lỏng xung quanh. Nếu bây giờ chúng ta tưởng tượng rằng phần chúng ta đã chọn đã phản ứng thì sự cân bằng của phần còn lại sẽ không bị xáo trộn và do đó áp suất lên chất lỏng phản ứng không thay đổi. Lực bằng nhau của các lực này $F$ sẽ vẫn bằng lực hấp dẫn $P$ .

Trong quá trình chứng minh, chúng ta giả sử rằng vật được ngâm hoàn toàn trong chất lỏng. Tuy nhiên, lý luận tương tự có thể dễ dàng được xác minh trong trường hợp chỉ một phần cơ thể ở trong chất lỏng (bạn hãy tự làm việc này). Và một lần nữa chúng ta thấy rằng lực nổi bằng lực hấp dẫn tác dụng lên chất lỏng bị vật chiếm chỗ: $F=\rho g V$ , trong đó $\rho$ là mật độ của chất lỏng, $V$ là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng, $g$ là gia tốc trọng trường.

Bài toán 5. Dưới đáy hồ chứa có cấu trúc hình chữ U gồm ba dầm giống hệt nhau nối với nhau (Hình 9). Lực ép của kết cấu này xuống đáy phụ thuộc như thế nào vào mực nước trong bể? Có hai khoảng cách: 1) chúng tôi quét nước dưới các giá đỡ; 2) các giá đỡ tiếp xúc chặt chẽ với đáy. Các dầm có tiết diện hình vuông cạnh a; chiều dài chùm tia l=2a. Mật độ vật liệu của dầm là ρ₀, mật độ của nước là ρ.

Lực ép lên đáy N được xác định bởi hiệu giữa lực trọng lượng của kết cấu P=6ρ₀ga³ và lực nổi F. Trong trường hợp đầu tiên, khi nước chảy dưới các giá đỡ (ví dụ: nếu đáy bể chứa được phủ sỏi - Hình 9, a), định luật Archimedes có hiệu lực. Sự phụ thuộc của lực nổi vào độ cao mực nước h được cho bởi các công thức: F=2ρgha² tại h<a, F=2ρga³+4ρga²(h-a) tại a<h<2a, F=6ρga³ tại h>2a. Đồ thị tương ứng của cường độ N được thể hiện trên Hình 9, c (được ký hiệu bằng số 1).

Trong trường hợp thứ hai, không có áp lực nước lên các giá đỡ (Hình 9, b) và không thể sử dụng định luật Archimedes nữa. Để xác định lực F, cần tìm các lực ép tương đương: F=0 đối với h<a, F=2ρga²(h-a) đối với a<h<2a, F=2ρga²(h-a)-4ρga²(h-2a) đối với h ≥2a. Biểu thức cuối cùng biến mất ở h=3 a và trở thành âm ở h lớn hơn. Điều này có nghĩa là khi h>3 a, lực ép không đẩy cấu trúc lên khỏi mặt nước mà ngược lại, ép nó xuống đáy. Sự phụ thuộc của lực ép N lên đáy vào độ cao của mực nước h được thể hiện trên đồ thị thứ hai của Hình 9, c.

Phần bề mặt của mặt trên của khối lập phương “được bao bọc” trong một ống, không bị ảnh hưởng bởi áp lực nước: $F = \rho g a^3 + \rho g h S$ , trong đó $S = \pi d^2/4$ là diện tích mặt cắt ngang của ống. Do đó, trọng lực của quả lắc là $P = F - P_0 = (\rho - \rho_0) g a^3 + \pi g h d^2/4 \approx 12 \text{ h}$ . Trọng lượng của trọng lượng $m = P/g \approx 1,2 \text{ kg}$ .

Lực nổi tác dụng lên khối lập phương có thể được tìm theo cách khác. Chúng ta hãy coi khối lập phương có ống là một vật thể duy nhất đang chiếm chỗ một thể tích nước $V = a^3 + Sh$ . Khi đó, theo định luật Archimedes, khối lập phương có ống chịu tác dụng của lực nổi $F = \rho g V = \rho g a^3 + \rho g h S$ , lực này bằng lực nổi tác dụng lên khối lập phương, vì lực cân bằng của áp suất nước lên ống bằng không.

Bài toán 7. Khối mật độ nhỏ $\rho_0 = 7,8 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$ chúng ta nổi trên ranh giới thủy ngân với nước (Hình 11). Xác định phần thể tích của nó chứa trong thủy ngân. Mật độ thủy ngân $\rho_1 = 1,36 \cdot 10^4 \text{ kg/m}^3$ , mật độ nước $\rho_2 = 10^3 \text{ kg/m}^3$ .

Áp suất ở mặt dưới của khối lập phương $p_2$ lớn hơn áp suất ở mặt trên $p_1$ bằng độ lớn của lực hấp dẫn tác dụng lên cột nước có chiều cao $x$ và cột nước có chiều cao $a - x$ , có tiết diện đơn vị: $p_2 = p_1 + \rho_1 g x + \rho_2 g (a - x)$ , trong đó $x$ là độ sâu ngâm của khối trong pt. Do đó lực nổi là $F = (p_2 - p_1) S = [\rho_1 g x + \rho_2 g (a - x)] a^2$ . Từ công thức này, rõ ràng là lực nổi, như người ta mong đợi, bằng tổng lực hấp dẫn làm dịch chuyển chất lỏng. Đối với một vật có hình dạng tùy ý, phát biểu này có thể được chứng minh bằng nguyên lý phân nhánh.

Khối lập phương sẽ nổi nếu lực nổi bằng lực hấp dẫn $P = \rho_0 g a^3$ tác dụng lên nó. Từ điều kiện đẳng thức của các lực $F$ và $P$ ta tìm được: $\frac{x}{a} = \frac{\rho_0 - \rho_2}{\rho_1 - \rho_2} \approx 0,54$ . Do đó, 0,54 thể tích của khối lập phương là ptru.

Bây giờ chúng ta nghiên cứu trạng thái cân bằng của chất lỏng trong một bình chuyển động có gia tốc. Theo định luật II Newton, trong trường hợp này, tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên bất kỳ phần tử đã chọn nào của chất lỏng phải bằng ma, trong đó m là khối lượng của chất lỏng đã chọn, a là gia tốc của bình. Nhưng phần tử được chọn của chất lỏng bị tác động bởi các lực và áp suất từ chất lỏng xung quanh. Chúng không rõ ràng và phải bằng ma.

Bài toán 8. Một bình chứa chất lỏng có mật độ $\rho$ được tăng tốc a. Xác định áp suất của chất lỏng tác dụng lên bình bôi trơn h và lực ép lên đáy bình. Chiều cao mực nước trong bình là H, diện tích đáy bình là S.

Chúng ta hãy chọn một cột chất lỏng có chiều cao h với diện tích đáy s (Hình 12). Nó chịu tác dụng của lực hấp dẫn $P = \rho g h$ và lực ép ps hướng lên trên. Tương đương với những điều này bằng cách sử dụng gia tốc của cột. Theo định luật II Newton: ma = $\rho g h$ -.ps, trong đó m = $\rho h$ là khối lượng của cột. Đối với áp suất p ở độ sâu h, ta tìm được p = $\rho(g - a)h$ . Lực ép lên đáy bình F = $\rho(g - a)HS$ sẽ càng nhỏ thì gia tốc của bình a càng lớn. Khi a = g (rơi tự do), lực áp suất của chất lỏng bằng 0 - xuất hiện hợp chất không trọng lượng. Khi a > g, chất lỏng sẽ rơi tự do với gia tốc g, bình sẽ rơi với gia tốc lớn hơn và nước sẽ chảy ra khỏi bình.

Bài toán 9. Dưới đáy bình chứa chất lỏng, chúng ta đặt một thi thể. Có thể

vật có nổi lên nếu tàu được kéo lên trên với gia tốc không? Xác định lực ép của vật lên đáy bình nếu gia tốc của bình là a, khối lượng riêng của chất lỏng là $\rho_0$ , khối lượng riêng của vật là $\rho$ , và thể tích của nó là V.

Vật nằm dưới đáy bình chịu tác dụng của trọng lực $P$ , phản lực trong ngày $N$ và lực nổi $F$ (Hình 13). Nếu tàu chết thì tổng các lực này bằng 0. Khi một con tàu chuyển động với gia tốc a hướng lên theo định luật II Newton, ta có: $ma = N + F - mg$ , trong đó $m$ là khối lượng của vật.

Chúng ta hãy định nghĩa lực nổi $F$ . Tương tự như lời giải của bài toán trước, dễ dàng nhận được rằng khi tàu chuyển động đi lên nhanh hơn, áp suất ở độ sâu $h$ được tính theo công thức: $p = \rho(g + a)h$ , tức là áp suất lớn hơn $(g + a)/g$ lần so với trong tàu đứng yên. Độ giãn nở sẽ lớn hơn và lực nổi sẽ là:

$F = m_0 g \frac{g + a}{g} = m_0 (g + a),$

trong đó $m_0 = \rho_0 V$ là khối lượng nước bị cơ thể chiếm chỗ. Thay biểu thức này vào công thức II của định luật Newton, đối với phản lực ngày $N$ ta thu được: $N = (m - m_0)(g + a)$ .

Dễ dàng nhận thấy, trong một tàu chuyển động có gia tốc hướng lên thì phản lực trong ngày luôn lớn hơn tàu đứng yên. Vì vậy, cơ thể không những không nổi lên mà ngược lại còn bị ép mạnh hơn xuống đáy.

Bài toán 10. Một thùng chứa chất lỏng chuyển động theo phương ngang với gia tốc a. Xác định hình dạng bề mặt chất lỏng trong bình.

Chúng ta chọn một cột chất lỏng nằm ngang có chiều dài $l$ và diện tích mặt cắt ngang $s$ (Hình 14). Theo định luật II Newton $ma = (p_1 - p_2)s$ , trong đó $m = \rho ls$ là khối lượng của cột, $p_1$ và $p_2$ là áp suất tác dụng lên cột từ bên trái và bên phải. Áp suất ở độ sâu $h$ được xác định theo công thức tổng quát: $p = \rho gh$ (không có gia tốc thẳng đứng). Thay các biểu thức của $m$ và $p$ vào phương trình II của định luật Newton, chúng ta thu được $al = (h_1 - h_2)g$ hoặc $\frac{h_1 - h_2}{l} = \frac{a}{g}$ . Nhưng $\Delta h = h_1 - h_2$ là độ chênh lệch độ cao của một điểm trên bề mặt chất lỏng. Ta thấy bề mặt của chất lỏng là một mặt phẳng nghiêng với đường chân trời một góc $\alpha$ , hơn nữa là $tg\alpha = a/g$ .

Lưu ý rằng áp suất chất lỏng ở độ cao nhất định ở đây không giống nhau. Một đường áp suất bằng nhau song song với bề mặt chất lỏng. Nếu bạn nhập khoảng cách $h'$ từ một điểm đến bề mặt chất lỏng thì áp suất tại điểm này là $p = \rho gh = \rho gh'/\cos \alpha = \rho h' \sqrt{g^2 + a^2}$ . Do đó, chúng ta có thể nói rằng chuyển động có gia tốc của tàu tương đương với việc thay thế gia tốc áp suất tự do $g$ bằng các giá trị $g' = g - a$ (Hình 14). Tuyên bố này áp dụng như nhau cho hai nhiệm vụ trước đó.

Bài tập

Ba bình có hình trụ, một hình nón cụt và một hình nón cụt ngược có diện tích đáy bằng nhau và thể tích bằng nhau được đổ đầy nước lên trên cùng. Các lực của áp suất nước tác dụng lên đáy bình có quan hệ với nhau như thế nào? Tại sao nếu đặt hai bình bất kỳ lên cân thì chúng có cân bằng với nhau không?