Olympic Toán MESI lần III

65

Olympic Toán MESI lần III

Viện Kinh tế và Thống kê Moscow, năm nay kỷ niệm 40 năm thành lập, hiện đang giữ vị trí dẫn đầu cả nước về đào tạo các chuyên ngành về phương pháp toán học trong kinh tế. Đó là lý do toán học có vai trò đặc biệt quan trọng đối với những người bước vào MESI.

Đây là năm thứ ba MESI tổ chức Olympic Toán học cho học sinh.

Olympic được tổ chức thành 2 vòng: vòng I - tương ứng và vòng II - toàn thời gian.

Những học sinh đã so sánh thành công nhiệm vụ của vòng đầu tiên và gửi lời giải chậm nhất là ngày 25 tháng 1 năm 1973 (theo dấu bưu điện) sẽ được phép tham gia vòng toàn thời gian thứ hai, sẽ được tổ chức tại MESI. Mỗi người tham gia Olympic được nhận vào lao động lần 2 sẽ được thông báo theo địa chỉ do người đó chỉ định. Thành công trong Olympic sẽ được tính đến khi vào học viện.

Lời giải bài toán (tất cả hoặc một phần) phải được hoàn thành bằng tiếng Nga trên địa bàn của học sinh. Địa chỉ của chúng tôi: Moscow 119435, ngõ B. Savvinsky, 14, “Olympiad”.

Nhiệm vụ vòng 1

1. Tính toán
   $$\frac{100}{99} + \frac{100.98}{99.97} + \frac{100.98.96}{99.97.95} + \cdots + \frac{100.98\cdots4.2}{99.97\cdots3.1}.$$

2. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình
   $$2^{|x+2|} - |2^{x+1} - 1| = 2^{x+1} + 1.$$

3. Tính toán không có bảng
   $$tg 5^\circ tg 55^\circ tg 65^\circ tg 75^\circ.$$

4. Trên ba cạnh của tam giác ABC lấy các điểm D, E, F. Qua các điểm A, B, C kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác DEF và tạo thành tam giác D’E’F’. Tìm diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác DEF và D’E’F’ lần lượt bằng 20 và 45 đơn vị vuông.

5. Tìm thể tích phần chung của hai paramid hình tam giác đều, nếu biết đỉnh của mỗi paramid này nằm ở tâm đáy của paramid kia, mỗi cạnh bên của paramid này cắt một cạnh của paramid kia, tổng chiều cao của các paramid tạo thành các góc bằng π/3 với cạnh bên của paramid này và các góc bằng π/6 với cạnh bên của paramid kia, cạnh bên của paramid thứ nhất paramid bằng 4√3.

I. G. Venetsky, Yu. I. Sorkin