Robert Hooke về luật của ông

18

Thế năng tự nhiên của tam giác $W$ được xác định bởi diện tích của tam giác $OCD$:

$$W = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} kx^2.$$

Thế năng của tải biến thành động năng chuyển động của nó, sau đó thành năng lượng biến dạng của tải. Vì tổng độ cao mà tải rơi xuống là $(l+x)$ nên

$$mg(l+x) = \frac{1}{2} kx^2.$$

Do đó phần mở rộng của nigga bằng

$$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2kmgl}}{k},$$

và lực căng cực đại của đáy (kể từ $k = \frac{SE}{l}$)

$$F = mg + \sqrt{(mg)^2 + 2mgES}.$$

Do đó, gia tốc cực đại

$$a = g \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2ES}{mg}}\right)$$

(rõ ràng là nó đạt đến điểm thấp nhất).

Do đó, lực cực đại cũng như gia tốc cực đại đều không phụ thuộc vào chiều dài của chân.

Quay trở lại việc nhảy từ một tòa tháp, chúng ta thấy rằng không có độ cao tới hạn, bắt đầu từ đó tình trạng quá tải trở nên không thể chấp nhận được đối với cơ thể con người. Nếu sợi dây (liana) có tính chất đàn hồi gần bằng cao su (cao su), tức là $E \approx 10^7 \frac{H}{m^2}$ thì tiết diện của sợi dây là $S = 9 cm^2$ và khối lượng của sợi dây nhảy là $72 \text{ кг}$ thì $a = 5 \text{ g}$. Sự quá tải như vậy là khá chấp nhận được đối với một người.

Robert Hooke
về luật của bạn

Định luật tỷ lệ giữa độ giãn dài của chùm tia với lực tác dụng được phát hiện bởi nhà vật lý người Anh Robert Hooke (1635-1703).

Hooke là một nhà khoa học rất đa năng. Nhưng ông đã không hoàn thành công việc của mình, và do đó họ vẫn tranh cãi liệu Hooke có đi trước tài sản của những người cùng thời với ông là Newton và Huygen hay không. Nhưng định luật cho phép độ lớn của lực đã đi vào lịch sử dưới tên định luật Hooke. Hooke đã hai lần gọi nó không phải là một định luật mà là một lý thuyết. Đây là cách Hooke viết về lý thuyết lò xo mà ông đã tạo ra:

“…Lý thuyết về lò xo vẫn chưa được xuất bản, mặc dù nhiều nhà toán học nổi tiếng khác đã nghiên cứu về nó. Đến nay đã khoảng mười tám năm kể từ lần đầu tiên tôi tìm thấy cô ấy. Tuy nhiên, vì có ý định áp dụng nó vào một việc gì đó hữu ích nên tôi đã hạn chế xuất bản nó.

Ba năm sau, Bệ hạ đã may mắn được quan sát các thí nghiệm kiểm tra lý thuyết này ở Whitehall, cũng như chiếc đồng hồ mùa xuân của tôi.

Hai năm sau, tôi xuất bản lý thuyết này dưới dạng đảo chữ ở cuối cuốn sách mô tả kính thiên văn của mình: ceiiilo ssttuv, tức là Ut tensio sic vis. Điều này có nghĩa là: lực căng của lò xo sẽ ​​thay đổi tỉ lệ với lực*). Vì vậy, nếu một lực kéo dài hoặc uốn cong một lần, thì hai lần uốn cong hai lần, ba lần uốn cong ba lần, v.v. Vì lý thuyết thay thế rất nhiều cho lý thuyết: “Tính thế nào, lực thế ấy”).

20

sheniyu $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$

hoặc

$$\Delta y \approx ky \cdot \Delta t,$$

(1)

trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ. Hệ số này có thể là số dương (ví dụ, trong quá trình tăng dân số) hoặc số âm (ví dụ, trong quá trình phân rã phóng xạ). Phải nhớ mối quan hệ gần đúng (1) theo nghĩa là sai số tương đối của mối quan hệ này sẽ giảm khi khoảng thời gian $\Delta t$ giảm, nghĩa là khi $\Delta t$ có ​​xu hướng tiến tới 0, mối quan hệ $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$ ngày càng trở nên chính xác hơn.

Bây giờ hãy đặt câu hỏi: loại phụ thuộc hàm nào có thể mô tả một quá trình có thuộc tính (1)?

Trong số các phần tử của hàm được học ở trường, chúng ta tìm thấy một hàm có thuộc tính mong muốn - đây là số mũ của hàm $y=a^t$. Trên thực tế, sự thay đổi (hoặc tăng dần) của hàm này $\Delta y = a^t + \Delta t - a^t$, do thuộc tính chính, số mũ của hàm $a^t + \Delta t = a^t \cdot a^{\Delta t}$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai tỷ lệ $\Delta y=a^t (a^{\Delta t} - 1)$. Tập đầu tiên $a^t$ trùng với giá trị của hàm $y=a^t$ và tập thứ hai $a^{\Delta t} - 1$ chỉ phụ thuộc vào mức tăng của đối số $\Delta t$. Có thể chỉ ra rằng đối với các giá trị nhỏ $\Delta t$ thì chênh lệch $a^{\Delta t} - 1$ xấp xỉ tỷ lệ với $\Delta t$. Thực tế này tương đương với việc đồ thị của hàm $y=a^t$ có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị này với trục tọa độ (Hình 1).

Đoạn $a^{\Delta t} - 1$ gần bằng đoạn $\Delta t \cdot tg \varphi$, trong đó $\varphi$ là góc nghiêng của tiếp tuyến với trục hoành:

$$a^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t \cdot tg \varphi,$$

(2)

và sai số tương đối của đẳng thức gần đúng (2) giảm -

Cơm. 1.

giảm khi $\Delta t$ và có xu hướng bằng 0 khi $\Delta t \rightarrow 0$ (hãy nhớ rằng tiếp tuyến được xác định là vị trí giới hạn của cát tuyến). Đẳng thức gần đúng (2) vẫn hợp lệ đối với các giá trị âm của $\Delta t$, malch trong giá trị abscissa.

Nhưng từ đó, mức tăng của số mũ của hàm $y=a^t$ đối với $\Delta t$ nhỏ xấp xỉ bằng

$$\Delta y \approx y \cdot \Delta t \cdot tg \varphi.$$

(3)

Mối quan hệ (3) tương tự như mối quan hệ (1) và hoàn toàn trùng khớp với nó nếu bạn chọn cơ sở $a$ sao cho giá trị của nó $tg \varphi$ trùng với hệ số tỷ lệ $k$.

Tuy nhiên, khi mô tả các quy trình, sẽ thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng cùng một cơ số và hệ số tỷ lệ $k$ được tính đến một cách rõ ràng trong số mũ. Đối với điều này, chúng tôi chọn cái này

Cơm. 2.

21

cơ sở tại đó $tg\varphi=1$; thì đồ thị của hàm mũ sẽ cắt trục tọa độ một góc $45^\circ$. Cơ sở như vậy được ký hiệu bằng chữ cái $e$. Số $e$ là số vô tỷ, giá trị gần đúng của nó là 2,718.

Hàm mũ có cơ số $e$ được gọi là số mũ. Nó có một ký hiệu đặc biệt: Expr $t$. Đồ thị của số mũ $y=e^t$ được thể hiện trên Hình 2. Tiếp tuyến của nó tại điểm $t=0$ chồng lên trục $Ot$ một góc $45^\circ$ nên được cho bởi phương trình $y=1+t$.

Có thể chỉ ra rằng tất cả các điểm của hàm mũ đều nằm phía trên tiếp tuyến, do đó với tất cả các giá trị của $t$ thì bất đẳng thức $e^t>1+t$ đúng. Từ bất đẳng thức này, chúng ta có thể thu được ước tính cho số $e$. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng đối với $t=\frac{1}{n}: \frac{1}{n}>1+\frac{1}{n}$; từ đây, nâng lên lũy thừa $n$, ta có

$$e > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Đối với $t=-\frac{1}{n+1}: e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$, từ đó $\frac{1}{n+1}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$ và nâng lũy ​​thừa $n+1$, chúng ta nhận được

$$e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Bất bình đẳng

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

số $e$ được xác định duy nhất (xem bài viết của L. G. Limanov “Về số $e$ và $n!$”, «Kvant» Số 5, 1972).

Vì tại cơ sở $a=e$ theo định nghĩa $tg\varphi=1$, nên từ công thức (3) ta có đẳng thức gần đúng (đối với $t=0$ và nhỏ $\Delta t$)

$$\Delta e^t = e^{\Delta t} - e^0 = e^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t.$$ (4)

Bây giờ hãy giới thiệu hệ số tỷ lệ. Để làm điều này, chúng ta hãy thay thế $k \cdot \Delta t$ cùng với $\Delta t: e^{k \cdot \Delta t} - 1 \approx k \cdot \Delta t$ vào công thức (4) (đối với $\Delta t$ nhỏ).

Điều này có nghĩa là đối với hàm $e^{kt}$ mức tăng $\Delta y$ (đối với mọi $t$) có dạng

$$\Delta y = e^{k(t+\Delta t)} - e^{kt} = e^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Như vậy, hàm $y=e^{kt}$ thỏa mãn điều kiện (1). Rõ ràng là hàm $y=Ce^{kt}$ đối với bất kỳ hệ số không đổi $C$ nào đều thỏa mãn cùng một điều kiện, vì mức tăng của nó bằng

$$\Delta y = Ce^{k(t+\Delta t)} - Ce^{kt} = Ce^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Trong các ví dụ cụ thể, chúng ta có thể cho biết $C$ cho phép chúng ta tính đến cái gọi là điều kiện ban đầu - giá trị của đại lượng $y$ tại thời điểm ban đầu $t=0$. Với $t=0$ chúng ta nhận được $y(0) = Ce^0 = C$. Quá trình cuối cùng được mô tả có thể được viết như sau:

$$y(t)=y(0)e^{kt}.$$ (5)

Chúng ta bắt đầu với hàm mũ, nhưng bất kỳ hàm mũ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số mũ bằng cách sử dụng đẳng thức

$$a^t = e^{kt},$$

ở đâu $k=\log_e a$. Logarit cơ số $e$ gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu bằng ký hiệu $\ln a$, tức là $\ln a=\log_e a$. Việc lựa chọn số mũ cùng với một hàm số mũ khác chỉ được giải thích bằng cách xem xét đơn giản hệ số tỷ lệ $k$.

Logarit tự nhiên liên hệ với số thập phân bằng

$$\ln a = \frac{1}{\lg e} \cdot \lg a,$$

có được bằng cách lấy logarit cơ số 10 của đẳng thức $e^{\ln a}=a$ và di chuyển $\lg e$ sang vế phải.

VÍ DỤ VẬT LÝ

Ở đây, dựa trên những cân nhắc vật lý, chúng ta sẽ chỉ ra rằng quá trình đang xem xét thỏa mãn hệ thức (1), và từ đây sẽ ngay lập tức suy ra rằng quá trình này được mô tả theo hàm mũ (5).

22

1. phân rã phóng xạ

Giả sử tại một thời điểm ban đầu ($t=0$) chúng ta có $N_0$ nguyên tử chất phóng xạ. Sự phân rã của các nguyên tử trong đó xảy ra ngẫu nhiên, nhưng người ta đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng số lượng nguyên tử trung bình phân rã trong một khoảng thời gian ngắn tỷ lệ thuận với số lượng nguyên tử. Do đó, sau một khoảng thời gian $t$ chúng ta sẽ không còn nguyên tử phóng xạ $N_0$ nữa mà thay vào đó là $N_t$. Vì quá trình này thỏa mãn phương trình (1), nên chúng ta có thể viết $N_t=N_0e^{kt}$.

Hãy tìm giá trị của hệ số $k$. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng khái niệm chu kỳ bán rã $T$.

Chu kỳ bán rã là thời gian mà số lượng nguyên tử của một chất giảm đi. Chúng ta biết lượng ban đầu của chất đó, chu kỳ bán rã $T$ cũng được biết đến. Khi đó hệ số $k$ có thể được tìm thấy từ điều kiện là theo thời gian $t=T$ một nửa số lượng ban đầu sẽ còn lại:

$$N_T = \frac{1}{2} N_0$$

Hãy xem xét khả năng có một phần cột (Hình 4). Cho áp suất ở độ cao $h$ bằng $P$ thì áp suất ở độ cao $h+\Delta h$ sẽ thay đổi theo giá trị $\Delta P$, trong đó $\Delta P$ là trọng lượng của không khí ở độ cao $\Delta h$. Nhưng $\Delta P \approx -\rho g \cdot \Delta h$, trong đó $\rho$ là mật độ không khí ở độ cao $h$, $g$ là gia tốc rơi tự do. Nếu chúng ta giả sử rằng nhiệt độ của cột không khí luôn giống nhau, thì theo định luật khí, mật độ khí tỷ lệ thuận với áp suất và tỷ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối, nghĩa là $\rho = k \frac{P}{T}$, trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ, $T$ là nhiệt độ tuyệt đối (hệ số

$$kT = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2, \quad k = -\frac{\ln 2}{T},$$

và cuối cùng

$$N_t = N_0e^{-\frac{\ln 2}{T}t}$$

2. Quá trình phóng điện của tụ điện

Gọi $C$ là điện dung của tụ điện, $R$ điện trở mà nó phóng điện (Hình 3), $q$ là điện tích của tụ điện tại thời điểm $t$ (tại thời điểm $t=0$ chúng ta đóng công tắc $K$), $\varphi_1 - \varphi_2$ là hiệu điện thế tương ứng với điện tích $q$, $I$ - hiện tại tại thời điểm $t$, $\Delta q$ - thay đổi

23

thương số $k$ có thể được tìm thấy từ phương trình Mendeleev-Clapeyron). Thay giá trị của $\rho$ vào công thức cho $\Delta P$, chúng ta nhận được

$$\Delta P \approx -k \frac{g}{T} P \cdot \Delta h,$$

Ở đâu

$$P = P_0 e^{-\frac{k g h}{T}} h.$$

4. Hiện tượng tự kích thích

Hãy xem xét một mạch (Hình 5) bao gồm một ví dụ: nguồn. d.s. $(E)$ và cuộn cảm mắc nối tiếp $(L)$ và điện trở Ohmic $(R)$. Để mạch đóng cho đến thời điểm $t=0$ và dòng điện $I_0$ chạy qua nó. Ở $t=0$, chúng ta đoản mạch bằng công tắc $K$ và xem xét sự thay đổi theo thời gian của dòng điện $I(t)$ trong các mạch $L$, $R$. Theo định luật Ohm, đối với mạch đang xét, bao gồm điện cảm và điện trở Ohm, chúng ta có $IR \approx -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ (ở đây $-L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ là emf tự cảm). Kể từ đây,

$$\Delta I \approx -\frac{R}{L} I \cdot \Delta t,$$

Ở đâu

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L} t}.$$

Đối với một mạch bao gồm một cuộn dây $L$, điện trở $R$ và một ví dụ: nguồn. d.s. $(E)$ (Hình 6), định luật Ohm sẽ có dạng $IR \approx E - L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. Để tại thời điểm này phím $t=0$ $K$ được đóng lại

Cơm. 6.

Cơm. 7.

(trước đó, mục tiêu được coi là mở). Sau khi quá trình trở nên ổn định, sẽ có dòng điện $I_0 = \frac{E}{R}$ trong mạch, nhưng trước khi điều này xảy ra, dòng điện thu được trong mạch có dạng tổng đại số của dòng điện $I_0$ và ngược lại, được xác định theo công thức (6). Vì vậy, trong điều kiện nhất thời, dòng điện thu được được cho bởi

$$I = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right).$$

Đồ thị của nó được hiển thị trong Hình 7.

5. Hạ nhiệt cơ thể

Theo định luật Newton, với sự chênh lệch nhiệt độ nhỏ giữa cơ thể và môi trường thì sự biến thiên năng lượng của cơ thể theo thời gian $\Delta t$ được xác định bởi công thức

$$\Delta Q \approx -k (T - T_c) \cdot \Delta t,$$

trong đó $\Delta Q$ là lượng năng lượng phát ra (nói) trong thời gian $\Delta t$, $T$ là nhiệt độ cơ thể, $T_c$ là nhiệt độ môi trường, hệ số $k$ phụ thuộc vào bề mặt và tính chất của cơ thể. Để đơn giản, chúng tôi đặt $T_c=0$, sau đó $\Delta Q \approx -k T \cdot \Delta t$. Mặt khác, sự thay đổi lượng nhiệt bằng $\Delta Q = C \cdot \Delta T$ (ở đây $C$ là nhiệt dung của cơ thể, $\Delta T$ là sự thay đổi nhiệt độ của nó). So sánh các biểu thức của $\Delta Q$, chúng ta nhận được

$$\Delta T \approx -\frac{k}{C} T \cdot \Delta t,$$

24

nghĩa là tốc độ thay đổi nhiệt độ tỷ lệ thuận với nhiệt độ cơ thể, do đó,

$$T = T_0 e^{-\frac{k}{C} t}.$$

Mời bạn đọc chứng minh công thức sau đúng trong trường hợp $T_c \neq 0$:

$$T = \left( T_0 - T_c \right) e^{-\frac{k}{C} t} + T_c.$$

6. Chuyển động của vật trong chất lỏng nhớt

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một chiếc thuyền trong nước có tính đến lực ma sát nhớt. Cho thuyền đang chạy máy chuyển động đều trong nước (có nghĩa là lực đẩy cân bằng với lực ma sát nhớt). Đến lúc $t = 0$ động cơ sẽ tắt; bạn cần tìm quy luật thay đổi vận tốc của con thuyền.

Rõ ràng sau khi tắt máy chỉ có lực phanh của ma sát nhớt tác dụng lên thuyền tỷ lệ thuận với vận tốc của thuyền và có hướng ngược chiều chuyển động: $F_{tp} = -kv$. Thay biểu thức của lực vào định luật thứ hai Newton $F = ma$, chúng ta thu được $ma = -kv$ hoặc

$$\Delta v \approx -\frac{k}{m} v \cdot \Delta t.$$

Do đó vận tốc của thuyền thay đổi theo quy luật

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Cơm. 8.

7. Sự suy yếu cường độ thay đổi khi đi qua môi trường hấp thụ

Một chùm tia (hoặc hạt) song song xuyên qua một lớp vật chất sẽ làm giảm cường độ của nó (Hình 8). Nếu độ dày lớp đủ nhỏ thì cường độ chùm tia tỷ lệ thuận với độ dày lớp: $\Delta I \approx k_1 \cdot \Delta l$. Mặt khác, số lượng tử bị hấp thụ (hoặc hạt phân tán) tỷ lệ thuận với cường độ chùm tia: $\Delta I = -k_2 I$.

Các hệ số $k_1$ và $k_2$ phụ thuộc vào tính chất của môi trường hấp thụ. Kết hợp cả hai công thức, chúng ta nhận được

$$\Delta I \approx -k I \cdot \Delta l.$$

Do đó, cường độ của chùm tia song song khi truyền qua môi trường hấp thụ tuân theo định luật

$$I = I_0 e^{-kl}$$

(Luật Lambert-Booger-Bia).

8. Công của khí lý tưởng trong quá trình sản xuất

Khi mô tả quá trình, công thực hiện bởi khí lý tưởng có thể được tính bằng tích của sự thay đổi áp suất và thể tích: $A = P(V_2 - V_1)$. Trong trường hợp của quy trình sản xuất, khuôn này không thể bò được hoặc áp suất không đổi. Nhưng với một sự thay đổi nhỏ về thể tích, chúng ta có thể bỏ qua sự thay đổi của áp suất và tính công như sau:

$$\Delta A \approx P(V_2 - V_1) = P \cdot \Delta V.$$

Biểu thị áp suất bằng công thức Mendeleev-Clapeyron, chúng ta có được

$$\Delta A \approx \frac{m}{\mu} RT \frac{\Delta V}{V}.$$

Điều này cho phép chúng ta tìm sự phụ thuộc của $V$ vào $A$:

$$\Delta V \approx \frac{\mu}{mRT} V \cdot \Delta A,$$

nó theo sau từ đâu

$$V = V_0 e^{\frac{\mu}{mRT} A}.$$