Bài toán M206—M210; F218—F222

42

Vấn đề “Quenta”

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 8 năm 1973 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí Quant. Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Vấn đề về Quaenta”, M206, M207” hoặc “… F218”.

Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng. Bản gốc bài toán đề xuất xuất bản được chỉ định cùng với các giải pháp của bạn cho những bài toán này (trên phong bì có ghi: “Bài toán số lượng, bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau.

Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình).

Các vấn đề có độ khó tăng dần được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Bài toán

M206-M210, F218-F222

M206. Cho một dãy số vô hạn. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ nguyên tố cùng nhau với số 10, có thể chỉ ra trong dãy số một nhóm các chữ số liên tiếp sao cho số viết bởi các chữ số này chia hết cho $n$.

V. Ufnarovsky

M207. Cho hai hình tam giác $A_1A_2A_3$ và $B_1B_2B_3$. Mô tả vectơ của tam giác $A_1A_2A_3$ tam giác $M_1M_2M_3$ có diện tích lớn nhất, tương tự như tam giác $B_1B_2B_3$ (trong trường hợp này, đỉnh $A_1$ phải nằm trên đường thẳng $M_2M_3$, đỉnh $A_2$ trên đường thẳng $M_3M_1$, đỉnh $A_3$ trên đường thẳng $M_1M_2$).

N. D. Nazaev

M208. Được biết, sự khác biệt giữa vùng nhiều nhất và số được thông báo nhiều nhất

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{10}$$

bằng 1. Cái nào

a) hầu hết,
b) hầu hết có thể là sự khác biệt giữa hầu hết và hầu hết 10 số

$$x_1, \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \ldots; \frac{x_1+x_2+\ldots+x_{10}}{10}$$

đáp số sẽ như thế nào nếu không có 10 số mà là $n$?

V. B. Peller

M209. Đối với bất kỳ tam giác $ABC$ nào, chúng ta có thể tính tổng sau:

$$S = tg^2 A/2 + tg^2 B/2 + tg^2 C/2.$$

Chứng minh rằng

a) $S < 2$ cho tất cả các tam giác vuông và tam giác vuông;

b) $S > 2$ đối với các tam giác tù có góc tù lớn hơn 2 đối số $^4/3$;

c) trong số các tam giác có góc tù $\phi$ sao cho $\frac{\pi}{2} < \phi < 2\arctg \frac{4}{3}$, có những tam giác sao cho $S > 2$ và những tam giác sao cho $S < 2$.

M. L. Gerver

43

*M210. Một chuỗi khoảng cách bao gồm 3000 chữ số 1 và 2. Trong một chuỗi như vậy, hai bộ ba chữ số liền kề bất kỳ được đặt ở các vị trí. Hai chuỗi được gọi là tương đương nếu một trong số chúng có thể được chuyển đổi thành chuỗi khác bằng một số hoán vị như vậy. Có bao nhiêu trình tự không tương đương?

G. A. Gurevitz

**F218. Một đoàn tàu di chuyển với tốc độ không đổi $v = 72 \text{ km/ч}$ dọc theo đoạn đường nằm ngang. Công suất do đầu máy tạo ra phải thay đổi bao nhiêu để đoàn tàu tiếp tục chuyển động với tốc độ như cũ khi có mưa lớn thẳng đứng? Hãy xem xét rằng mỗi giây $m = 100 \text{ кг}$ nước rơi vào chế phẩm, sau đó chảy xuống đất dọc theo các bức tường của các varon. Bỏ qua sự thay đổi của lực ma sát.

VỚI. M. Kozel

**F219. Một hình trụ thẳng đứng chứa $n$ mol khí đơn nguyên tử lý tưởng. Xi lanh được đóng phía trên bởi một piston có khối lượng $M$ và diện tích $S$. Ban đầu, piston được giữ đứng yên, khí trong xi lanh có thể tích $V_0$ và có nhiệt độ $T_0$. Sau đó pít-tông được thả ra và sau một vài rung động, nó dừng lại. Bỏ qua trong tính toán mọi lực ma sát cũng như nhiệt dung của piston và xi lanh, tìm nhiệt độ và thể tích của khí tại vị trí mới của piston.

Toàn bộ hệ thống được lót bằng tro nhiệt. Áp suất khí quyển là $P_a$.

**F220. Màn được chiếu sáng bởi một tia sáng song song vuông góc với mặt phẳng của màn. Độ sáng của màn hình thay đổi như thế nào nếu một mặt $ABC$ có góc nhỏ $\alpha$ và chiết suất $n$ được đặt trong đường đi của ánh sáng và mặt $AB$ song song với màn hình (Hình 1)? Bỏ qua sự phản xạ ánh sáng từ biển.

**F221. Một doxa nằm trên một hình trụ tròn đứng yên có bán kính $R$, như trong Hình 2. Độ dày của dox là $h$. Ở tỷ lệ nào giữa $h$ và $R$ thì trạng thái cân bằng doxie sẽ ổn định? Lực ma sát giữa đế và xi lanh rất lớn.

TRONG. D. Krivenkov

*F222. Cột thu lôi được nối với mặt đất bằng ống có thành mỏng có đường kính 2 cm và độ dày thành 2 mm. Sau udram, cái ống ngay lập tức biến thành một thanh tròn. Giải thích hiện tượng này và ước tính cường độ dòng điện phóng điện nếu biết khi lăn một mẫu hình trụ có đường kính 3 mm làm bằng vật liệu giống ống thì bị phá hủy bởi một lực 140.000 N.

P. L. Kapsha