Bài toán

39

2. Tìm các giới hạn: a) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$;

6. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n}$;

7. Tìm các giới hạn: a) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)$;
8. Tìm hệ số góc của các tiếp tuyến với đường cong $y = a^x$ và $y = \log_a x$.
9. Tìm giới hạn
   $$\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{a} - 1 \right).$$
10. Sử dụng định nghĩa hình học của logarit, chứng minh các bất đẳng thức $\frac{2x}{2+x} < \ln(1+x) < \frac{x(x+2)}{2(x+1)}$ cho $x > 0$ và từ đó suy ra rằng
    $$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x - \frac{x^2}{2} + x^3.$$
11. Chứng minh rằng $0 < e^x - \left( 1+x \right) + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} < \frac{x^n e^x}{(n+1)!}$ tại $x > 0.$
12. Sử dụng các bất đẳng thức cho bài toán trước đó, chứng minh rằng số $e$ cũng là số hữu tỉ; 6) không phải là nghiệm nguyên của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với hệ số nguyên ($a > 0$).

Bài tập

1. Vẽ một hình tam giác $ABC$ trên mặt phẳng và vẽ hai đường thẳng cắt nhau. Các điểm $P$ và $Q$ di chuyển đều dọc theo các đường này và chúng không đồng thời vượt qua điểm giao nhau của các đường. Tại mỗi thời điểm, một điểm $R$ được xây dựng sao cho tam giác $PQR$ đồng dạng với tam giác $ABC$ và phép biến đổi tương tự bảo toàn hướng của tam giác.

Tìm quỹ tích các điểm $R$.

2. Ta biểu thị bằng $\varphi(n)$ số số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và trừ đi các số nguyên tố $n$.

Biểu thị dưới dạng $\varphi(n)$ số lượng đa giác sao (nghĩa là một đa giác tự cắt nhau có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau).

3. Điểm $P$ nằm trên một đường tròn ngoại tiếp $(2n+1)$-giác đều, với $P$ nằm giữa các đỉnh $A_1$ và $A_{2n+1}$.

Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm $P$ đến đỉnh có chỉ số lẻ bằng tổng khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh có chỉ số chẵn.

4. Trong các tam giác $ABC$ và $DEF$, ta có $AB = DE, AC = DF$ và $BAC > EDF$. Chứng minh rằng $\angle ABC$ nhỏ hơn $\angle DEF$ tùy thuộc vào tổng của $\angle ACB + \angle DFE$ nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn $180^\circ$.

5. Các đường chéo của tứ giác $ABCD$ cắt nhau tại điểm $O$. Chứng minh rằng nếu $BO = OD$ và $AB + BC = AD + DC$ thì tứ giác này là hình bình hành hoặc đối xứng qua đường chéo $AC$.