Khác nhau bài toán

13

niah) các định lý “hai chiều” và “một chiều”.

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý (đối với người đọc đã quen với các khái niệm về hình học đa chiều) rằng công thức tổng quát ở trên của định lý Gülden có thể áp dụng cho không gian ενClidean $n$ chiều - chỉ cùng với mặt phẳng trên, chúng ta mới xem xét mặt phẳng $(n-1)$ chiều, và vì $l$ chúng ta phải lấy mặt phẳng $(n-2)$ chiều. Số $k$ trong định lý này (trong trường hợp không gian $n$ chiều) có thể thuộc bất kỳ giá trị nào trong các giá trị 1, 2, . . . , $n$.

Và để không làm khó chịu những độc giả không quen thuộc với các khái niệm hình học đa chiều, chúng tôi xây dựng định lý kết quả cho $n=2$ (nghĩa là đối với trường hợp mặt phẳng).

Định lý Gylden trên mặt phẳng. Cho có một hình $(k-1)$ chiều $F$ (ở đây $k$ là bất kỳ số nào trong số 1, 2) nằm trên một đường thẳng về một phía của điểm $O$. Bằng $S$, chúng ta biểu thị thể tích $(k-1)$ chiều của hình $F$ và bằng $R$, chúng ta biểu thị khoảng cách từ tâm của nó đến điểm $O$. Khi xoay hình $F$ quanh điểm $O$, thu được hình $k$ chiều, thể tích $k$ chiều được tính theo công thức

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

Đặc biệt, $k$ cho $k=1$ (nghĩa là trong trường hợp hình $F$ bao gồm nhiều đoạn, Hình 10), công thức này cho phép bạn tính tổng diện tích của một số bánh xe đồng tâm.

Khác nhau bài toán

1. Loại bỏ $x, y, z$ khỏi phương trình
   $$xy (x+y)=c,$$
   $$yz (y+z)=a,$$
   $$zx (z+x)=b,$$
   $$xyz=d.$$

2. Vẽ một tam giác $ABC$ ($BC>AB>CA$) khi biết góc $A$ và tổng độ dài các cạnh $AB+BC$ và $AB+AC$.

3. Giải hệ phương trình
   $(ax)^{1/2}a=(by)^{1/2}b,$
   $b^{1/2}x=a^{1/2}y.$

4. Tìm thương số chia cho $p-1$ của một số được viết trong hệ số $p$ sử dụng đơn vị $p-1$ (tức là số 111…1). Thương số này được viết như thế nào trong hệ thống số $p$-ary?

5. Ba điểm $A, B$ và $C$ nằm trên cùng một đường thẳng. Một đường tròn có tâm tại điểm $A$ được dựng. Tìm vị trí hình học của giao điểm của các đường nối các điểm $B$ và $C$ với các điểm động đối diện của đường tròn.

6. Ba đường tròn đi qua các điểm $M$ và $N$. Tìm quỹ tích các điểm $P$ sao cho các tiếp tuyến $PA, PB$ và $PC$ vẽ từ điểm $P$ đến các đường tròn này ($A, B, C$ là các điểm tiếp tuyến) thỏa mãn hệ thức $PA \cdot PB = k \cdot PC^2$.

7. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $C_{p-1}^m$ chia cho $p$ có ​​số dư là $(-1)^m$.

8. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn ba thì $\frac{1}{2} C_{p/2}^p - 1$ chia hết cho $p^3$.