Kvant
Luyện thi đại học

Truyền hình chuẩn bị vào đại học

Борзяк А. Н. и др.

Kvant 1974, số 3tr. 62-63Thẻ 3AJQ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

62

TV
CHUẨN BỊ ĐẠI HỌC

VẬT LÝ
Trong thời gian từ tháng 1 đến tháng 3 năm 1974, tại khoa vật lý của các khóa học vật lý và toán học truyền hình để vào đại học *), các bài giảng đã được giảng và các lớp thực hành về chủ đề “Cơ sở của Điện động lực học”. Để giúp độc giả của tạp chí làm quen với mức độ khó của bài tập về nhà (được xuất bản một cách có hệ thống trên nhật ký Moscow Speaks and Shows), chúng tôi trình bày dưới đây một số nhiệm vụ về định luật dòng điện xây dựng, về tương tác từ của dòng điện, về hiện tượng cảm ứng điện từ và dòng điện xoay chiều.

  1. Tụ điện C=10 мкфC = 10 \text{ мкф} được bao gồm trong mạch dòng điện được xây dựng (xem hình). Xác định điện tích của tụ điện nếu R=4,0 ом,E1=5,0 ом,E2=2,0 омR = 4,0 \text{ ом}, E_1 = 5,0 \text{ ом}, E_2 = 2,0 \text{ ом} và r1=r2=1,0 омr_1 = r_2 = 1,0 \text{ ом}.

  2. Một phần tử có điện trở trong r=2 омr = 2 \text{ ом} bị chập mạch tới điện trở R1=8 омR_1 = 8 \text{ ом}. Điện trở nào khác R2R_2 nên được nối với phần tử này để công suất giải phóng ở mạch ngoài giống như trong trường hợp đầu tiên?

  3. Bếp điện có hai thân sưởi. Khi bật một hệ thống sưởi, V1=0,5 лV_1 = 0,5 \text{ л} nước sôi sau t1=10 минt_1 = 10 \text{ мин}; Khi bật hệ thống sưởi thứ hai, V2=1,0 лV_2 = 1,0 \text{ л} nước sôi sau t2=15 минt_2 = 15 \text{ мин}. Sẽ mất bao nhiêu phút để V3=2,0 лV_3 = 2,0 \text{ л} nước sôi trên một lít, nếu đun nóng liên tiếp trong cùng một bộ?

  4. Hydro thoát ra khi điện phân dung dịch muối ăn trong nước được thu vào bình có thể tích V=0,5 лV = 0,5 \text{ л}. Sau một thời gian, áp suất của hydro trong bình trở thành p=1,3 ammp = 1,3 \text{ amm} ở nhiệt độ t=27∘Ct = 27^\circ \text{C}. Tìm công mà nguồn dòng điện thực hiện trong quá trình điện phân nếu hiệu điện thế giữa các điện cực là U=25 вU = 25 \text{ в}.

  5. Theo đề tài, dọc theo một dây dẫn thẳng song song có tiết diện nhỏ không đáng kể, nằm trong không khí với khoảng cách bằng nhau a=20 cma = 20 \text{ cm}, dòng điện I1=4,0 а,I2=6,0 аI_1 = 4,0 \text{ а}, I_2 = 6,0 \text{ а} và I3=10 аI_3 = 10 \text{ а} chạy cùng chiều. Tìm cảm ứng từ tại các điểm cách đều ba dây dẫn.

  6. Trong một từ trường có cảm ứng B=0,5 млB = 0,5 \text{ мл}, một thanh kim loại có chiều dài l=1 мl = 1 \text{ м} được xử lý đều. Vì phương pháp xử lý vuông góc với vectơ cảm ứng từ trường. Xác định tần suất xử lý của thanh vv, nếu emf. cảm ứng xuất hiện ở hai đầu thanh, Eинд=2 вE_{\text{инд}} = 2 \text{ в}.

  7. Dọc theo hai cạnh thẳng đứng, nằm trong từ trường có cảm ứng B=2 млB = 2 \text{ мл}, một dây dẫn có điện trở R=4 омR = 4 \text{ ом} và khối lượng m=10 сm = 10 \text{ с} trượt không ma sát với tốc độ không đổi, không làm mất tiếp xúc điện. Xác định tốc độ chuyển động của dây dẫn nếu khoảng cách giữa các cạnh của khung l=1 мl = 1 \text{ м} và vectơ cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng của khung.

  8. Ở cuối các đường dây truyền tải điện có tổng điện trở R=50 омR = 50 \text{ ом}, người ta lắp đặt một máy biến áp trường có hệ số biến đổi k=5k = 5. Người tiêu dùng nhận được nguồn điện P=400 втP = 400 \text{ вт} từ máy biến áp ở dòng điện I=10 аI = 10 \text{ а}. Xác định điện trở tác dụng của cuộn thứ cấp máy biến áp nếu điện áp đầu đường dây là U=500 вU = 500 \text{ в}. Đồng hoạt động

63

điện trở của cuộn dây thứ nhất và tổn thất nhiệt trong máy biến áp là những tuyên bố.

  1. Điện trở R=220 omR = 220 \text{ om} và tụ điện mắc song song với nguồn điện xoay chiều có tần số v=400 euv = 400 \text{ eu}. Tìm điện dung của tụ điện nếu giá trị biên độ của dòng điện qua điện trở là I01=1 aI_{01} = 1 \text{ a} và qua tụ điện I02=2 aI_{02} = 2 \text{ a}.

  2. Trong từ trường đều có cảm ứng B=0,2 mIB = 0,2 \text{ mI}, một khung hình vuông nhìn từ cạnh a=20 cma = 20 \text{ cm} quay đều quanh một trục vuông góc với từ trường. Xác định tần số quay của khung gồm n=100n = 100 vòng, nếu khi nối nó với một cuộn dây có độ tự cảm L=0,5 ehL = 0,5 \text{ eh} thì giá trị hiệu dụng của điện áp trên cuộn dây U=20 eoU = 20 \text{ eo}. Điện trở khung R=5 omR = 5 \text{ om}. Điện trở hoạt động của cuộn dây là một điều đáng phàn nàn.

Toán học

Vào tháng 2, một khóa học từ xa rất đặc biệt đã được tổ chức dành cho sinh viên khoa toán. Những người được mời đến riêng được đưa ra hai lựa chọn, bao gồm bài toán về các chủ đề đã thảo luận trước đó. Cuộc phỏng vấn được thực hiện trong các điều kiện tương tự như trong các kỳ thi tuyển sinh. Chúng tôi xuất bản các văn bản của obihi varnat.

Phương án 1

1 (Đại học Belarus, 1973). Chứng minh rằng biểu thức

1−2sin⁡2(α−3π2)+3cos⁡(2α+3π2)sin⁡(π6−2α),\frac{1 - 2\sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sqrt{3}\cos\left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right)},

trong đó α≠π12+πn2,n=0,±1,±2,…\alpha \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots không phụ thuộc vào α\alpha.

  1. Trong tam giác ABCABC có hai góc đã biết: α=α\alpha = \alpha, β=β\beta = \beta. Từ đỉnh BB, chiều cao BHBH và đường trung bình BMBM được rút ra. Tìm diện tích tam giác BMHBMH nếu BH=hBH = h.

3 (UDN, 1973). Giải hệ phương trình:

{x2+y2=2(x+y),x3+y3=4(x+y).\begin{cases} x^2 + y^2 = 2(x + y), \\ x^3 + y^3 = 4(x + y). \end{cases}

4 (MIPT, 1971). Giải phương trình cos⁡2x+cos⁡22x=cos⁡23x\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x.

Phương án 2

1 (MEPhI, 1971). Tìm hai số nguyên dương biết tổng của chúng là 85 và bội số chung nhỏ nhất của chúng là 102.

  1. Hai đường tròn hh và ll có bán kính RR và rr (R>rR > r) chạm nhau tại điểm AA. Xác định các cạnh của một tam giác đều, một đỉnh nằm tại điểm AA, đỉnh còn lại nằm trên đường tròn hh và đỉnh thứ ba - trên đường tròn ll.

3 (MSU, 1973). Tìm tất cả các cặp giá trị x,yx, y là nghiệm của hệ phương trình:

{sin⁡x+1cos⁡y=2143,sin⁡xcos⁡y=1963−2.\begin{cases} \sin x + \frac{1}{\cos y} = 2\sqrt[3]{14}, \\ \frac{\sin x}{\cos y} = \sqrt[3]{196} - 2. \end{cases}

4 (Viện Bách khoa Leningrad, 1972). Giải phương trình ctgx−8cos⁡2x+tg2x=0ctg x - 8\cos^2 x + tg 2x = 0.

Trên matret, các bài giảng được giảng trên điện thoại về các chủ đề: “Hàm số mũ và logarit”, “Logarit và tính chất của chúng”, “Phương trình hàm mũ và bất đẳng thức”, “Bất đẳng thức logarit”. Trong số này, chúng tôi cung cấp một loạt bài toán bài tập về nhà cho học viên khóa học từ xa.

Bài tập

  1. Đơn giản hóa một biểu thức

[(log⁡4b+log⁡4a+2)12−2]1/2,\left[ \left(\log^4 b + \log^4 a + 2\right)^{\frac{1}{2}} - 2 \right]^{1/2},

nếu 1<a<b1 < a < b.

  1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số

a=log⁡6327,b=log⁡219,c=log⁡18981.a = \log_{63} 27, b = \log_{21} 9, c = \log_{189} 81.

  1. Giải phương trình (x−1)2x+x2−2x+1=0.(x - 1)2^x + x^2 - 2x + 1 = 0.

  2. Giải phương trình 2(2x+2−2x)+7(2x−2−x)−19=0.2(2^x + 2^{-2x}) + 7(2^x - 2^{-x}) - 19 = 0.

  3. Giải phương trình x+lg⁡(2x−3)=lg⁡4+xlg⁡5.x + \lg(2^x - 3) = \lg 4 + x \lg 5.

  4. Giải hệ phương trình:

{xlog⁡3y+2⋅ylog⁡3x=27,log⁡3x−log⁡3y=1.\begin{cases} x^{\log_3 y} + 2 \cdot y^{\log_3 x} = 27, \\ \log_3 x - \log_3 y = 1. \end{cases}

  1. Giải bất đẳng thức

1+log⁡4x−3log⁡4x>2log⁡4x−1.\sqrt{1 + \log_4 x} - \sqrt{3\log_4 x} > 2\log_4 x - 1.

  1. Giải bất đẳng thức

(7−x−x+9)log⁡32x2+x−33≥0.\left(\sqrt{7 - x} - \sqrt{x + 9}\right)\log_3 \frac{2x^2 + x - 3}{3} \geq 0.

A. N. Borzyak,
V. I. Davydov,
I. A. Dyakova,
P. T. Dybov