Bài toán

Kvant 1974, số 3 tr. 72-80 Thẻ FJ05

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Nhiệm vụ

Hai bên bờ sông có hai cây cọ mọc đối diện nhau. Chiều cao của một trong số chúng là 10 mét, cái còn lại là 15 mét, khoảng cách giữa các gốc cây cọ là 25 mét. Một con chim đậu trên ngọn mỗi cây cọ. Đột nhiên lũ chim nhận thấy một con cá đang bơi trên mặt sông giữa những cây cọ. Những con chim lao tới con cá và cùng lúc chạm tới nó.

Con cá bơi cách gốc cây cọ cao bao xa?

Ngoài trời đang mưa. Khi nào cái thùng ở phía sau xe tải sẽ đầy nhanh chóng: khi xe tải đứng yên hay khi nó đang chuyển động?
Cỏ mọc trên đồng cỏ. Họ thả 9 con bò vào đồng cỏ, họ dọn sạch đồng cỏ trong 4 ngày. Nếu 8 con bò được thả vào một đồng cỏ, chúng sẽ ăn hết cỏ trong 6 ngày.

Có bao nhiêu con bò có thể kiếm ăn trên đồng cỏ khi cỏ đang mọc?

Một cây nến được cân bằng trên một chiếc cân hình chảo. Sự cân bằng có bị phá vỡ khi ngọn nến được thắp sáng không? Nếu nó vỡ thì theo hướng nào?
Để xác định điện trở chưa biết, sử dụng ampe kế và vôn kế, chúng tôi đã lắp ráp mạch điện như trong Hình 1 một lần và một lần nữa trong Hình 2. Chúng tôi đo điện áp và dòng điện. Trong trường hợp nào giá trị điện trở thu được sẽ gần với giá trị thực?

Nghệ sĩ E. Nazarov

B. A. Kordemsky

Thí nghiệm tôpô
bằng chính đôi tay của bạn

Dải Mobius và bánh xe đan xen

Bề mặt của chiếc nhẫn được ấn vào ngón tay có hai mặt (Hình 1).
Một mặt nhẫn tiếp xúc với ngón tay, mặt còn lại là mặt ngoài. Các cạnh này có hai đường viền (hai cạnh), mỗi cạnh có hình tròn. Nếu một loài côn trùng nào đó muốn đan vòng từ ngoài vào trong thì chắc chắn nó phải vượt qua ranh giới này hay ranh giới khác.

Thật dễ dàng để chuẩn bị một mô hình đơn giản về bề mặt có “kiểu dáng” hoàn toàn khác - không phải hai mặt, như bề mặt của chiếc nhẫn, mà là bề mặt một mặt (Hình 2). August Möbius là người đầu tiên mô tả bề mặt như vậy (năm 1863). Xoay một đầu của dải giấy thẳng nửa vòng và dán nó vào đầu kia của cùng dải giấy. Kết quả là một mô hình bề mặt không có hai mặt - “bên trong” và “bên ngoài”. Mô hình này được gọi là “dải Mobius”.

Để đảm bảo rằng bề mặt của dải Mobius chỉ có một mặt, hãy trả lại bút chì màu và bắt đầu tô màu tờ giấy một cách tuần tự mà không nhấc bút chì lên khỏi bề mặt của nó hoặc vượt qua các cạnh của tờ giấy. Quay trở lại nơi bạn đã bắt đầu, bạn sẽ thấy toàn bộ bề mặt của tấm giấy sẽ được sơn, mặc dù bạn chưa bao giờ vượt qua mép của nó.

Bây giờ hãy lấy vài tờ giấy dày hơn, keo dán, kéo và làm một số bài tập thực hành với dải Möbius và các mô hình khác được làm từ dải giấy thẳng.

Kiểm tra 1. Điều gì xảy ra nếu một vòng giấy thông thường (không xoắn) bị cắt dọc theo đường giữa của nó? Rõ ràng - hai vòng và chu vi của mỗi vòng sẽ bằng chiều dài của khoảng.

Cơm. 1.
Cơm. 2.

chu vi của chiếc nhẫn được lấy ban đầu. Và nếu bạn cắt dải Mobius dọc theo đường giữa của nó, bạn sẽ có…
Hãy làm điều đó và xem điều gì sẽ xảy ra.

Kiểm tra 2. Chuẩn bị dải Mobius thứ hai từ một dải khá rộng và cắt bằng kéo sao cho đường cắt luôn sát mép trái của dải gấp đôi so với mép phải (đường cắt sẽ làm đứt dải Mobius hai lần). Bây giờ nó sẽ hình thành…

Kết quả tương tự sẽ đạt được nếu lấy lại dải giấy; Xoay hết một đầu một vòng (360°), dán nó vào đầu kia và cắt mô hình thu được dọc theo đường giữa.

Kiểm tra 3. Cắt các đầu của dải giấy, như trong Hình 3. Dán keo hai đầu A và D. Luồn đầu B bên dưới A và dán nó vào E. Đưa đầu C vào giữa B và A, và đầu F vào giữa D và E, sau đó dán đầu C và F. Làm cho tất cả các đầu dán thẳng, nghĩa là không bị xoắn sơ bộ.

a) Bây giờ hãy tiếp tục mỗi lần cắt mà bạn bắt đầu dọc theo toàn bộ mô hình. Nó sẽ thành công…

Nếu bạn làm sai và gắn đầu C vào đầu F mà không thiếu chữ C giữa B và A thì sau khi cắt theo chỉ định, bạn sẽ nhận được…

Về tra tấn 4 (do E. Stepon đề xuất năm 1930). Một lần nữa, hãy đến—

Chuẩn bị một dải giấy có vết cắt (Hình 3). Xoay đầu E sang bên phải (đầu trên cách xa bạn) và dán vào đầu C. Xoay đầu F sang phải và dán vào đầu B. Đưa đầu A vào dưới B và dán vào đầu D mà không xoắn. Bây giờ, tiếp tục cắt lần thứ nhất và thứ hai dọc theo toàn bộ mô hình - bạn sẽ có…

Về thí nghiệm 5. Thật tò mò lời giải như vậy bài toán: chuẩn bị một mô hình từ một dải giấy mà từ đó có thể tạo ra sự đan xen (một phần, mục đích chung) của n bánh xe chỉ bằng một lần cắt xuyên suốt. (Tín dụng chủ đề M. Brooke và J. Madachy.)

Bí mật của lời giải nằm ở việc uốn sơ bộ dải dọc theo chiều dài của nó ngay cả trước khi cắt và ở phương pháp dán các đầu đã cắt của dải uốn cong.

Bắt đầu bằng cách gấp một dải dọc theo chiều dài của nó (Hình 4). Xoay nó hết một vòng (360°) và dán các đầu lại với nhau, đặt “domikom” đầu này lên đầu kia. Bây giờ hãy cắt lớp băng dính kép dọc theo đường giữa của nó - bạn sẽ có được ba vòng được liên kết thành từng cặp.

Kiểm tra 6. Uốn cong dải giấy và thực hiện các vết cắt như trong Hình 5. Không xoắn, dán các đầu của dải giấy gấp lại với nhau như trong Hình 6. Tiếp tục cắt dọc theo toàn bộ mô hình dọc theo lớp kép.

Cơm. 5.

a) Nếu mọi thứ được thực hiện chính xác, nó sẽ thành ra…
b) Nếu bạn cho phép một số sai lệch so với hướng dẫn, bạn có thể nhận được…
Giới thiệu về bài kiểm tra 7. Để lấy mục tiêu từ các vòng chỉ bằng một đường cắt xuyên suốt, hãy lấy một dải giấy khá rộng và lắp nó bằng một chiếc đàn accordion (Hình 7). Cắt các đầu như trong hình, tạo hình vòng cho dải và dán các đầu lại với nhau: C và C, D và D, E và E - thẳng, vì chúng sẽ được nối với nhau khi các đầu của dải được đóng lại để tạo thành một vòng đơn giản; B và B - trước đó đã kéo một trong các đầu này xuống dưới các vòng CC và DD; A và A - trước đó đã kéo một trong các đầu này xuống dưới các vòng CC và EE.

a) Bây giờ tiếp tục cắt dọc theo mô hình dọc theo tất cả các nếp gấp - bạn sẽ có…
b) Nếu công việc được thực hiện sai lệch so với hướng dẫn (do nhầm lẫn hoặc cố ý) thì công việc vẫn diễn ra…
Đáp số cho các bài toán và thí nghiệm trước đó được đưa ra ở cuối tạp chí. Sáu thí nghiệm tiếp theo sẽ không được chỉ định. Bạn sẽ phải tự mình tìm cách lời giải. Chúng tôi đặt ra điều kiện sau: để đạt được kết quả bằng cách sử dụng một mô hình được cắt từ một dải giấy, theo một cách nào đó

Cơm. 6. Hình 7.

đậu xanh, cắt nhỏ và dán các đầu lại với nhau.
Về bài kiểm tra 8. Tạo mục tiêu bằng 4 vòng.
Kiểm tra 9. Tạo hai chuỗi riêng biệt, mỗi chuỗi có 2 và 3 vòng.
Bài kiểm tra 10. Làm bia bằng 3 vòng có 4 vòng móc vào vòng giữa.
Về bài kiểm tra 11. Biến mục tiêu thành vòng 9.
Bài kiểm tra 12. Làm ba đoạn dây chuyền riêng biệt, mỗi đoạn có 3 vòng (từ một dải giấy).
Bài kiểm tra 13. Tạo một đoạn dây chuyền riêng biệt có 4 vòng và một đoạn dây chuyền riêng biệt thứ hai có 5 vòng (từ một dải giấy).

1. Фg4 - d1 - M₁! Đen có các nước đi sau: quân, tượng hoặc hiệp sĩ. Khi quân d6 hoặc quân cờ c4 di chuyển đến bất kỳ ô cuối cùng nào trên bàn cờ, chúng sẽ bị quân hậu trắng chiếu hết bằng M₁. Nếu quân ở d6 tiến đến ô Oy (qua d8), thì nó sẽ bị quân trắng chiếu hết, và nếu quân ở c4 là quân hậu ở M₁, thì quân cờ này có quân chiếu sẽ bị quân trắng ở h3 ăn. Cuối cùng, bất kỳ nước đi nào của hiệp sĩ h7 đều được theo sau bởi 2. Nf6 mate, và bất kỳ nước đi nào của hiệp sĩ g6 đều được theo sau bởi 2. Ke7 mate.
1. Cd4 - h8 - M₁! (với sự đe dọa của 2. c3 - c4 mate) 1…Ch3 - f1 2. Kh4 - g2! (với sự đe dọa 2. Kg2 : e3 mate) 2…Cf1 : g2 3. c3 - c4 mate: 1…Ch3 - M₂ 2. Kh4 - g2! Kg3 - f1 3. c3 - c4 mate!

Đến bài viết “Về một cuốn sách thú vị về toán học”

Có hai kế hoạch.
Đối với một sơ đồ, hãy thay đổi hướng của ma trận mặt. Mặt khác, chia ma trận mặt làm đôi cho trục ngang, hoán đổi hai nửa mà không thay đổi hướng.

Về bài viết “Lời khuyên của độc giả”

Đảm bảo rằng thuộc tính bắt buộc có giá trị n = 4 và vai trò của p do số 7 đảm nhận.
Đảm bảo rằng thuộc tính bắt buộc có giá trị n = 2 và vai trò của p do số 3 đảm nhận.
Hiển thị log₄ 60 < 3 < log₃ 30.
Viết lại bất đẳng thức được đề xuất dưới dạng
$\frac{m \sqrt{c+1} - m \sqrt{c}}{m \sqrt{c} - m \sqrt{c-1}} < 1,$
để có thêm bằng chứng sử dụng sự bình đẳng
$1 = \left( \frac{m \sqrt{c+1}}{m} \right)^m - \left( \frac{m \sqrt{c}}{m} \right)^m,$
$1 = \left( \frac{m \sqrt{c}}{m} \right)^m - \left( \frac{m \sqrt{c-1}}{m} \right)^m$
và nhân tử hóa các vế phải của chúng (xem trang 49).
B =
$\frac{x}{m + \sqrt{m^2 - x^2}} \frac{2m + \sqrt{m^2 - x^2}}{2m - \sqrt{m^2 - x^2}}.$
Đã chỉ định e. Áp dụng phép thế x = m cos φ, 0 ≤ φ ≤ π.
Giá trị lớn nhất là 2 và đạt được tại x = 1, giá trị nhỏ nhất là 0 và đạt được tại x = -1.
Gấp mảnh giấy sao cho chiều dương của trục x trùng với chiều dương của trục y. Khi đó đường gấp sẽ là một bissertric y = x của góc tọa độ thứ nhất, cắt đồ thị y = x² tại điểm (1, 1). Một đường vuông góc rơi từ điểm này lên trục giúp có thể đặt đơn vị chiều dài.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}, x_{3,4} = \frac{-11 \pm 3 \sqrt{11}}{2}$ .
Đã chỉ định e. Viết lại phương trình dưới dạng
$\frac{1}{\left( \frac{1}{x} \right)^2} + \frac{1}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \right)^2} = 11$
và sử dụng thay thế y = $\frac{1}{x} + \frac{1}{10}$ .
$x_{1,2} = \left( 1 \pm 1 \sqrt{10-3} \right)^2$ . Đã chỉ định e. Đặt $\sqrt{x} = z$ , viết lại phương trình ở dạng $z^4 + (z-2)^4 = 4$ . Chứng minh rằng các giá trị thực thu được của x là nghiệm của phương trình ban đầu.
$x_1 = 2, y_1 = 1; x_2 = -2, y_2 = 1$ .
$x_1 = -1, x_2 = 5$ . Đã chỉ định e. Use the substitution y = x - 2.
$x_1 = -5, x_2 = 2, x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Đã chỉ định e. Sử dụng phép thay thế y = x + $\frac{3}{2}$ .

Về bài viết “Về định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học”

Trong quá trình va chạm, một lực tác dụng lên quả bóng từ phía tường, luôn theo một hướng. Do đó xung thay đổi:
$\Delta (mv) = F\Delta t$ .
Chuyển động của quả bóng trong quá trình va chạm trước tiên sẽ xảy ra với lực F, sau đó theo hướng của F. Do đó, công A = -FΔs + FΔs = ΔK=0.
Công, và do đó độ biến thiên động năng trong quá trình va chạm, bằng không.
Áp lực nước ở đáy cốc lớn hơn ở bề mặt. Do đó động học

Động năng của nước chảy vào bình hở ở đáy lớn hơn động năng của nước chảy vào bình hở ở mặt. Cuối cùng động năng biến thành nhiệt. Do đó, nước sẽ nóng lên nhiều hơn trong trường hợp thứ hai so với trường hợp thứ nhất.

Trong hệ thống báo cáo chuyển động, phản lực của mặt phẳng không vuông góc với tốc độ của khối lập phương. Nó có tác dụng làm giảm năng lượng của khối lập phương.
Sự thay đổi động lượng của một vật bằng động lượng của lực tác dụng lên nó. Vì lực hấp dẫn tác dụng lên hòn đá và Trái đất có độ lớn bằng nhau và tác dụng trong cùng một thời gian nên sự thay đổi xung của các vật thể này cũng bằng nhau.

Sự thay đổi động năng của một vật bằng một lực bằng nhau, lực này phụ thuộc vào lực và độ dịch chuyển. Các lực là như nhau, nhưng độ dịch chuyển của hòn đá và Trái đất, tỷ lệ nghịch với khối lượng của chúng, là khác nhau. Trong quá trình hòn đá rơi xuống, chuyển động của Trái đất sẽ nhỏ đến mức có thể chạy được. Do đó, định luật bảo toàn năng lượng có thể viết dưới dạng không tính đến sự biến đổi động năng của Trái đất.

Về bài viết “Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov” Toán học

Khoa Hóa học

18 kopecks
$x \leq 0$ , $1 \leq x < \log_3 5$ . Gợi ý. Nhập mới chưa biết $y = \log_2 (5 - 3^x)$ .
$x_1 = 0$ , $x_2 = -\frac{\pi}{6}$ .
$V = 4(1 + \sqrt{10})^3$ , $\alpha = \arccos (-1/10)$ .
Gợi ý. Lưu ý rằng bán kính của quả bóng đầu tiên bằng một phần ba chiều cao của kim tự tháp.
Cả hai góc nhọn đều bằng $45^\circ$ .

Khoa Sinh học

6 giờ.
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ , $x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$ ; $k$ , $n$ là những con số mục tiêu.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$ ; $k$ là con số mục tiêu.
5/12.
$a \geq 2$ . Gợi ý. Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ mà trilen $y = z^2 - az - (a + 3)$ có ít nhất một nghiệm không âm.

Khoa Địa chất

$x = 1$ , $y = (-1)^k \frac{\pi}{6} - 1 + k\pi$ ; $k$ là con số mục tiêu.
$x > -2$ .
$9 + \sqrt{11} \kappa m/u$ .
$1/2 < x < 2$ , $x \neq 1$ , $x \neq 3/2$ .
$\sqrt{2} \text{ см}$ .

Khoa khoa học đất

9 chàng trai và 6 cô gái.
Biểu thức thứ hai lớn hơn.
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ , $x_2 = (-1)^n \times \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) + \frac{\pi}{4} + n\pi$ ; $k$ ,
$n$ là mục tiêu của số.
$x_1 = 1$ , $x_2 = 7$ .

Khoa Địa lý

14 m/giờ và 18 m/giờ.
Biểu thức được đề xuất là 6.
$\sqrt{10}$ .
$x = -2 + \sqrt{4 - 2\log_3 5}$ .
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ; $n$ là con số mục tiêu.

Vật lý

Chúng ta hãy biểu thị các điểm mà điện tích ban đầu $q_1$ và $q_2$ được định vị bằng các chữ cái $P$ và $Q$ . Đặt khoảng cách giữa các điểm này là $L$ . Chúng ta hãy tạm thời loại bỏ điện tích $q_1$ đến vô cùng. Trong trường hợp này, theo định nghĩa về điện thế, cần phải thực hiện công $A_1 = -q_1 (\varphi_0P + \varphi_2P)$ , trong đó $\varphi_0P = q_0/4\pi\epsilon_0 l_1$ và $\varphi_2P = q_2/4\pi\epsilon_0 L$ là điện thế tại điểm $P$ được tạo ra bởi điện tích $q_0$ và $q_2$ . Bây giờ chúng ta hãy di chuyển điện tích $q_2$ đến điểm $P$ . Để làm điều này, bạn sẽ cần thực hiện công $A_2 = q_2 (\varphi_0P - \varphi_0Q)$ , trong đó $\varphi_0Q = q_0/4\pi\epsilon_0 l_2$ là điện thế tại điểm $Q$ được tạo bởi điện tích $q_2$ nằm tại điểm $P$ . Tổng công thực hiện khi di chuyển các điện tích $q_1$ và $q_2$ bằng $A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{q_0 (q_2 - q_1) (l_2 - l_1)}{4\pi\epsilon_0 l_2 l_1} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ дж}$ .
Mặt phẳng hạ xuống theo đường thẳng tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời và $\sin \alpha = \frac{h_1 - h_2}{l}$ . Những gì thực sự hoạt động:

lực hấp dẫn, hướng thẳng đứng xuống dưới và bằng $mg$ , lực nâng, ban đầu hướng dọc theo đường chuyển động của máy bay và lực $f$ của lực cản không khí, hướng theo hướng ngược lại với chuyển động.

Vì mặt phẳng chuyển động thẳng đều nên tổng vectơ các lực bằng không. Do đó, tổng hình chiếu của tất cả các lực lên hướng chuyển động cũng bằng 0. Từ điều kiện cuối cùng dễ dàng tìm được $f = mg \sin \alpha = mg \frac{h_1 - h_2}{l}$ . Khi mặt phẳng bay lên (theo điều kiện, dọc theo đường thẳng tạo cùng góc $\alpha$ với đường chân trời) thì ngoài các lực kể trên còn chịu tác dụng của lực kéo $F$ do động cơ tạo ra và định hướng theo hướng chuyển động. Lực kéo $f$ có cùng độ lớn vì tốc độ của máy bay không thay đổi. Cũng giống như trong quá trình đi xuống, tổng hình chiếu của các lực lên hướng chuyển động bằng 0, và hình chiếu $mg \sin \alpha$ của lực hấp dẫn và hình chiếu $f$ của lực cản hướng vào chuyển động và hình chiếu $F$ của lực kéo hướng vào chuyển động.

Vì vậy, $F = mg \sin \alpha + f = 2mg \frac{h_1 - h_2}{l}$ .

Như đã biết, công suất là $N = Fv$ . Như vậy, khi bay lên, động cơ máy bay phát huy công suất

$N = 2mgv \frac{h_1 - h_2}{l} = 200 \text{ ктм} \approx 272 \text{ л. c.}$

Áp lực của nước lên dầu, theo định luật Pascal, là $p = p_1 + p_0$ , trong đó $p_1 = \rho_0 g (h + H)$ là áp suất thủy tĩnh của mực nước ngầm, $\rho_0 = 10^3 \text{ кц/м}^3$ là mật độ của nước, $g = 10 \text{ m/c}^2$ là gia tốc của áp suất tự do. Mặt khác, áp lực lên nước từ phía dầu cũng phải bằng $p$ , vì ranh giới dầu-nước bất động. Nó bao gồm áp suất $p_2 = F/S$ tác dụng lên dầu trước nước sốt và áp suất thủy tĩnh của dầu $p_3 = \rho gh$ . Vì vậy, $p = p_1 + p_0 = p_2 + p_3$ . Do đó $F = S [p_0 + \rho_0 g (h + H) - \rho gh] \approx 1,22 \cdot 10^4 \text{ н}$ .
Đặt $A$ là một điểm và $B$ ảnh của nó khi thấu kính $J$ ở vị trí ban đầu (Hình 1). Có thể tìm thấy việc xét $a$ từ điểm đến thấu kính từ công thức thấu kính $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{f}$ . Có dấu trừ trong công thức vì ảnh và tiêu điểm trong trường hợp thấu kính phân kỳ là tối thiểu.

Do đó $a = \frac{fb}{f - b}$ . Khi thấu kính dịch chuyển và chiếm vị trí $J'$ thì ảnh nằm trên trục phụ của thấu kính trong một mặt phẳng nằm cách thấu kính một khoảng $b$ (điểm $B'$ ). Khoảng cách cần thiết là $l = BB'$ . Từ sự giống nhau của các tam giác $ABB'$ và $AOO'$ , trong đó $O$ và $O'$ là tâm của thấu kính ở vị trí ban đầu và cuối cùng, suy ra: $\frac{l}{L} = \frac{a - b}{a}$ .

Cơm. 1.

Từ đây, tính đến giá trị của $a$ , chúng ta tìm được $l = \frac{(a - b) \cdot L}{a} = \frac{Lb}{f} = 1,2 \text{ см}$ .

Đến bài viết “Gặp ba ẩn số”

a) 186 859 + 96 959 = 283 818; 385 869 + 95 969 = 481 838; 387 869 + 97 969 = 485 838;

6923 + 6943 = 13 866; 6943 + 6923 = 13 866; 6523 + 6543 = 13 066; 6543 + 6523 = 13 066;
b) BUER là 1972, 5472 hoặc 8632.

Chúng ta sẽ thực hiện chu trình hành động sau:
a) Đổ nước vào can 17 lít;
b) đổ đầy thùng 12 lít từ đó; đổ nước từ thùng 12 lít vào thùng;
b) Đổ phần còn lại trong can 17 lít vào can 12 lít (nếu đầy thì đổ vào thùng và đổ lại phần còn lại từ can 17 lít sang can 12 lít).
Đổ đầy bình lớn sáu lần để có tổng cộng 102 lít. Nước sẽ được xả từ một can nhỏ 8 lần, tổng cộng là 96 lít. Chính xác sẽ còn lại 6 lít.
7980:95 = 84 hoặc 7030:95 = 74.
Hai hình lục giác có thể chia mặt phẳng thành 38 phần (Hình 2), còn hai hình lục giác chỉ có thể chia mặt phẳng thành 14. Chứng minh rằng số phần mà hai đa giác chia mặt phẳng bằng số giao điểm của các cạnh của chúng, tăng thêm 2.

Cơm. 2.

Chữ số cuối cùng của tích được xác định bởi các chữ số cuối của các thừa số: 7, 7 × 7, 7 × 7 × 7, 7 × 7 × 7 × 7, 7 × 7 × 7 × 7, … Các số này lần lượt có tận cùng là 7, 9, 3, 1, 7, 9, …, các chữ số cuối cùng được lặp lại sau ba đến một phần tư. Đáp số: 9.
Chân được coi là thông số một cách tự nhiên. Chúng tôi thắt một dải ruy băng màu đỏ trên một đôi chân cho mỗi “món quà”. Sau đó sẽ có 13 cặp chân cởi quần áo - một đôi cho mỗi con chó, hai đôi cho mỗi con ruồi. Rõ ràng là không có nhiều hơn sáu con ruồi. Và nếu có 1, 2, 3, 4, 5, 6 con ruồi trong phòng thì lần lượt có 11, 9, 7, 5, 3, 1 con chó. Ba trường hợp đầu không phù hợp (có người!), còn lại lần lượt cho ba lời giải - 1, 2, 3 người.
Các ô có thể được chia thành các cặp không có cạnh chung với nhau. Chứng minh rằng tích các diện tích của mỗi cặp ô bằng nhau. Đáp số: diện tích của ô thứ tư có thể bằng 4/3 2a, 3 2a, 12 2a (ô nằm trong cặp với ô thứ tư có diện tích lần lượt là 6 2a, 4 2a, 2 2a).
Đáp số: Lớp này có 12 nghệ sĩ violin; 2 học sinh bơi nhưng không nuôi komyak; các bạn nuôi chuột đồng, nhưng không bơi hoặc chơi violin, có thể là 0, 1, 2, …, 22. Để rõ ràng, sẽ rất hữu ích khi có ba vòng tròn giao nhau - một dành cho nghệ sĩ violin, vòng thứ hai dành cho người bơi lội, vòng thứ ba dành cho chuột đồng sinh sản. Sau đó, các nghệ sĩ violin nổi sẽ đứng ở giao điểm của quận 1 và quận 2, 3 người đảm nhận tất cả các chủ đề của hoạt động thứ 3 sẽ đứng ở giao điểm của cả 3 vòng tròn, v.v.

Về bài viết “Tự thực hiện các thí nghiệm tôpô”

(xem “Quant” 1974, số 2, 3)

Bài toán 1. Ví dụ như trong Hình 3.

Bài toán 2. Một trong các thẻ được hiển thị trong Hình 4.

Bài toán 3. Ví dụ như trong Hình 5.

Về thử nghiệm 1… một vòng xoắn.

Về việc tra tấn 2… 2 chiếc nhẫn, nhưng chúng sẽ được liên kết với nhau.

Về tra tấn 3. a) … đan xen ba vòng.

… một chuỗi ba vòng.

Về thử nghiệm 4… 2 vòng lồng vào nhau: một lớn và một nhỏ.

Về tra tấn 6. a) … một chuỗi 3 vòng.

… ba vòng rải rác.

Về tra tấn 7. a) … một chuỗi 5 vòng.

… 5 vòng, một phần đan vào nhau, một phần lồng vào nhau.

Cơm. 3.

Đến bài viết “Trò chơi 15”

(xem “Quant”, 1974, số 2)

a) Kiểm tra bằng chỉ thị trên n.

Nếu các số lân cận bị hoán đổi, thì tuyên bố rất rõ ràng: một phần mềm miễn phí được thêm vào hoặc biến mất. Nếu có s số nằm giữa số i và j, chúng thay đổi vị trí:

… i, k₁, k₂, …, k₃, j, …, thì chuyển vị của số i và j có thể thu được bằng cách thực hiện tuần tự chuyển vị 2s + 1 của các số lân cận.

b) Sử dụng câu sau, chứng minh bằng chỉ thị n: tất cả các hoán vị của n số có thể được tính theo thứ tự tối đa, sao cho mỗi hoán vị tiếp theo sẽ được lấy từ một trang trước đó (và natsinam có thể được thực hiện bằng bất kỳ hoán vị nào), hoặc thay thế các hoán vị chẵn và lẻ thu được từ nhau bằng biến vị trí của hai số đầu tiên của hoán vị.

Số hoán vị của n số nhiều hơn n lần số hoán vị của (n − 1) số.
Hãy sơn ô chơi số 15 giống như một bàn cờ vua. Mỗi lần di chuyển quân cờ, màu của ô tự do sẽ thay đổi. Trong hình 1 và 2 của bài viết, cùng một ô là miễn phí. Điều này có nghĩa là từ một trong các vị trí được hiển thị trên chúng đến vị trí khác

Bạn không thể tiến về phía trước bằng cách thực hiện một số lượng lẻ các quân cờ phân chia.

Xem lời giải bài toán 1, 6).
Khi một dòng không chứa ô trống được dịch chuyển theo chu kỳ, tính chẵn lẻ của hoán vị tương ứng với vị trí của bộ kiểm tra sẽ thay đổi.
a) Có thể được. Để chứng minh từng cách sắp xếp quân cờ, hãy so sánh hoán vị của các số 1, …, 16 theo quy tắc sau. Đầu tiên, chúng ta viết số của quân cờ ở dòng đầu tiên, sau đó ở dòng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 (ở mỗi dòng, đi về bên phải). Hãy thực hiện các phép biến đổi sau đây theo cách sắp xếp “bình thường”: xoay hàng thứ 1 sang trái theo chu kỳ, sau đó cột thứ 1 lên trên, sau đó là hàng thứ 1 sang phải và cuối cùng, cột thứ 1 xuống:

← 1 2 3 4 2 3 4 1 5 3 4 1 →
5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8
9 10 11 12 9 10 11 12 13 10 11 12
13 14 15 16 13 14 15 16 2 14 15 16

(a) (b) (c)

1 5 3 4 2 5 3 4
9 6 7 8 1 6 7 8
13 10 11 12 9 10 11 12
2 14 15 16 13 14 15 16

(g) (e)

Chúng tôi biểu thị ngắn gọn chuỗi biến đổi này như sau: (1←, 1↑, 1→, 1↓). 4 phép biến đổi của chúng tôi đã biến đổi hoán vị 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 16 thành 2, 5, 3, 4, 1, 6, 7, …, 16: các số 1, 2 và 5 di chuyển theo chu kỳ, các số còn lại giữ nguyên. Áp dụng 4 phép biến đổi tương tự (2→, 2↓, 2←, 2↑) cho cách sắp xếp (e), ta thu được một cách sắp xếp đặc trưng bởi hoán vị 2, 6, 3, 4, 5, 1, 7, …, 16. Chuỗi (1←, 2↑, 1→, 2↓) áp dụng để thu được cách sắp xếp dẫn đến hoán vị 2, 3, 1, 4, 5, 6, 7, …, 16. Là kết quả của 12 phép biến đổi, các số 1, 2, 3 đã di chuyển theo một vòng tròn. Bộ ba số (1, 2, 3) và (4, 3, 2) trong cách sắp xếp “bình thường” (a) đều bằng nhau. Vì vậy, dễ dàng tìm được 12 phép biến đổi chuyển vị trí này sang vị trí khác,

Đối với vấn đề «Kvant» cho học sinh nhỏ (xem «Kvant», 1974, số 2)

5 học sinh; 1, 4, 5, 6, 9 kopecks.
Như nhau.
684 259 × 2 = 1 368 518.
Xem hình. 6.
Không. Bóng đèn được thay sẽ cháy yếu hơn vì điện trở của nó nhỏ hơn so với các bóng đèn khác và dòng điện trong mạch hầu như không thay đổi.

Cơm. 6.

Đến “Chineward”
(xem «Kvant», 1974, số 2, trang 4 vùng)

Poncelet. 2. Euclid. 3. Giải trừ. 4. Galois. 5. Archimedes. 6. Inch. 7. Monge. 8. Zhiar. 9. Rumbus. 10. Bourbaki. 11. Tích phân. 12. Ludolf. 13. Thales. 14. Ngụy biện. 15. Mersenne. 16. Niglistka. 17. Bàn tính. 18. Cháo. 19. Ibn Sina. 20. Ambartsumyan.

Nhà máy in Chekhov Soezpolygraphprom thuộc Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow

Người quản lý không trở lại

Góc sưu tầm

Sở thích khoa học
Franklin rất sang trọng
số phận, nhưng cái chính là mây mù
nghiên cứu của anh ấy là
vật lý. Nổi tiếng nhất
Nghiên cứu của Franklin
lĩnh vực điện lực. Anh ta
giải thích nguyên lý hoạt động
Bình Leyden, giới thiệu
sự chỉ định hiện được chấp nhận của hai
trạng thái đối lập
vật thể tích điện có dấu hiệu
“+” và “-”.