Tín hiệu. quang phổ

2

Trong cuộc sống hiện đại, chúng ta thực sự bị choáng ngợp bởi dòng thông tin khác nhau, khối lượng của chúng ngày càng tăng lên. Thông tin này được truyền đi bằng radio, tivi, điện thoại và điện thoại dưới dạng tín hiệu. Một đặc tính rất quan trọng của bất kỳ tín hiệu nào là phổ của chúng, bị giới hạn bởi hình dạng và thời lượng của tín hiệu. Biểu diễn quang phổ giúp so sánh các quá trình vật lý có tính chất khác nhau và nghiên cứu các hiện tượng hoạt động, điện từ, quang học và các hiện tượng khác từ một quan điểm duy nhất. Vì vậy, sẽ rất hữu ích nếu hiểu được tín hiệu và quang phổ của chúng, biết được mối quan hệ giữa quang phổ và các đặc tính khác của tín hiệu. Điều này sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Về tín hiệu

Ban đầu, chúng ta tiếp nhận thông tin về thế giới phong phú và đa dạng xung quanh mình qua mắt và tai. Chúng ta chiêm ngưỡng cảnh tượng thú vị của bình minh hoặc hoàng hôn trên biển hoặc bìa rừng, cầu vồng và ánh sáng rực rỡ, những nỗ lực của các bậc thầy hội họa nổi tiếng, những tòa nhà mảnh mai, nhiều loại máy móc khác nhau, v.v. Nhìn vào văn bản và công thức, chúng ta cảm nhận được suy nghĩ của người khác được thể hiện qua nó. Điều tương tự cũng xảy ra khi chúng ta phục vụ lời nói hoặc âm nhạc. Trong tất cả các trường hợp này, một người nhận thấy các thông điệp đóng vai trò là người vận chuyển thông tin. Từ quan điểm này, âm thanh và hình ảnh là những ví dụ về thông điệp.

Để truyền âm thanh hoặc hình ảnh trên khoảng cách xa, tin nhắn được chuyển đổi thành tín hiệu điện tương ứng, nghĩa là trong quá trình điện $u(t)$, được đặc trưng bởi sự phụ thuộc nhất định của đại lượng điện $u$ vào thời gian $t$, hoặc như người ta nói, tin nhắn được mã hóa. Âm thanh được mã hóa tương đối dễ dàng bằng thiết bị micrô. Micrô bị ảnh hưởng bởi các rung động không khí khác, vai trò của thông báo được thực hiện bởi áp suất âm thanh $p$ trên màng micrô, thay đổi theo thời gian theo quy luật $p(t)$. Ví dụ: trong trường hợp này, ở micrô carbon, điện trở của micrô và dòng điện trong mạch của nó thay đổi tương ứng, do đó điện áp $u(t)$ ở đầu ra của thiết bị micrô thay đổi theo thời gian theo quy luật tương tự như áp suất âm thanh $p(t)$.

Việc mã hóa một hình ảnh khó khăn hơn nhiều. Đầu tiên, một thiết bị quang điện đặc biệt chuyển đổi hình ảnh quang học thành hình ảnh điện, trong đó sự phân bố có hướng tương ứng với cường độ của các phần khác nhau của hình ảnh. sau đó, với sự trợ giúp của chùm tia điện tử chạy xung quanh ảnh điện, một chuỗi

3

sự biến đổi tiếp theo của hình ảnh này thành tín hiệu điện $u(t)$, đặc trưng cho sự phụ thuộc nhất định của $u$ vào thời gian $t$. Tùy thuộc vào $u(t)$, thông tin về hình ảnh này sẽ bị biến chất.

Khi nghiên cứu tín hiệu điện, người ta thường không rõ đại lượng điện được hiểu là $u$—điện áp, dòng điện hoặc điện tích. Điều quan trọng không phải là điều gì thay đổi mà là giá trị này thay đổi như thế nào theo thời gian. Bạn có thể trừu tượng hóa bản chất vật lý của đại lượng này và quan tâm đến bản chất của sự phụ thuộc toán học $u(t)$, tức là hàm của thời gian $t$, chẳng hạn như nó liên tục hay dạng xung, hình sin hay không hình sin, v.v. Trong trường hợp cuối cùng, điều quan trọng đối với chúng tôi là, bất kể bản chất vật lý của tin nhắn, mã hóa tín hiệu mà nó được truyền dưới dạng một hàm nhất định của thời gian.

Biểu diễn thời gian và quang phổ của tín hiệu

Khi nghiên cứu một sự kiện, chúng ta thường quan tâm đến việc nó sẽ xảy ra ở đâu và khi nào, những chuyển động nào trong không gian và những thay đổi về thời gian đã diễn ra. Vì vậy, chúng ta đã quen với việc coi độ lớn của một đại lượng là hàm của tọa độ không gian và thời gian.

Tín hiệu là một vấn đề khác. Giá trị tọa độ không gian của nguồn tín hiệu không có nhiều ý nghĩa, vì trên quy mô trái đất, tín hiệu được truyền bởi sóng điện từ lan truyền gần như ngay lập tức (hãy nhớ rằng trong không khí, tốc độ của sóng điện từ là $\approx 3 \cdot 10^8$ m/s). Ví dụ, khi một vở kịch được phát sóng từ Nhà hát Moscow, thính giả đài ở Vladivostok sẽ nghe thấy âm thanh được nói trên sân khấu, thậm chí trước cả những người Muscovite ngồi ở hàng sau của khán đài, vì sóng điện từ truyền đi nhanh hơn sóng âm khoảng một triệu lần.

Nhưng điều rất quan trọng là tín hiệu thay đổi như thế nào theo thời gian, vì sự phụ thuộc $u(t)$ chứa thông tin được truyền đi. Tùy thuộc vào, bạn có thể viết những cái tương tự hoặc trình bày chúng dưới dạng biểu đồ $u(t)$. Nhưng tín hiệu có thể được mô tả theo cách khác, từ quan điểm về trạng thái quang phổ của nó và cũng có thể được biểu diễn bằng đồ họa theo cách thích hợp. Phổ tín hiệu là gì? Hãy thử tìm hiểu điều này.

Chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các tín hiệu tuần hoàn như vậy, nghĩa là hàm $u(t)$ thỏa mãn tương ứng.

$$u(t + nT) = u(t),$$

trong đó $T$ là hằng số được gọi là dấu chấm, $n$ là số bất kỳ. Một quá trình tuần hoàn cũng có thể được đặc trưng bởi tần số $v = \frac{1}{T}$. Về mặt lý thuyết, người ta cho rằng tính tuần hoàn như vậy tồn tại mãi mãi và không có điểm bắt đầu hay kết thúc về mặt thời gian. Trong thực tế, các quy trình định kỳ cũng bao gồm các quy trình có thời lượng dài hơn nhiều so với khoảng thời gian.

Hình 1 cho thấy biểu đồ của ba quy trình hàng loạt khác nhau. Dễ dàng nhận thấy chúng có cùng tần số nhưng hình dạng rung động khác nhau. Sau này bạn sẽ thấy rằng những rung động này, có hình dạng khác nhau, có thành phần quang phổ khác nhau.

Chúng ta hãy xem xét kinh nghiệm này. Giả sử có nhiều mạch cộng hưởng khác nhau được điều chỉnh theo tần số $v_0, 2v_0, 3v_0$, v.v., và các tín hiệu điện tương ứng với các quá trình được chỉ định sẽ đồng thời tác động đến các mạch này. Hóa ra tín hiệu đầu tiên $u_1(t)$ kích thích dao động trong ba mạch được điều chỉnh theo tần số $v_0, 2v_0$ và $3v_0$; nhiều mạch hơn đáng kể phản hồi tín hiệu thứ hai $u_2(t)$ và khi tiếp xúc với tín hiệu cuối cùng $u_3(t)$

4

dao động chỉ xảy ra trong một mạch có tần số tự nhiên $v_0$. Rõ ràng, đối với các mạch dao động như vậy, quá trình tuần hoàn $u_3(t)$ là đơn giản nhất, vì nó chỉ gây ra sự kích thích ở một tần số bằng $v_0$. Quá trình này chắc chắn quen thuộc với bạn; nó đại diện cho cái gọi là dao động hình sin, hay dao động điều hòa, được mô tả bằng sự tương ứng

$$u(t) = A \sin(2\pi v_0 t + \varphi) = A \sin(\omega_0 t + \varphi),$$

cơm. 1.

dao động chỉ xảy ra trong một mạch có tần số tự nhiên $v_0$. Rõ ràng, đối với các mạch dao động như vậy, quá trình tuần hoàn $u_3(t)$ là đơn giản nhất, vì nó chỉ gây ra sự kích thích ở một tần số bằng $v_0$. Quá trình này chắc chắn quen thuộc với bạn; nó đại diện cho cái gọi là dao động hình sin, hay dao động điều hòa, được mô tả bằng sự tương ứng

$$u(t) = A_1 \sin(\omega_0 t + \varphi_1) + A_2 \sin(2\omega_0 t + \varphi_2) + A_3 \sin(3\omega_0 t + \varphi_3) + \dots + A_h \sin(k\omega_0 t + \varphi_h) + \dots$$

hoặc, ngắn gọn hơn,

$$u(t) = \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(k\omega_0 t + \varphi_k),$$

trong đó $k$ là số lượng sóng hài xác định tần số của nó, $A_k$ là biên độ của sóng hài, $\varphi_k$ là pha ban đầu của sóng hài, $\omega_0$ là tần số vòng của quá trình đang nghiên cứu.

Do đó, tín hiệu được biểu thị dưới dạng tổng của sóng hình sin có thể được đặc trưng một cách thuận tiện và đơn giản bằng sự kết hợp của các giá trị $A_k$ và $\varphi_k$. Tập hợp các đại lượng $A_k$ được gọi là phổ biên độ. Phổ này được thể hiện rõ ràng bằng đồ họa, vẽ các giá trị $A_k$ dọc theo trục tọa độ và $v$ dọc theo trục abscissa và được mô tả

5

Cơm. 3.

nén biên độ của các sóng hài dọc riêng lẻ thành các đoạn có độ dài thích hợp. Quang phổ như vậy là đường thẳng và hài hòa. Điều thứ hai có nghĩa là có nhiều sự tương ứng đơn giản giữa các tần số hài. Nếu quá trình không tuần hoàn thì nó cũng có thể được biểu diễn bằng tổng các hình sin, nhưng phổ của quá trình đó sẽ không hài hòa. Tập hợp các đại lượng $\varphi_h$ được gọi là phổ pha. Khi phân tích tín hiệu, trong hầu hết các trường hợp, chỉ cần biết phổ biên độ là đủ. Do đó, để nhân lên, phổ biên độ được gọi là phổ đơn giản, đó là điều chúng ta sẽ làm trong tương lai.

Theo quy luật, khi số lượng sóng hài tăng thì biên độ của chúng giảm và bắt đầu từ một số nhất định, biên độ của các sóng hài tiếp theo trở nên nhỏ đến mức có thể bỏ qua chúng. Do đó, quang phổ thực tế có số vạch quang phổ hạn chế. Tuy nhiên, một trong những đặc điểm của quang phổ là độ rộng của nó. Độ rộng phổ là khoảng trên thang tần số mà phổ đó nằm trong đó.

Hình 2 cho thấy phổ của các hàm $u_1(t), u_2(t)$ và $u_3(t)$, chẳng hạn, thu được bằng cách sử dụng tập hợp các mạch cộng hưởng được đề cập ở trên. Chúng minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa biểu diễn thời gian và quang phổ của tín hiệu. Chúng ta thấy rằng một hàm số thay đổi càng chính xác theo thời gian thì phổ của nó càng phong phú và rộng hơn. Điều đó là tự nhiên. Để có được những thay đổi rõ rệt trong kết quả của các hàm bằng cách thêm các hình sin biến thiên liên tục và trơn tru, cần phải thêm một số lượng lớn các hình sin có tần số, biên độ và pha khác nhau. Để tái tạo một quá trình liên tục gần với một hình sin, một số lượng nhỏ các hình sin như vậy là đủ. Ví dụ: Hình 3 cho thấy phép cộng bằng đồ họa của ba hình sin có tần số và biên độ tương ứng với phổ của Hình 2, $a$ và các pha ban đầu bằng 0. Đường cong thu được (hiển thị bằng màu xanh lam) có hình dạng giống với đường cong trong Hình 1, $a$.

Quang phổ âm thanh

Tin nhắn âm thanh thường được chia thành âm thanh âm nhạc và tiếng ồn.

Âm thanh âm nhạc là một quá trình thay đổi có tính chu kỳ, chẳng hạn như trong Hình 4, $a$. Đặc biệt, nếu quá trình này diễn ra hài hòa thì chúng ta nói đến giai điệu âm nhạc. Sử dụng Fourier, âm thanh âm nhạc có thể được coi là tập hợp các âm nhạc cơ bản và một số âm cao - âm bội. Trong phổ của tín hiệu tương ứng, âm cơ bản có biên độ lớn nhất; với số lượng sóng hài ngày càng tăng, biên độ của chúng đáng chú ý

6

Tên của nhạc cụ là nơi phát ra nốt nhạc này. Hình 5 hiển thị đồ thị và quang phổ của vai trò âm thanh và kèn clarinet cho cùng một nốt.

Những âm thanh không liên tục như tiếng trống hay tiếng gõ cá cược đều là những tiếng động. Tín hiệu nhiễu được đặc trưng bởi tính không tuần hoàn và sự phụ thuộc thời gian phức tạp (ví dụ như trong Hình 4, 6).

Một phổ như vậy, phổ tiếng ồn của máy nén, được thể hiện trong Hình 6. Nó chứa nhiều thành phần tần số khác nhau. Phổ tiếng ồn rộng hơn và phong phú hơn đáng kể so với phổ âm nhạc. Điều này có thể được xác minh dễ dàng bằng cách thực hiện, ví dụ, một thí nghiệm đơn giản với các buồng cắt có tần số dao động tự nhiên khác nhau. Chỉ một trong các buồng phản ứng với âm thanh dài của một giai điệu âm nhạc thuần khiết. Nếu bạn đánh trống thật gần, nhiều khoang sẽ bắt đầu chơi. Nghĩa là, một âm thuần có thể được biểu thị bằng một tần số và nhịp trống có thể được biểu thị bằng một số lượng lớn tần số.

Cơm. 4.

giảm xuống, do đó phổ thực tế của một tấn nhạc có tương đối ít hài âm. Vai trò của những hòa âm này trong việc cảm nhận cảm xúc về âm nhạc là rất lớn. Họ xác định âm sắc của âm thanh âm nhạc. Chơi cùng một nốt nhạc trên các nhạc cụ khác nhau, chúng ta thu được âm thanh có số lượng hài âm khác nhau và sự tương ứng khác nhau giữa biên độ của chúng. Sự tương ứng và quang phổ của những âm thanh này sẽ khác nhau, nhờ đó chúng ta đã phân biệt được âm thanh nào

Cơm. 5.

Cơm. 6.

7

Sự khác biệt về chất giữa các tiếng ồn khác nhau được thể hiện ở chỗ phổ của một tiếng ồn có thể có nhiều thành phần phổ tích hợp hơn ở vùng tần số thấp, trong khi tiếng ồn khác có thể có nhiều thành phần phổ tích hợp hơn ở tần số cao hơn, nghĩa là ở các tỷ lệ khác nhau giữa các thành phần phổ.

Tiếng ồn có màu gì?

Biểu diễn quang phổ giúp tạo ra một ngôn ngữ trực quan và thống nhất để mô tả các quá trình có tính chất vật lý khác nhau, đôi khi sử dụng các liên kết và sự tương tự không mong đợi.

Ví dụ, các chuyên gia đôi khi sử dụng thuật ngữ “tiếng ồn trắng”. Theo quan điểm của các nhà ngữ văn, điều này thật vô nghĩa, và họ có thể cho thấy rằng tiếng ồn không có màu sắc, chúng ta không nhìn thấy nhưng lại nghe thấy nó. Tuy nhiên, đối với một nhà vật lý thì đây là một định nghĩa hoàn toàn dễ hiểu, khá chính xác và đầy đủ, sử dụng sự tương tự giữa âm thanh và ánh sáng.

Được biết, lỗi màu trắng là kết quả của việc mắt tiếp xúc với toàn bộ các tia sáng, từ đỏ đến ngữ văn. Ánh sáng trắng có phổ liên tục, trong đó tất cả các tần số của phần nhìn thấy được của thang sóng điện từ đều được biểu diễn (từ 3,8·10¹⁴ đến 7,5·10¹⁴ etz).

Mặc dù có định nghĩa về sự phân bố năng lượng theo tần số và năng lượng cực đại phát ra từ nguồn sáng trắng rơi vào một phần cụ thể của quang phổ khả kiến ​​(đặc biệt, năng lượng cực đại của bức xạ mặt trời nằm ở phần màu vàng-lục), bức xạ ở các phần khác của quang phổ khả kiến ​​cũng rất mạnh, nghĩa là trong ánh sáng trắng, năng lượng của màu đỏ, lục, lam và các màu khác có màu trắng hoặc phân bố kém đều trên toàn bộ dải sóng ánh sáng khả kiến.

Tương tự, “tiếng ồn trắng” là tiếng ồn trong đó tất cả các tần số âm thanh đều có trong phổ liên tục và sự khác biệt về năng lượng giữa các thành phần phổ khác nhau không mạnh lắm.

Phổ tín hiệu xung

Trong công nghệ hiện đại, ví dụ, trong điện thoại, radar và truyền hình, các tín hiệu ở dạng xung lặp lại định kỳ có dạng đường thẳng thường được sử dụng (Hình 7 và 8). Như có thể thấy từ những hình này, những tín hiệu như vậy có phổ phong phú chứa nhiều vạch quang phổ được nhóm thành những “cánh hoa” đặc biệt và tần số tương ứng với các “nút” của những cánh hoa này bằng n/τ, trong đó n là số lượng cánh hoa. Về mặt lý thuyết, các phổ như vậy có phạm vi tần số vô hạn, nhưng vì sau búp thứ ba, biên độ của sóng hài trở nên không đáng kể nên tần số thực tế có thể bị hạn chế.

8

được bao phủ bởi những cánh hoa vương miện đầu tiên. Độ rộng của phổ giới hạn Δv như vậy có liên quan đến độ rộng xung τ của một sự phụ thuộc đơn giản:

$$\Delta v = \frac{3}{\tau},$$

nghĩa là độ rộng phổ của xung giới hạn trực tiếp tỷ lệ nghịch với thời lượng của nó.

Sự tương ứng này có tầm quan trọng thực tế lớn. Nó cho thấy rằng thời lượng xung càng ngắn, nghĩa là đường truyền càng ít quan trọng, phổ của tín hiệu đó càng rộng và dải tần cần thiết để tái tạo khá chính xác của nó càng rộng.

Ví dụ: khi truyền tín hiệu điện báo, thời lượng trung bình của các xung (dấu chấm và loại) là khoảng 0,1 s. Điều này tương ứng với độ rộng phổ Δv = 30 2ts. Nếu để chiếm một đường dây liên lạc, tín hiệu điện báo được truyền nhanh hơn 100 lần (τ = 0,001 s), Δv tăng lên 3000 2ts. Do đó, tín hiệu được truyền đi càng nhanh thì phổ của nó càng rộng.

Bản chất khác nhau của tin nhắn đòi hỏi phải truyền tín hiệu tương ứng nhanh chóng. Đặc biệt, đây là trường hợp trong truyền hình. Vì nhiễu thị giác của hình ảnh chỉ được lưu giữ trong mắt chúng ta khoảng 1/25 giây nên trong thời gian này cần phải truyền một khung hình, tức là ở dạng xung tuần tự, truyền thông tin về độ sáng của khoảng 500.000 phần tử hình ảnh (theo tiêu chuẩn hiện đại). Trong trường hợp này, mỗi xung kéo dài chưa đến một phần triệu giây, trong khi phổ của tín hiệu truyền hình chiếm dải tần rộng hàng chục triệu hertz, điều này gây ra những khó khăn đặc biệt trong quá trình truyền tín hiệu.

Sử dụng ví dụ về xung trực tiếp, chúng tôi gặp phải một mẫu rất lớn cũng có giá trị đối với các loại xung khác. Mẫu này có thể được biểu diễn bằng toán học bằng cách viết lại sự tương ứng trên dưới dạng τ·Δv = const.

Ý nghĩa vật lý của sự tương ứng này là không thể tập trung đồng thời một tín hiệu như vậy theo thời gian và tần số. Ví dụ, nếu trong nỗ lực mở rộng quy mô tín hiệu theo thời gian, nghĩa là để truyền thông tin nhanh hơn, chúng ta giảm thời lượng xung τ, trong khi dải tần tăng lên và phổ của tín hiệu mở rộng.

Cũng theo công thức trên, độ rộng phổ Δv của các xung trực tiếp chỉ được xác định bởi khoảng thời gian τ của chúng và không phụ thuộc vào tần số lặp lại xung v = 1/T. Điều này rất quan trọng trong thực tế, vì nó có thể dễ dàng xác định giá trị tối thiểu của τ tại đó dải tần mà một tín hiệu nhất định chiếm giữ không vượt quá dải tần cho phép đối với một hệ thống nhất định để truyền và nhận các xung tín hiệu.

Tuy nhiên, với sự thay đổi tần số v, số vạch quang phổ trong mỗi thùy sẽ thay đổi, tức là mật độ của chúng. Do đó, với khoảng cách giữa các xung ngày càng tăng, v giảm và số lượng các vạch này trong dải phổ tăng lên (Hình 7 và 8). Rõ ràng, trong trường hợp giới hạn của sự chuyển đổi từ các xung lặp lại định kỳ sang một xung đơn (T → ∞ và v → 0), phổ sẽ trở nên liên tục, điều này thực sự được xác nhận bằng thí nghiệm.

Điều đáng quan tâm thực tế là phổ xung phát sinh khi bật công tắc và tiếp điểm của các mạch điện khác nhau, khi dòng điện trong mạch tăng mạnh từ 0 đến một giá trị nhất định (Hình 9, a). Tín hiệu như vậy có phổ liên tục, như trong Hình 9, b, trong đó tần số v thay đổi liên tục được vẽ dọc theo trục ngang. Từ