Truyền hình chuẩn bị vào đại học

50

TV
CHUẨN BỊ ĐẠI HỌC

Tại Khoa Toán học của các Nhà công nghệ Moscow vào tháng 5, các chủ đề “hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp”, “hình chắn và hình nón”, “lời giải bài toán từ các phần khác nhau của phép đo lập thể”, “về chứng minh trong toán học”, “chứng minh bất đẳng thức” đã được thảo luận. Về chủ đề lập thể, chúng tôi cung cấp cho gia đình lời giải một số bài toán điển hình ở nhà bài toán.

Mathematica

1. (MEPhI, 1973). Có hai vật chuyển động dọc theo một đường tròn ngược chiều nhau, vật thứ nhất chuyển động thẳng đều với vận tốc v, vật thứ hai chuyển động nhanh đều với gia tốc tuyến tính a. Tại thời điểm ban đầu, họ ở cùng một điểm trên đường tròn A và vận tốc của vật thứ hai bằng 0. Sau bao lâu thì cuộc gặp gỡ đầu tiên của hai vật này xảy ra nếu cuộc gặp gỡ thứ hai xảy ra tại điểm A?

2. (MEPhI, 1973). Ở đáy của một paramid tứ giác có một hình vuông có cạnh a. Vì thông qua đỉnh của paramida và các đường chéo của đáy, chúng lần lượt nghiêng với mặt phẳng của đáy ở các góc φ và ψ. Tìm thể tích của paramid nếu chiều cao của nó cắt một trong các cạnh của đáy paramid.

3. (MEPhI, 1973). Chiều cao của một hình nón dốc thẳng bằng H. Hai đường sinh vuông góc lẫn nhau chia đường tròn đáy thành hai cung, một cung có chiều dài bằng một nửa cung kia. Tìm thể tích của hình nón.

4. Một hình cầu được dựng ở độ cao của hình nón cũng như đường kính. Diện tích phần bề mặt của hình cầu nằm trong hình nón là $1/2$ diện tích đáy hình nón. Tìm góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón.

5. Một chi hình tam giác vuông nội tiếp trong một quả cầu có bán kính R. Đáy của dấu hiệu là một tam giác vuông có góc nhọn α và mặt lớn nhất của nó là hình vuông. Tìm khối lượng công nhận.

6. (MEPhI, 1972). Trong tam giác paramid SABC, các góc phẳng tại đỉnh S được biết là: $\Rightarrow BSC = 90^\circ$, $\Rightarrow ASC = \Rightarrow ASB = 60^\circ$. Các đỉnh A, S và trung điểm của các cạnh SB, SC, AB, AC nằm trên một mặt cầu có bán kính 3 m. Chứng minh rằng cạnh SA là đường kính của quả bóng này và tìm thể tích của paramid.

7. (MSU, 1972). Khi các quả bóng chạm vào nhau theo cặp và một mặt phẳng nào đó. Các điểm tiếp xúc của các quả bóng với mặt phẳng tạo thành một tam giác vuông có cạnh bằng 3 cm và góc đối diện là 30°. Xác định bán kính của các quả bóng đã cho.

Cuối tháng 5, các chủ đề “về chứng minh toán học” và “chứng minh các bất đẳng thức” đã được nghiên cứu trên điện thoại. Đối với những chủ đề này, chúng tôi cung cấp cho bạn một loạt bài toán.

8. Chứng minh rằng nếu a + b = 1, trong đó a và b là các số thực thì

a) $a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}$; 6) $a^4 + b^4 \geq \frac{1}{8}$.

9. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d > 0 thì $\frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}$ và dấu đẳng thức chỉ đúng với a = b = c = d.

10. Chứng minh rằng nếu $a_1 > 0, a_2 > 0, \dots, a_n > 0, a_1a_2...a_n = 1, n \geq 2$ thì $a_1 + a_2 + \dots + a_n \geq n$.

trong trường hợp này, dấu bằng chỉ xuất hiện ở $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

11. Chứng minh rằng nếu $a_1 > 0, a_2 > 0, \dots, a_n > 0$ thì $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ và dấu đẳng thức chỉ đúng với $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

12. Chứng minh rằng nếu số dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ tạo thành một cấp số cộng thì

$$\sqrt{a_1a_n} \leq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq \frac{a_1 + a_n}{2}$$

13. Chứng minh rằng với n ≥ 2 thì bất đẳng thức $n^n \leq (n!)^2$ đúng.

14. Chứng minh rằng nếu $\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}$ thì $\frac{\sin^2 \varphi}{\cos \varphi (\sin \varphi - \cos \varphi)} \geq 4$.

15. Chứng minh rằng nếu $\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}$ thì $\frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi (\sin \varphi - \cos \varphi)} > 8$.

Vật lý

Tại Khoa Vật lý, các khóa học vật lý và toán học truyền hình dành cho ứng viên đại học vào tháng 4 và tháng 5, các bài giảng đã được giảng và các lớp thực hành được tiến hành trong các phần “Quang học hình học”, “Tính chất sóng và lượng tử của ánh sáng”, “Cấu trúc nguyên tử”.