Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow

42

Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow

Trong «Kvant» số 7 năm 1973, chúng tôi đã nói về Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Moscow. Trong số này, chúng tôi công bố các biến thể của kỳ thi viết đầu vào môn toán và kỳ thi vấn đáp bài toán môn vật lý năm 1973.

Toán học

Tùy chọn 1

(chuyên ngành: cầu đường, kỹ thuật công nghiệp và dân dụng, kinh tế xây dựng, kinh tế vận tải, vận hành vận tải, xây dựng đường sắt, năng lượng điện tử công nghiệp, xây dựng điện tử, máy móc xây dựng và đường bộ)

1. Hai công nhân A và B bắt đầu thu hoạch khoai tây từ thửa ruộng lúc 8 giờ sáng với năng suất như nhau. Lúc 9 giờ, họ có sự tham gia của công nhân thứ ba C. Lúc 11 giờ B và C rời đi, một mình A hoàn thành phần còn lại của công trường trong 6 giờ.

Hỏi mỗi công nhân làm việc riêng biệt phải dọn dẹp khu vực đó trong bao nhiêu giờ nếu biết công nhân C cần ít hơn A 5 giờ để làm việc này?

2. Giải bất đẳng thức
   $$|x^2 - 3x| + x - 2 < 0.$$

3. Chiều cao của hình lăng trụ tam giác đều là h. Nguyên thủy nối tâm của đế trên với điểm giữa của cạnh của đế dưới, nghiêng với mặt phẳng của đế dưới một góc α. Tìm tổng bề mặt của lăng kính.

4. Giải phương trình
   $$\sin 3x - 4\sin x\cos 2x = 0.$$

Tùy chọn 2

(chuyên ngành: hệ thống điều khiển tự động, máy tính điện tử, tự động hóa và cơ điện tử trong công nghiệp).

1. Cậu bé và chiếc xe khởi hành từ ga xe lửa đến bãi biển. Một lúc sau, cậu bé gặp một chiếc ô tô đang treo cờ. Anh cố gắng đi bộ thêm một đoạn nữa từ nơi gặp người tài xế xe buýt thì cũng chính người tài xế xe buýt đó, đang tìm kiếm lần thứ hai từ nhà ga đến bãi biển, đã đuổi kịp anh. Được biết, khoảng cách giữa điểm gặp nhau lần thứ nhất và lần thứ hai bằng 4/15 quãng đường từ nhà ga đến bãi biển. Vận tốc của người lái xe lớn hơn vận tốc của cậu bé bao nhiêu lần?

2. Tại giá trị nào của a là nghiệm của phương trình
   $$\frac{a+3}{x+1} - \frac{5-3a}{x-2} = \frac{ax+3}{x^2-x-2}$$

ít nhất là 1?

3. Đáy của một hình bình hành bên phải là hình thoi. Một trong các đường chéo của hình bình hành bằng a và tạo thành một góc α với mặt phẳng đáy và một góc β với một trong các mặt bên. Tìm thể tích của hình bình hành.

4. Tìm $$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$$ nếu $$\sin\alpha + \cos\alpha = a.$$

Tùy chọn 3

(chuyên ngành: toán ứng dụng)

1. Một số người đã mua dịch vụ. Số tiền được gửi lần lượt, với mỗi lần gửi tiếp theo nhiều hơn lần trước 2 rúp. Khi phục vụ người bạn, số tiền thắng cược lên tới 460 rúp. Số tiền thắng cược được chia tương ứng với số tiền đóng góp của mỗi người. Có bao nhiêu người tham gia mua dịch vụ, nếu biết rằng có ít hơn 20 người và người đầu tiên nhận được 20 rúp khi chia tiền thắng cược, còn những người còn lại nhận được một số rúp.

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+1} - 1 - \sqrt{\frac{x-1}{x}} = 0.$$

3. Tìm diện tích của một tam giác nội tiếp trong một vòng tròn nếu các cạnh của nó bằng 20 cm, cách tiếp tuyến qua đỉnh đối diện lần lượt là 25 cm và 16 cm.

4. Được biết, $$\cos^2\alpha + \cos^2\beta = m.$$ Tìm $$\cos^2\alpha \cdot \cos^2\beta - \sin^2\alpha \cdot \sin^2\beta.$$

Vật lý

1. Một quả bóng được phép lăn lên xuống trên một tấm ván nghiêng. Ở khoảng cách l=40 cm tính từ đầu đường đi, quả bóng tăng áp suất t₁=2 s và t₂=3 s sau khi bắt đầu chuyển động. Xác định vận tốc ban đầu và gia tốc của quả bóng, coi nó không đổi.

2. Một quả cầu nhỏ có khối lượng m, được buộc vào một sợi dây, quay trong mặt phẳng nằm ngang một khoảng h tính từ điểm treo sợi dây. Tốc độ quay có độ lớn không đổi. Tìm tần số quay của vật chất.