Bài toán M266—M270; F278—F282

18

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 8 năm 1974 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M266, M267” hoặc “… F278”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được đặt trong các phong bì riêng. Đồng thời đặt các bài tập từ các số tạp chí khác nhau vào các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, vui lòng gửi chúng thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Những câu khó bài toán đều được đánh dấu hoa thị.

Bài toán

M266—M270; F278—F282

M266. Cho một $n$-gon lồi.
a) Chứng minh rằng nếu với mỗi ba đỉnh liên tiếp của một $n$-giác người ta dựng một đường tròn đi qua ba đỉnh đó và từ các đường tròn $n$ chọn được đường tròn có bán kính lớn nhất thì đường tròn này chứa trong nó toàn bộ $n$-giác đã cho;
6) Chứng minh rằng nếu với ba cạnh liên tiếp của một $n$-giác, người ta dựng một đường tròn tiếp xúc với các cạnh này và từ các đường tròn $n$ thu được chọn đường tròn có bán kính lớn nhất thì đường tròn đó sẽ chứa bên trong $n$-giác đã cho.

A. B. Karzanov

M267. Trong chuỗi các bộ ba số nguyên (2, 3, 5) (6, 15, 10)… mỗi bộ ba được lấy từ bộ trước theo cách này: bộ ba thứ nhất nhân với bộ ba thứ hai, bộ thứ hai với bộ ba, và bộ ba với bộ ba đầu tiên, và kết quả thu được là một bộ ba mới.

Chứng minh rằng không có số nào thu được theo cách này là lũy thừa của một số nguyên: hình vuông, hình lập phương, v.v.

F. A. Bartenev

M268. Có một quân cờ ở góc bàn cờ. Người chơi đầu tiên có thể di chuyển nó hai lần liên tiếp với tư cách là một hiệp sĩ thông thường (hai ô vuông cùng hướng và một ô vuông góc) và người chơi thứ hai có thể di chuyển nó một lần với một hiệp sĩ với một nước đi kéo dài (ba ô vuông theo một hướng và một ô vuông góc). Thế là họ thay phiên nhau. Người đầu tiên cố gắng đặt hình vào góc đối diện, và người thứ hai cố gắng đặt nó. Ai trong số họ sẽ thắng (kích thước bảng là $n \times n$, ở đâu $n \geq 4$)?

P. Katsylo, học sinh lớp 10 (Moscow)

19

M269. Chúng ta hãy biểu thị bằng $T_k(n)$ tổng các tích của $k$ các số từ 1 đến $n$. Ví dụ,
$$T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35.$$
a) Tìm công thức tổng quát của $T_2(n)$ và $T_3(n)$.
b) Chứng minh rằng $T_k(n)$ được biểu diễn dưới dạng đa thức ở $n$ bậc $2k$ (với mọi số tự nhiên $k \geqslant 2$).
b) Nêu phương pháp tìm đa thức $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, 5, \dots$) và áp dụng để tìm đa thức $T_4(n)$ và $T_5(n)$.
E. A. Yasinov

M270. Giả sử $AB$ và $CD$ là hai dây của một đường tròn và dựng các điểm $K$ và $H$ sao cho cả bốn góc $KAB, KCD, HBA$ và $HDC$ đều là các đường thẳng. Chứng minh rằng đường thẳng $KH$ đi qua tâm đường tròn và đi qua giao điểm của đường thẳng $AD$ và $BC$.
I. F. Sharytsin, A. I. Yanovsky

F278. Một vệ tinh của Trái đất di chuyển theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h = 760$ km so với bề mặt Trái đất. Họ muốn chuyển nó sang một quỹ đạo hình elip với khoảng cách tối đa tới bề mặt Trái đất là $H = 40 000$ km và khoảng cách tối thiểu tới bề mặt là $h = 760$ km. Bạn cần bao nhiêu để thay đổi tốc độ của vệ tinh cho việc này? Chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh trong quỹ đạo hình elip mới của nó sẽ là bao nhiêu?
A. Borzhievsky, học sinh lớp 10 (Orishinskaya s.sh., vùng Khmelnitsky)

Cơm. 1.

F279. Một hình trụ làm bằng vật liệu không dẫn điện được chia bằng vách ngăn không dẫn điện thành hai phần, thể tích là $V_1$ và $V_2$. Phần thứ nhất chứa khí ở nhiệt độ $T_1$ dưới áp suất $p_1$. Trong thứ hai - cùng một loại khí, nhưng ở nhiệt độ $T_2$ và dưới áp suất $p_2$. Nhiệt độ sẽ được thiết lập trong xi lanh nếu vách ngăn được loại bỏ?

F280. Một nguồn sáng cách thấu kính $3a$ một khoảng $a$. Độ sáng trung bình của một điểm trên màn ảnh nằm cách thấu kính một khoảng $1,5a$ sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu một tấm kính phẳng song song có độ dày $0,5a$ được đặt giữa nguồn và thấu kính? Chiết suất của thủy tinh là $n$.

F281. Trong mạch điện ở Hình 1, $a$, ban đầu công tắc $K$ mở. E.m.f. pin đầu tiên là $E_1 = 1\ \sigma$ và điện trở trong của nó là $r_1 = 0,2\ \sigma$. E.m.f. pin thứ hai $E_2 = 2\ \sigma$, điện trở trong $r_2 = 0,4\ \sigma$. Công suất tụ điện $C = 10\ \mu\mathrm{k}\phi$. Điện tích của tụ điện thay đổi bao nhiêu khi đóng công tắc nếu diode có đặc tính dòng điện-điện áp như trong Hình 1, $\sigma$?

F282. Tìm tần số dao động “đối xứng” của hệ như hình 2. Khối lượng của các quả cầu $m$, hệ số đàn hồi của lò xo $k$.

G. L. Komkin