Điện động lực học của phương tiện chuyển động

2

“Người ta biết rằng điện động lực học của Maxwell ở dạng hiện đại, khi áp dụng cho các vật thể chuyển động, sẽ dẫn đến sự bất đối xứng mà dường như bản thân các hiện tượng không có.” Đây là cách mở đầu tác phẩm nổi tiếng “Về điện động lực học của các vật chuyển động”* của Albert Einstein. Hơn nữa, Einstein coi đây không phải là một ví dụ mới, mà là hiện tượng cảm ứng điện từ: với chuyển động tương đối của một dây dẫn và một nam châm, một dòng điện xuất hiện trong dây dẫn. Điều này được Faraday thiết lập vào nửa đầu thế kỷ này. Điều gì đã thu hút sự chú ý của giới trẻ, vào thời điểm đó, trường hợp bằng sáng chế của ông ở thành phố Bern của Thụy Sĩ vẫn chưa được biết đến, một sự thật không hề mới và có vẻ như đã được giải thích từ lâu? Điều khiến Einstein băn khoăn không phải là hiện tượng này không thể giải thích được mà là nó có thể được giải thích tốt như nhau theo hai cách hoàn toàn khác nhau.

Trên thực tế, nếu chúng ta giả sử rằng nam châm đang chuyển động và dây dẫn đứng yên thì một dòng điện xuất hiện trong nó vì từ trường thay đổi gây ra sự xuất hiện của một điện trường, làm cho các điện tích chuyển động.

*) Công trình này được công bố trên tạp chí vật lý Đức “Biên niên sử vật lý” vào năm 1905, tức là cách đây đúng 70 năm. Trong đó, Einstein đã xây dựng các nguyên tắc cơ bản về trách nhiệm tương đối.

Mặt khác, nếu chúng ta giả sử rằng dây dẫn chuyển động và nam châm kết thúc (Hình 1), thì sự xuất hiện của dòng điện được giải thích là do lực Lorentz tác dụng từ từ trường lên các electron tự do có trong dây dẫn và chuyển động cùng với nó trong từ trường. Nếu $B$ là cảm ứng từ trường, $l$ là chiều dài của dây dẫn chuyển động, $v$ là tốc độ của nó, thì công của lực Lorentz trên một đơn vị điện tích dương, tức là suất điện động cảm ứng $\mathcal{E}$, bằng nhau

$$\mathcal{E} = -vBl$$

(dấu trừ được giải thích bằng quy tắc Lenz về chiều dòng điện cảm ứng).

Tuy nhiên, Einstein lập luận, ở đây chúng ta đang giải quyết cùng một hiện tượng: chuyển động tương đối của một nam châm và một dây dẫn; Vậy tại sao chúng ta lại đề xuất hai nguyên tắc khác nhau để giải thích một hiện tượng? Thật đáng xấu hổ khi một hiện tượng không có lời giải thích mà lại có hai cách giải thích cũng chẳng khá hơn là bao, hoặc ai có thể đảm bảo với chúng ta rằng chúng không thực sự mâu thuẫn với nhau? Không, mọi chuyện đều không ổn trong tòa nhà hùng vĩ của điện động lực học. Và Einstein coi đây là điểm khởi đầu cho sự phê phán của ông đối với khoa học đương đại, một sự phê phán đã dẫn đến sự tái cấu trúc triệt để các ý tưởng của chúng ta về không gian và thời gian.

Như đã biết, một nguyên tắc đặc biệt liên quan đến tuyên bố rằng

3

các quy luật chuyển động phải giống nhau, hoặc, như người ta nói, bất biến trong các hệ thống báo cáo khác nhau, chuyển động tương đối với nhau một cách thống nhất và theo đường thẳng. Tính bất biến của các quy luật tự nhiên không có nghĩa là sự trùng hợp ngẫu nhiên của bản thân các hiện tượng được quan sát. Tuy nhiên, cùng một hiện tượng, được xem xét trong các hệ thống báo cáo khác nhau, thường được mô tả bằng các đặc điểm định lượng khác nhau. Vì vậy, mặc dù quy luật rơi của một vật thể trong một đoàn tàu chuyển động đều và thẳng và tại ga là như nhau, nhưng một vật rơi từ kệ toa xe lại chuyển động khác nhau trong các hệ thống báo cáo liên quan đến tàu và với nhà ga. Trong trường hợp đầu tiên, nó rơi dọc theo một đường thẳng đứng và trong trường hợp thứ hai, dọc theo một parabol. Nguyên nhân là do các điều kiện khác nhau. Cơ thể không có dự báo vận tốc theo phương ngang trên tàu sẽ có nó trong hệ thống báo cáo liên kết với nhà ga.

Trong các vấn đề khác, cũng có những giá trị không phụ thuộc vào hệ thống báo cáo mà chúng thay đổi. Chúng được gọi là bất biến. Chúng bao gồm, ví dụ, tính phí. Tuyên bố này là một kết luận dựa trên một số lượng rất lớn các sự kiện thực nghiệm.

Không giống như điện tích, nhiều đại lượng vật lý quan trọng khác,

Cơm. 1.

Cơm. 2.

4

qua $B_x, B_y, B_z$ - hình chiếu của vectơ cảm ứng từ lên các trục tọa độ của hệ thống báo cáo cố định. Các giá trị của cùng một đại lượng được thay đổi trong hệ thống báo cáo chuyển động sẽ được biểu thị bằng các ký tự $(E_x', B_x')$, v.v.). Lý thuyết tương đối đưa ra các mối quan hệ sau đây giữa các giá trị này:

$$E_x' = E_x, \quad B_x' = B_x;$$

$$E_y' = \frac{E_y - vB_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$E_z' = \frac{E_z + vB_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y' = \frac{B_y + \frac{v}{c^2}E_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$B_z' = \frac{B_z - \frac{v}{c^2}E_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Chúng ta thấy rằng các giá trị định hướng của điện trường và cảm ứng từ trường hóa ra là khác nhau trong các hệ thống báo cáo khác nhau. Vì vậy, nếu trong hệ thống $K$ không có từ trường $(B_x = B_y = B_z = 0)$, thì điện trường trong hệ thống truyền động của báo cáo sẽ quay trở lại $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ lần và đồng thời xuất hiện một từ trường trong đó. hướng của trường cũng thay đổi. Ví dụ: nếu trong hệ thống $K$ điện trường hướng dọc theo trục $Y$ thì trong $K'$ nó cũng có thể có hình chiếu lên trục $Z$ (tại $B_y \neq 0$).

Hãy xem xét ví dụ này. Giả sử rằng trong một hệ thống báo cáo cố định $(K)$ có một nam châm tạo ra từ trường $B$, các đường cảm ứng của nó hướng dọc theo trục $Z$ và không có điện trường. Sau đó, $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$ và ngoài ra, $E_x = E_y = E_z = 0$. Nếu $v \ll c$, thì chúng ta có thể bỏ qua $v^2/c^2$ so với một và đặt $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1$. Theo công thức đầu tiên (3), chúng ta thấy rằng trong hệ dẫn động của báo cáo, điện trường quay trở lại,

$$E_y = \frac{E_y' + vB_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad E_z = \frac{E_z' - vB_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y = \frac{B_y' - \frac{v}{c^2}E_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad B_z = \frac{B_z' + \frac{v}{c^2}E_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Ví dụ: nếu không có báo cáo từ trường trong hệ thống lái xe,

5

thì từ (8) suy ra rằng

$$B_y = \frac{-\frac{v}{c^2} E'_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \quad \text{и} \quad B_z = \frac{\frac{v}{c^2} E'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

tức là nó tồn tại trong một hệ thống cắt cố định. Ngược lại, nếu không có điện trường trong hệ sàng chuyển động thì trong hệ đứng yên sẽ xuất hiện trường theo (7). Vì vậy, câu hỏi liệu chúng ta đang xử lý điện trường thuần túy hay từ trường thuần túy và sự tương ứng giữa cường độ điện trường và cảm ứng từ trường được giải quyết khác nhau trong các hệ thống cắt khác nhau. Hay nói cách khác, một trường điện từ duy nhất được chia thành điện trường và từ trường theo những cách khác nhau trong các hệ thống cắt khác nhau.

Lý thuyết tương đối giúp giảm số lượng giả thuyết làm cơ sở cho điện động lực học (một ví dụ với lực điện động cảm ứng đối với một dây dẫn chuyển động). Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác không kém phần thú vị liên quan đến câu hỏi về các lực tác dụng lên điện tích. Chúng tôi sẽ cố gắng chứng minh rằng để tìm ra lực mà từ trường tác dụng lên một điện tích đang chuyển động - lực Lorentz - chỉ cần biết trường tĩnh điện tác dụng như thế nào lên một điện tích đứng yên là đủ.

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng có một vật tích điện, kết thúc ở hệ thống cắt $K'$, vì tác dụng của điện trường được cân bằng bởi một lực khác, chẳng hạn như lực đàn hồi $F$. Giả sử để định nghĩa rằng điện trường trong hệ $K'$ hướng dọc theo trục $X'$ (tức là $E'_y = E'_z = 0$) và từ trường hướng dọc theo trục $Y'$ ($B'_x = B'_z = 0$). Lực tác dụng lên một điện tích đứng yên $e$ bằng tích của cường độ điện trường và điện tích. Kể từ khi cơ thể kết thúc quá trình tích điện, tổng các lực tác dụng lên nó

$$F_{\pi} = -e E_z = \frac{ev B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Lực này bù cho tác dụng của điện trường dọc theo trục $Z$. Tích của lực $F_{\pi}$ là bao nhiêu? Theo một trong các phương trình (8), trong hệ $K$ cũng tồn tại một từ trường, cảm ứng của nó

$$B = B_y = \frac{B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

So sánh (9) và (10), ta thấy $F_{\pi} = ev B$.

Do đó, $F_{\pi}$ cũng là lực Lorentz.

Hãy cùng phân tích một bài toán khác: xây dựng định luật Ohm cho chuyển động

6

nhạc trưởng gosya. Câu hỏi này trở nên đặc biệt phù hợp liên quan đến sự xuất hiện của thủy động lực học từ tính, một nhánh khoa học nghiên cứu các định luật chuyển động của môi trường dẫn điện (chất lỏng hoặc khí) trong từ trường. Ví dụ, một môi trường như vậy có thể là kim loại lỏng hoặc plasma chuyển động trong không gian vũ trụ.

Theo nguyên tắc tương đối trong hệ thống báo cáo, việc di chuyển cùng với người soát vé, định luật Ohm thiết lập cho người dẫn đường đứng yên là công bằng. Vì các phần khác nhau của môi trường có thể chuyển động với tốc độ khác nhau nên chúng ta sẽ xem xét một thể tích khá nhỏ của nó và viết định luật Ohm dưới dạng

$$j' = \lambda E'$$

trong đó $j'$ là mật độ dòng điện, $E'$ là điện áp của dây dẫn điện trường và $\lambda$ là độ dẫn điện.

Giả sử (như đã được giải thích và xảy ra) môi trường đang xét chuyển động với tốc độ nhỏ so với tốc độ ánh sáng, sao cho $v^2/c^2 \ll 1$.

Chúng ta sẽ giả định rằng toàn bộ môi trường không bị tích điện (điều này cũng thường đúng nhất); thì mật độ dòng điện $j$ trong hệ thống báo cáo cố định ($K$) bằng $j'$. Tất nhiên, đối với một môi trường tích điện, điều này sẽ không xảy ra vì điện tích chuyển động tương đương với dòng điện. Để thu được định luật Ohm, tức là thiết lập mối liên hệ giữa $j$ và $E$, đối với chuyển động của dây dẫn, chúng ta chỉ cần biết điện áp của điện trường $E'$ thông qua giá trị của nó $E$ trong hệ thống báo cáo cố định. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng công thức (2) và (3). Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa nói gì về hướng chuyển động của dây dẫn.

Nếu hướng chuyển động của dây dẫn (dọc theo trục $X$) trùng với hướng của dòng điện và do đó trùng với hướng của điện trường, thì theo (2), $E' = E_x' = E_x = E$. Trong trường hợp này, định luật Ohm có dạng tương tự như đối với dây dẫn đứng yên.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một trường hợp từng phần khác. Giả sử có một từ trường $B$ hướng trong hệ thống báo cáo đứng yên dọc theo trục $Z$ (tức là $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$), để dây dẫn chuyển động song song với trục $X$ và cho dòng điện chạy dọc theo trục $Y$ ($E_y = E$). Khi đó trong dây dẫn chuyển động có $E_x' = 0$, $E_z' = 0$ và $E' = E_y'$. Với điều kiện là $v^2/c^2 \ll 1$, $E' = E - vB$ và

$$j = \lambda (E - vB).$$

Trong trường hợp này, định luật Ohm đối với chuyển động của dây dẫn so với dây đứng yên: dòng điện không chỉ phụ thuộc vào cường độ điện trường mà còn phụ thuộc vào tốc độ chuyển động của dây dẫn cũng như cảm ứng của từ trường.

Tóm lại - một số bài toán cho một lời giải độc lập.

Bài tập

1. Mô tả chuyển động của một hạt tích điện trong điện trường và từ trường đều hướng vuông góc với nhau (trường chéo). Vận tốc ban đầu của hạt vuông góc với cả hai trường.

2. Tìm biểu thức biểu thị hiệu điện thế giữa các bản của một tụ điện phẳng vô hạn chuyển động với tốc độ $v$ dọc theo hướng của các bản của nó. Trong hệ thống báo cáo liên quan đến tụ điện, hiệu điện thế được cho trước và bằng $\Delta \varphi_0$.

3. Xác định trường điện từ của một electron chuyển động với tốc độ không đổi $v$.