[Đáp số trước câu hỏi của độc giả V. Krasin liên quan đến bài viết “Điện tử phát ra photon”]

45

Hỏi - chúng tôi trả lời

Trong số tạp chí này, chúng tôi đặt đáp số cho câu hỏi của độc giả V. Krasin, một học sinh lớp 10 tại một trường học ở Moscow.

Các biên tập viên thân mến!

Bài “Electron Emits Photon” («Kvant», 1974, No. 12) nói về cách một hạt tích điện được gia tốc phát ra năng lượng điện từ và đưa ra công thức tính cường độ của bức xạ này:

$$I = 2e^2a^2/3c^3 \quad (*)$$

(e là điện tích và là gia tốc của hạt).

Mặt khác, một ví dụ được đưa ra về dòng điện một chiều chạy dọc theo một mạch cong và người ta nói rằng “dòng điện như vậy tạo ra từ trường không đổi, nhưng không bức xạ”.

Những gì tôi đọc đã đặt ra hai câu hỏi trong đầu tôi:

1. Tại sao khi chuyển động dọc theo một dây dẫn cong và do đó có gia tốc, các electron không phát ra?

2. Chẳng phải sự vắng mặt của bức xạ, ngay cả trong trường hợp dòng điện chạy qua một dây dẫn thẳng, có mâu thuẫn với lý thuyết điện tử cổ điển của kim loại hay không? Theo lý thuyết này, dòng điện trong kim loại là các electron tự do, chúng chuyển động hỗn loạn khi không có điện trường. Dưới tác dụng của điện trường, chuyển động có trật tự được chồng lên chuyển động hỗn loạn, sao cho tốc độ trung bình của các electron khác 0. Một electron chuyển động dọc theo dây dẫn gặp va chạm với các ion của mạng tinh thể, mang lại cho chúng toàn bộ năng lượng tích lũy trong quá trình chuyển động giữa các va chạm (năng lượng này được giải phóng dưới dạng nhiệt). Tốc độ trung bình của electron không thay đổi theo thời gian nếu có dòng điện không đổi chạy qua dây dẫn. Nhưng trong những khoảng thời gian giữa các va chạm, electron chuyển động với tốc độ nhanh hơn và do đó nó phải bức xạ.

Dưới đây chúng tôi công bố đáp số tác giả của bài báo “Điện tử phát ra photon”.

Những câu hỏi này nảy sinh do cách diễn đạt không chính xác trong bài viết.

Hãy bắt đầu với câu hỏi thứ hai. V. Krasin đã mô tả ngắn gọn và chính xác quá trình dòng điện chạy qua kim loại. Chúng tôi, sử dụng chính xác những ý tưởng mà anh ấy đã vạch ra, sẽ thực hiện một phép tính nhỏ.

Xét một dây dẫn thẳng mang dòng điện một chiều. Hãy chọn 1 $см^3$ của dây dẫn này, tính năng lượng phát ra trong 1 giây $N$ bởi các electron chuyển động trong phần dây dẫn này và so sánh nó với lượng nhiệt tỏa ra mỗi giây trong thể tích này. Vì giữa các va chạm, mỗi electron chuyển động với gia tốc $a = eE/m$ (e là điện tích của electron, m là khối lượng của nó, E là cường độ điện trường) nên nó phát ra năng lượng. Theo công thức (1) của bài báo được trích dẫn, cường độ của bức xạ này bằng

$$I = \frac{2e^2a^2}{3c^3} = \frac{2e^4E^2}{3c^3m^2},$$

và cường độ bức xạ của N electron tương ứng là

$$NI = \frac{2Ne^4E^2}{3c^3m^2}.$$

Theo định luật Joule-Lenz, lượng nhiệt tỏa ra trong một dây dẫn có điện trở R trong 1 s bằng $i^2R$. Giá trị hiện tại tôi

45

46

có thể biểu thị qua mật độ dòng điện $j$: $i=jS$ ($S$ là diện tích tiết diện của dây dẫn). Mật độ dòng điện liên quan đến cường độ điện trường: $j = \lambda E$, trong đó $\lambda$ là độ dẫn điện. (Nhớ lại rằng $\lambda = \dfrac{1}{\rho}$, trong đó $\rho = \dfrac{RS}{L}$ là điện trở suất của một dây dẫn có chiều dài $L$ và tiết diện $S$.) Khi đó lượng nhiệt tỏa ra mỗi giây trong 1 $см^3$ của một dây dẫn, thể tích của nó là $V$, bằng nhau

$$Q = \frac{i^2 R}{V} = \lambda E^2 .$$

Chúng ta hãy biểu thị $\lambda$ thông qua các thông số của electron, dựa trên lý thuyết cổ điển về độ dẫn điện. Nếu tốc độ chuyển động có hướng trung bình của electron là $\bar v$ thì mật độ dòng điện là $j = eN\bar v$. Mặt khác, $j = \lambda E$, vì vậy $\lambda = \dfrac{eN\bar v}{E}$.

Hãy tìm xem tốc độ $\bar v$ bằng bao nhiêu.

Chuyển động với gia tốc $eE/m$, đến cuối đường tự do, electron đạt tốc độ $v_{max} = a\tau = \dfrac{eE}{m}\tau$ ($\tau$ là thời gian đường tự do). Tốc độ trung bình của chuyển động định hướng là $\bar v = \dfrac{1}{2} v_{max} = \dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m}\tau$.

Thời gian $\tau$ có thể được tính bằng tỷ số giữa đường đi tự do của electron $l$ với tốc độ $v_{\text{т}}$ chuyển động nhiệt của nó (tốc độ chuyển động có hướng $\bar v$ nhỏ hơn nhiều lần so với tốc độ chuyển động hỗn loạn $v_{\text{т}}$), tức là

$$\tau = \frac{l}{v_{\text{т}}} . \qquad \text{Поэтому} \qquad \bar v = \frac{1}{2}\frac{eE}{m}\frac{l}{v_{\text{т}}} .$$

Vì vậy, $\lambda = \dfrac{1}{2}\dfrac{e^2 Nl}{mv_{\text{т}}}$. 1 $см^3$ dây dẫn tạo ra nhiệt mỗi giây

$$Q = \frac{1}{2}\frac{e^2 Nl}{mv_{\text{т}}} E^2 .$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm tỷ số giữa năng lượng do các electron phát ra và nhiệt lượng tỏa ra: $\dfrac{NI}{Q} = \dfrac{4}{3}\dfrac{e^2 v_{\text{т}}}{mc^3 l}.$

Hãy đưa ra biểu thức này nhiều hơn

biểu diễn trực quan bằng cách giới thiệu bán kính electron cổ điển $r_e = e^2/mc^2$:

$$\frac{NI}{Q} = \frac{4}{3}\frac{r_e}{l}\cdot\frac{v_{\text{т}}}{c} .$$

Chúng ta hãy ước tính mức độ của mối quan hệ này. Vì $r_e = 2,5\cdot 10^{-13}$ cm nên quãng đường tự do trung bình $l$ không nhỏ hơn $10^{-6}см$ và tốc độ chuyển động nhiệt trung bình của electron là $v_{\text{т}} \approx 10^8$ $см/с$, thì

$$\frac{NI}{Q} \approx 10^{-9} (!)$$

Có thể thấy rằng chuyển động tăng tốc của các electron giữa các va chạm gây ra rất ít bức xạ. Về nguyên tắc, nó có thể được phát hiện, nhưng trong hầu hết các vấn đề thực tế, bức xạ này không có vai trò gì.

Bây giờ chúng ta chuyển sang câu hỏi đầu tiên trong bức thư của V. Krasin. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét một dây dẫn cong, một mạch dẫn có hình dạng giống như một vòng tròn bán kính $r$. Đối với chuyển động hỗn loạn của các electron, hình dạng của dây dẫn tất nhiên là không đáng kể, vì đường tự do trung bình, theo quy luật, nhỏ hơn đáng kể so với kích thước nhỏ nhất của nó, đặc biệt là bán kính của đường tròn $r$ (electron “không biết” giữa các va chạm liệu dây dẫn có bị cong hay không). Nhưng trung bình, tất nhiên, electron chuyển động theo một vòng tròn và do đó có gia tốc $\bar v^2/r$. Tuy nhiên, gia tốc này rất nhỏ, nhỏ hơn cả gia tốc $a = eE/m$ giữa các lần va chạm. Hãy kiểm tra tuyên bố này. Từ bất đẳng thức $\dfrac{eE}{m} \gg \dfrac{\bar v^2}{r}$ chúng ta có thể tiến tới bất đẳng thức $\bar v \ll v_{\text{т}}\dfrac{r}{l},$

điều này rõ ràng là thỏa mãn, vì $r \gg l$ và $v_{\text{т}} \gg \bar v$ (giá trị của $\bar v$ có ​​thể được ước tính dễ dàng bằng cách sử dụng biểu thức cho mật độ hiện tại và thực tế là $N \approx 10^{22} \div 10^{23}$ $см^{-3}$).

Rõ ràng là bức xạ liên quan đến chuyển động có gia tốc trong các vùng cong tất nhiên có thể bị bỏ qua.

M.Ts. Kaganov, G. Ya. Lyubarsky