Hệ thống vật lý tuyến tính và phi tuyến

2

Hệ thống vật lý tuyến tính và phi tuyến

Các hiện tượng xảy ra trong các hệ vật lý được mô tả định lượng bằng các phương trình và sự phụ thuộc hàm số giữa các đại lượng vật lý khác nhau được thể hiện. Bản chất của những sự phụ thuộc này có thể rất đa dạng. Một nhóm quan trọng trong số đó bao gồm các phụ thuộc tuyến tính thuộc loại $y=f(x)=ax+b$, trong đó $a$ và $b$ được coi là không đổi. Rất thường xuyên, bằng cách lựa chọn thích hợp hệ thống báo cáo, hệ tọa độ hoặc các điều kiện ban đầu, sự phụ thuộc thuộc loại này có thể được giảm xuống theo tỷ lệ trực tiếp.

Có rất nhiều người tin vào sự phụ thuộc tỷ lệ trực tiếp của các đại lượng vật lý. Đây là mối liên hệ giữa mô hình lực đàn hồi và độ lớn biến dạng: $|\vec{F}|=kx$; điện tích và điện áp trên tụ điện: $q=CU$; điện áp ở hai đầu dây dẫn và cường độ dòng điện dọc theo dây dẫn: $U=RI$; dòng cảm ứng từ tạo ra mạch và cường độ dòng điện trong mạch $\Phi=LI$, v.v. Các hệ số tỷ lệ trong các công thức này - độ cứng $k$, điện dung $C$, điện trở $R$, độ tự cảm $L$ - là các giá trị không đổi đặc trưng cho các thuộc tính của một hệ thống nhất định.

Khi các đặc tính của một hệ vật lý (ví dụ, điện trở của mạch điện) không phụ thuộc vào trạng thái của nó (vào dòng điện chạy qua mạch), thì hệ thống đó được cho là tuyến tính. Trong các hệ thống tuyến tính, nguyên tắc siêu độc quyền được tuân thủ: do một số tác động đồng thời, hệ thống sẽ đạt đến trạng thái giống như thể các tác động này nối tiếp nhau một cách riêng biệt. Nói cách khác, kết quả của bất kỳ ảnh hưởng nào khi có sự hiện diện của ảnh hưởng khác (hoặc những ảnh hưởng khác) đều giống như khi ảnh hưởng khác này không có mặt. Vì vậy, ví dụ, nếu do tác động của một tải trọng lớn $m_1$ độ giãn dài của lò xo bằng $x_1$, và do tác động của một tải trọng lớn $m_2$ độ giãn dài của lò xo bằng $x_2$, thì cả hai tải $(m_1+m_2)$ treo vào lò xo sẽ ​​gây ra độ giãn dài $x_1+x_2$.

Hình 1 biểu diễn đồ thị về độ sụt áp trên một điện trở có điện trở không đổi so với dòng điện (đặc tính vôn kế của điện trở, Hình 1, a), điện tích của tụ điện có điện dung không đổi so với điện áp trên các bản của nó (đặc tính sóng Coulomb của tụ điện, Hình 1, b) và dòng cảm ứng từ qua mạch với

3

độ tự cảm không đổi so với dòng điện (đặc tính vber-amp của cuộn dây, Hình 1, $\theta$). Đây là những đường thẳng; góc nghiêng của mỗi chúng với trục abscissa được xác định tương ứng bằng các giá trị $R$, $C$ hoặc $L$.

Không khó để tìm thấy $R=U_I/I=tg\alpha$, $C=q_U/U=tg\beta$, $L=\Phi_I/I=tg\gamma$. Các phần tử của hệ thống vật lý có đặc điểm được xác định bằng các đường thẳng đồ họa thường được gọi là tuyến tính.

Tuy nhiên, chúng ta biết rằng nhiều đặc điểm cố định của các hệ vật lý chỉ thực sự không đổi trong những điều kiện nhất định - dưới những hạn chế nhất định về mức độ tác động. Như vậy, hệ số độ cứng của lò xo $k$ chỉ không đổi nếu cần có điện trường tạo ra bởi các điện tích của các bản thì điện dung của tụ điện đó không còn là giá trị không đổi. Và độ tự cảm của cuộn dây có thể phụ thuộc vào dòng điện chạy qua cuộn dây, nếu lõi được làm bằng sắt từ - một loại vật liệu có tính chất từ ​​tính phụ thuộc vào độ tự cảm của từ trường tạo ra bởi dòng điện chạy qua cuộn dây.

Đặc điểm của các phần tử đó không còn tuyến tính nữa; do đó, các phần tử như vậy được gọi là phi tuyến tính và các hệ thống chứa chúng được gọi là hệ thống phi tuyến tính. Do đó, hệ thống phi tuyến là hệ thống có các đặc tính (ví dụ, điện trở mạch điện) phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống (vào dòng điện chạy qua mạch).

Có thể dễ dàng hiểu được sự phi tuyến tính này “xuất hiện” như thế nào từ ví dụ này. Với những biến dạng đáng kể, định luật Hooke được coi là bị vi phạm; các giá trị độ cứng $k$ bắt đầu phụ thuộc vào lượng trộn. Ở mức độ trộn không lớn hơn nhiều so với “đàn hồi”

(sự pha trộn tối đa đó cũng dẫn đến biến dạng đàn hồi), sự phụ thuộc này có thể được viết gần đúng ở dạng $k=ax+b$. khi đó lực đàn hồi hóa ra có liên hệ với độ lớn của độ dịch chuyển bởi sự tương ứng $|\vec{F}|=(ax+b)x=ax^2+bx$, tức là một mối quan hệ phi tuyến rõ ràng.

Việc tính toán các mạch điện chứa các phần tử phi tuyến thường được thực hiện bằng đồ họa. Hãy xem bài toán đơn giản này làm ví dụ. Hình 2 thể hiện sơ đồ của một hệ phi tuyến chứa một điốt và một bóng đèn sợi đốt, các đặc tính dòng điện-điện áp của chúng được cho trong Hình 3. Mạch được nối với nguồn điện áp không đổi $U=2B$. Dòng điện trong mạch là bao nhiêu?

Vì đèn và diode được mắc nối tiếp nên với một giá trị dòng điện nhất định trong mạch, điện áp ở hai đầu của nó bằng tổng điện áp của các miếng đệm trên diode và trên đèn. Lợi dụng điều này, chúng ta sẽ xây dựng đặc tính dòng điện-điện áp của toàn bộ mạch (đường màu đen trong Hình 3). Bây giờ dễ dàng tìm được rằng tại $U=2$ V cường độ dòng điện là 0,13 A.

4

Hệ thống điện và từ phi tuyến được sử dụng rộng rãi trong công nghệ. Máy tạo dao động độc lập, bộ điều biến và bộ phát hiện dao động, bộ biến tần, v.v. là những thiết bị chủ yếu chỉ được thực hiện trên các phần tử phi tuyến.

Ví dụ, chúng ta hãy giải thích sự cần thiết của các phần tử phi tuyến để thực hiện điều chế biên độ của các dao động. Như đã biết, với điều chế biên độ, biên độ dao động tần số cao phải thay đổi theo sự thay đổi điện áp của tín hiệu hữu ích, ví dụ như tín hiệu tần số âm thanh. Bất kể mạch cụ thể, bao gồm các bộ phận nào, bộ điều biến có thể được biểu diễn dưới dạng một loại điện trở phi tuyến - điện trở có điện trở phụ thuộc vào điện áp điều khiển của tín hiệu (hữu ích): khi điện áp này giảm, điện trở sẽ tăng. Nếu điện trở được kết nối với nguồn điện áp xoay chiều tần số cao (sóng mang), thì sự dao động dòng điện trong điện trở sẽ lặp lại sự dao động của “tín hiệu” từ nguồn (Hình 4, a). Nếu bây giờ đặt thêm một điện áp xoay chiều tần số thấp (tín hiệu hữu ích) vào điện trở, thì điện trở của điện trở bắt đầu “dao động” với cùng tần số thấp (Hình 4, b), và kết quả là biên độ dao động của dòng điện trong điện trở sẽ tăng khi điện trở giảm và giảm khi tăng. Nói cách khác, biên độ của các dao động tần số sóng mang sẽ lần lượt “dao động”, theo sự thay đổi về độ lớn của tín hiệu hữu ích (Hình 4, c).

Rõ ràng là một điện trở tuyến tính sẽ không cung cấp khả năng điều chế các dao động tần số cao: trong cùng chế độ mà chúng tôi đã mô tả, các dao động dòng điện thu được trong điện trở sẽ là sự chồng chất của các dao động tần số cao và tần số thấp, và biên độ của các dao động tần số cao sẽ không thay đổi (Hình 5).

Trong Bài toán Kvant trong số tạp chí này có bài toán F546. Sơ đồ trong cuốn sách này là

5

Tiếp theo, đây là sơ đồ của thiết bị khuếch đại từ tính. Bộ khuếch đại từ tính là một ví dụ khác về việc sử dụng các phần tử phi tuyến trong công nghệ. Vấn đề F546 khá khó. Chúng tôi sẽ giúp người đọc lời giải dễ dàng hơn với gợi ý sau: trong bộ khuếch đại từ tính, sự phụ thuộc phi tuyến của độ tự cảm của cuộn dây có lõi sắt từ vào dòng điện “hoạt động”.

Tóm lại, cần lưu ý rằng, nói đúng ra, tất cả các hệ thống vật lý đều phi tuyến nếu giới hạn thay đổi trạng thái của chúng không bị giới hạn. Chúng ta đã thấy điều này trong các hệ thống cơ học - ở độ biến dạng lớn, trong hệ thống điện từ - ở dòng điện (điện áp) cao. Tuy nhiên, ngay cả trong lĩnh vực có những thay đổi nhỏ về trạng thái của hệ thống, nó cũng phải được coi là phi tuyến. Như vậy, lực ma sát khô thay đổi đột ngột khi dấu tốc độ thay đổi, cường độ dòng điện trong dây dẫn có độ dẫn điện một chiều thay đổi phi tuyến khi dấu hiệu điện áp thay đổi.

Bài tập

1. Có một hộp có khối lượng $m=10$ kg nằm ngang. Lực ma sát tĩnh cực đại là $|\vec{f}|=35$ N. Hộp có thể chịu hai lực vuông góc lẫn nhau $|\vec{F}_1|=30$ N và $|\vec{F}_2|=40$ N, nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Mô tả chuyển động của hộp khi nó chịu tác dụng của: a) chỉ có lực $\vec{F}_1$; b) chỉ có sức mạnh $\vec{F}_2$; c) Cả hai lực cùng một lúc.

2. Bóng đèn và điốt, đặc tính dòng điện-điện áp được thể hiện trên Hình 3, được mắc song song. Dòng điện trong phần không phân nhánh của mạch là $I=0,15$ A. Xác định các điểm đồ họa trong đèn $I_\pi$ và trong diode $I_\pi$.

3. Một điện trở có điện trở 6 Ohms và điện trở phi tuyến, đặc tính dòng điện-điện áp được mô tả bởi sự phụ thuộc $U=2\sqrt{I}$, được mắc nối tiếp và nối với nguồn điện áp $U=4$ V. Tính toán mà không vẽ biểu đồ cường độ dòng điện trong mạch.

Hình 5.