Mười một sàn gỗ đúng

9

O. Mikhailov

Mười một sàn gỗ đúng

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường thấy các mặt phẳng đa giác được bao phủ bởi các bề mặt: sàn trong các tòa nhà dân cư được lát gỗ, tường phòng tắm được lát gạch, các tòa nhà hiện đại được trang trí bằng đồ trang trí. Các lớp phủ đối xứng nhất - các nhà toán học gọi chúng là sàn gỗ thông thường - đã được viết bằng «Kvant»: trong bài báo của A. Kolmogorov («Kvant», 1970, số 3), việc phân loại bài toán của sàn gỗ thông thường đã được thảo luận. Hiện tại, một trong những lời giải có thể có của nó đã được đưa ra.

Chúng ta sẽ gọi sàn gỗ là các mặt phẳng bao phủ của các đa giác đều, trong đó hai đa giác hoặc có một cạnh chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc không có điểm chung nào cả. Một sàn gỗ được gọi là thông thường nếu nó có thể được xếp chồng lên chính nó theo cách mà bất kỳ đỉnh nào của nó cũng có thể được xếp chồng lên bất kỳ đỉnh có hướng nào khác.

Có tổng cộng bao nhiêu sàn gỗ đúng? Chúng được xây dựng như thế nào? bài toán của chúng tôi là để trả lời những câu hỏi này.

Dễ dàng nhận thấy rằng nhìn chung có vô số sàn gỗ - không nhất thiết phải đúng - *) (bạn hãy tự chứng minh điều này). Tuy nhiên, cũng giống như một đa giác vô hạn, không quá sáu và không ít hơn ba đa giác có thể hội tụ trong một sàn gỗ khác. Thật vậy, khi bảy đa giác trở lên hội tụ tại một đỉnh thì ít nhất một góc trong đa giác đều phải nhỏ hơn 60°, điều này là không thể (góc tối thiểu của một tam giác là 60°).

*) Chúng tôi coi hai sàn gỗ là sự khác biệt của đa giác và với đa giác sàn gỗ vô hạn thì chỉ có một số lượng hữu hạn các sàn gỗ thông thường.

Đôi khi trong bài viết này, để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi đơn giản là sàn gỗ chính xác là sàn gỗ.

Lời giải bài toán của chúng tôi đương nhiên bắt đầu bằng việc nghiên cứu các mặt trên của sàn gỗ. Từ định nghĩa về tính đúng đắn, nguyên tắc tương đương của đỉnh được suy ra ngay lập tức: hai đỉnh bất kỳ được xây dựng giống hệt nhau theo nghĩa là các ngôi sao của tất cả các đỉnh đều giống nhau. (Ngôi sao đỉnh là một hình được tạo thành bởi tất cả các đa giác chứa nó.)

Chúng ta hãy biểu thị bằng $m_i$ số lượng $i$-giác liền kề với đỉnh và bằng $\alpha_i$ các giá trị góc của một $i$-giác đều bên trong nó. Sau đó tại mỗi đỉnh, rất/không, việc so khớp được thực hiện.

$$\sum m_i \alpha_i = 360^\circ = 4d,$$

trong đó trong tổng, chúng tôi bao gồm tất cả các số hạng có số $i$ mà ít nhất một $i$-giác liền kề với đỉnh *).

Thay biểu thức cho $\alpha_i$, $\alpha_i = 2(1 - 2/i)d$ đã biết từ hình học vào công thức này và giảm đi 2$d$, chúng ta thu được

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Do đó, các số $m_i$ là nghiệm nguyên của phương trình (1). Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy bên dưới, không phải tất cả các phương trình lời giải số nguyên (1) đều được thực hiện bằng các ván gỗ thông thường!

Hơn nữa, không quá sáu và không ít hơn ba đa giác có thể hội tụ ở đỉnh của sàn gỗ. Thật vậy, khi bảy đa giác trở lên hội tụ tại một đỉnh thì ít nhất một góc trong đa giác đều phải nhỏ hơn 60°, điều này là không thể (góc tối thiểu của một tam giác là 60°).

*) Tuy nhiên, $m_i = 0$ đối với phần còn lại $i$, vì vậy chúng ta có thể chính thức giả định rằng chúng ta đang tính tổng trên tất cả $i$.

14

số lời giải, chúng ta sẽ cần những thứ sau

Bổ đề. Ở phía trên của một sàn gỗ thông thường, chúng không thể được duy trì bằng các đa giác khác nhau, một trong số đó có vô số cạnh.

Thật vậy, hãy để sàn gỗ như vậy tồn tại (Hình 5). Sau đó, xung quanh olg lẻ, các $m$- và $n$-giác còn lại phải đi qua nhau. Do đó, khi đi xung quanh nó, có hai đa giác giống hệt nhau ở gần nhau, đặt câu hỏi về các điều kiện của bổ đề.

Nhờ bổ đề, chúng ta có thể thay $k$ bằng $2k_1$, $m$ bằng $2m_1$, $l$ bằng $2l_1$ trong (2) và đi đến phương trình

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} = 1.$$

Không mất tính tổng quát, ta có thể đề xuất rằng $k_1 < m_1 < n_1$. Sau đó

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} < \frac{3}{k_1},$$

có thể tạo dáng được $k_1 = 2$. Do đó, $\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$, từ đó $m_1 = 3$, $n_1 = 6$ (nếu $m_1 \geq 4$, thì $n_1 \leq m_1$). Kết quả lời giải $\alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_{12}$ mang lại cho chúng ta một sàn gỗ khác (Hình 6).

Sàn gỗ có bốn đa giác ở trên cùng

Trong trường hợp này chúng ta đi đến phương trình

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = 1.$$ (3)

Chúng tôi sẽ giả định rằng $l \leq k \leq m \leq n$. Dễ dàng nhận thấy điều đó khi đó $l \leq 4$. Nếu $l = 4$ thì chúng ta đến tập $4\alpha_4$. Nếu $l = 3$ thì ta thu được phương trình

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} = \frac{2}{3},$$

từ đó người ta tìm thấy rằng $k < 5$. Nếu $k = 4$, thì kể từ $m \geq k$, chúng ta đạt đến điểm duy nhất lời giải $m = 4$, $n = 6$. Nếu $k = 3$, thì chúng ta nhận được hai lời giải: $m = 4$, $n = 12$ và $m = 6$, $n = 6$.

Do đó, chúng tôi sẽ được giới thiệu bốn bộ để khám phá:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6; \alpha_4 + 2\alpha_3 + \alpha_{12}.$$

Bộ đầu tiên $4\alpha_4$ cung cấp một sàn gỗ hình vuông ba cạnh (Hình 7).

Đối với sự kết hợp $\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6$, có thể có hai đỉnh không tương đương (Hình 8, a, b), nhưng chỉ biến thể $8,a$ mới cho ra sàn gỗ chính xác (Hình 8, b). Hãy đảm bảo rằng tùy chọn $8,b$ không tạo ra bất kỳ loại sàn gỗ chính xác nào.

Đối với $2\alpha_3 + 2\alpha_6$, cũng có thể có hai đỉnh khác nhau (Hình 9, a, b), nhưng chỉ đỉnh thứ hai cho ra sàn gỗ chính xác (Hình 9, b). Việc hoàn thành điều đầu tiên dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy, có ba “bốn phương trình” của sàn gỗ:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6.$$

Sàn gỗ có đa giác thứ năm ở trên cùng

Trong trường hợp này, bạn cần tìm phương trình lời giải

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = \frac{3}{2}.$$ (4)

Từ đó có thể thấy ngay rằng $j = k = l = 3$ (chúng ta giả sử rằng $j \leq l \leq k \leq m \leq n$). Kết quả là một phương trình $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$, có hai lời giải: $m = 3$, $n = 6$ và $m = 4$, $n = 4$.

Bây giờ vẫn còn phải xem xét các kết hợp được tìm thấy:

$$\alpha_6 + 4\alpha_3 \text{ и } 2\alpha_4 + 3\alpha_3.$$

Loại đầu tiên trong số chúng cung cấp loại mặt trên duy nhất và loại sàn gỗ thông thường duy nhất (Hình 11). Sự kết hợp thứ hai cho phép hai đỉnh không tương đương nhau, mỗi đỉnh tạo thành các sàn gỗ (Hình 12 và 13).

Vì vậy, có ba “phương trình ngũ bội” ​​của sàn gỗ:

$$4\alpha_3 + \alpha_6; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)'; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)''.$$

Sàn gỗ có sáu đa giác ở trên cùng

Rõ ràng là sàn gỗ như vậy (Hình 14) là sàn duy nhất nhận được từ sự kết hợp $6\alpha_3$.

Các trường hợp được liệt kê ở trên làm cạn kiệt toàn bộ loại sàn gỗ phù hợp. Như có thể thấy ở trên, tổng số là như nhau.