Bài toán M546—M550; F558—F562

32

Vấn đề
Kwana

M546—M550; F558—F562

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Đã đăng, không phải tất cả bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 4 năm 1979 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Vấn đề Kwana số 2-79” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M546, M547” hoặc “F558”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản (hoặc chu kỳ bài toán), gán trong một phong bì riêng thành hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên phong bì vị trí: “Vấn đề Kwan, bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”)). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học.

M546. Từ một điểm tùy ý $M$ của một vòng tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật, chúng ta thả các đường vuông góc $MP$ và $MQ$ lên hai cạnh đối diện của nó, và các đường vuông góc $MR$ và $MT$ lên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng các đường thẳng $PR$ và $QT$ vuông góc với nhau và giao điểm của chúng thuộc đường chéo của hình chữ nhật.

Vvede Shafaryan, học sinh lớp 10 (Yerevan)

M547. Để phương trình $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, trong đó $n$ là số tự nhiên, chỉ có lời giải trong các số tự nhiên $x, y$ thì điều cần và đủ là $n$ là số nguyên tố. Chứng minh điều đó.

A. Dantselyan

M548. a) Có 4 điểm trên đường tròn. Qua giữa dây nối hai điểm đó kẻ một đường thẳng vuông góc với dây nối hai điểm còn lại. (Một đường thẳng như vậy được vẽ cho mỗi cặp điểm.) Chứng minh rằng tất cả sáu đường thẳng dựng được đều đi qua một điểm.

6. Có 5 điểm trên một vòng tròn. Qua trọng tâm của ba trong số chúng (điểm giao nhau của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại các điểm này) vẽ một đường thẳng vuông góc với dây nối các điểm còn lại. Chứng minh rằng cả 10 đường thẳng dựng được đều đi qua một điểm.

c) Tổng quát hóa các nhận định này cho trường hợp $n$ điểm.

A. Lopshitz

M549. Cho một số tự nhiên $N$. Hãy viết ra tất cả các ước của nó $d_1, d_2, \dots, d_n$ và với mỗi ước chúng ta sẽ tìm thấy nó có bao nhiêu ước. Chứng minh rằng kết quả $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ thỏa mãn đẳng thức

$$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 = a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3.$$

33

Ví dụ: số $N=6$ có các ước chẵn: 1, 2, 3, 6; đây $a_1=1, a_2=2, a_3=2, a_4=4$ và $(1+2+2+4)^2=1^3+2^3+2^3+4^3$.

V. Matizen

M550. Từ điểm $A$ đến điểm $B$, khoảng cách giữa đó là $d$ km nên bổ sung thêm $n$ xe đạp tóc, trong đó có xe đạp tóc $m$. Mọi người đều có thể đi bộ với tốc độ $u$ km/h hoặc đi xe đạp với tốc độ $v$ km/h. Trong thời gian ngắn nhất tất cả các kiểu tóc $n$ có thể đạt được từ $A$ đến $B$? (Thời gian được tính theo lần đến cuối cùng. Xe đạp có thể để trên đường mà không cần người bảo vệ.) Trường hợp đặc biệt về khoảng cách: $m=2, n=3$.

S. Kromov

F558. Một quả bóng nhỏ, nặng bay qua một lỗ bên trong một quả cầu nhẵn có cùng khối lượng, đi cách tâm quả cầu một khoảng $R/2$ ($R$ là bán kính của quả cầu). Sau khi bóng đi vào, hệ thống tự động chịu trách nhiệm sẽ đóng lại. Giả sử va chạm giữa quả bóng và quả cầu là đàn hồi tuyệt đối, hãy tìm quỹ đạo của quả bóng và tâm của quả cầu trong hệ thống báo cáo mà quả cầu ban đầu được đào. Xác định các thông số của các quỹ đạo này và đánh dấu trên chúng những điểm sẽ xảy ra va chạm.

B. Bukhovtsev

F559. Theo lý thuyết của Bethe, chu trình carbon của các phản ứng nhiệt hạch của sao bao gồm các phản ứng sau:

$$p + ^{12}C \rightarrow ^{13}N + \gamma, \ ^{13}N \rightarrow ^{13}C + e^+ + v,$$
$$p + ^{31}C \rightarrow ^{14}N + \gamma, \ p + ^{14}N \rightarrow ^{15}O + \gamma,$$
$$^{15}O \rightarrow ^{15}N + e^+ + v, \ p + ^{15}N \rightarrow ^{12}C + ^{4}He.$$

Tìm năng lượng được giải phóng trong quá trình xử lý một mol heli.

F560. Một tia phẳng vô hạn có độ dày $d_0$ rơi một góc $\alpha$ xuống mặt phẳng (Hình 1). Tốc độ của tia là $v$, mật độ của nó là $\rho$. Máy bay phản lực chia thành những dòng nào?

F561. Bathixaf biển sâu được hàn từ hai bán cầu có bán kính $R=2$ m. Bathixaf phải lặn xuống độ sâu $H=10$ km. Đường nối Bathixaf sẽ chịu được hướng nào (tỷ lệ của mô hình lực với chiều dài của đường xích đạo) nếu đường xích đạo hàn được đặt a) theo chiều ngang? 6)* theo chiều dọc?

F562. Các tụ điện $C_1=2,00$ µF và $C_2=3,00$ µF được mắc nối tiếp và nối với pin có suất điện động $\varepsilon=120$ V, điểm giữa của nó được nối đất (Hình 2). Dây nối các tụ điện có thể được nối đất bằng phím $K$. Tìm các điện tích $q_1, q_2$ và $q_3$ sẽ đi qua các phần $I-I$, $II-I$ và $III-I$ sau khi đóng chìa khóa theo các hướng chỉ trong hình.

35

M501. Hãy chọn trong dãy bia của bộ ba 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … tất cả các số bắt đầu bằng số 9; đặt những số này (không có thứ tự) $3f^{(1)}, 3f^{(2)}, 3f^{(3)}, \dots$ (cụ thể, $f(1)=2$, là số đầu tiên trong số các số tối đa $3^2=9$).

a) Tìm $f(2)$ và $f(3)$—các số lớn thứ hai và thứ ba.

b) Chứng minh giá trị lớn nhất của $f(n)$ tại $n>1$ thỏa mãn điều kiện:

(1) $f(n) - n$ lẻ;

(2) $\left|f(n) - \frac{n \lg 9}{1 - \lg 9}\right| < 1$,

và được xác định duy nhất bởi số này.

Trước tiên, chúng ta hãy chứng minh khẳng định sau: với bất kỳ $k>1$ nào cũng có hai hoặc ba trụ có giá trị $k$ của bộ ba, và nếu và chỉ nếu có một trụ có giá trị $k$ của bộ ba; thì $10^{k-1} \leq 3^m < 3 \cdot 10^{k-1}$. Do đó, $3 \cdot 10^{k-1} \leq 3^m+1 < 9 \cdot 10^{k-1}$, tức là một số có $3^{m+1} - k$ chữ số không bắt đầu bằng số chín. Hơn nữa, $3^{m+2} \geq 9 \cdot 10^{k-2}$, tức là số có $3^{m+2} - k$ chữ số thì phải bắt đầu bằng số 9. (Trong mọi trường hợp, $3^{m+3} \geq 27 \cdot 10^{k-1}$ không phải là số có $k$ chữ số.)

Bây giờ gọi là thân có $3f(n) - k$ chữ số của bộ ba, bắt đầu từ chín, tức là

$$9 \cdot 10^{k-1} < 3f(n) < 10^k$$

(cả hai bất đẳng thức đều đúng vì $3f(n)$ là số lẻ). Chúng ta hãy tính theo hai cách số lượng stelene của bộ ba, nhỏ hơn $3f(n)$. Một mặt, ngoài những thân $n-1$ bắt đầu bằng số 9, còn có chính xác hai bộ ba chữ số $k$ cho mỗi thân $l=1,2, \dots, k$, tức là có tổng cộng $2k+(n-1)$. Mặt khác, số lượng stelene của bộ ba nhỏ hơn $3f(n)$ sẽ bằng $f(n)$: đây là các số $3^0, 3^1, \dots, 3^{f(n)-1}$. Điều này có nghĩa là $2k+(n-1)=f(n)$, vắng mặt

$$k = \frac{f(n) - n+1}{2}$$

Vì $k$ là số tự nhiên nên $f(n) - n$ là số lẻ. Điều kiện (1) đến điểm c) đã được chứng minh.

Từ (*) và (**) ta có

$$9 \cdot 10^{\frac{f(n) - n-1}{2}} < 3^f(n) < 10^{\frac{f(n) - n+1}{2}},$$

hoặc

$$\lg 9 + \frac{f(n) - n-1}{2} < f(n) \lg 3 < \frac{f(n) - n+1}{2}.$$

Thực hiện một số phép biến đổi tương đương

36

CHÚNG TÔI SẼ NHẬN ĐƯỢC
2 lg 9+f (n)−n−1<f (n) lg 9<f (n)−n+1,
lg 9−1<f (n) lg 9−f (n)−lg 9+n<−lg 9+1,
đó là
−(1−lg 9)<−(1−lg 9) f (n)+(n−lg 9)<1−lg 9,
và vì 1−lg 9>0 nên ta có
−1<−f (n)+\frac{n−lg 9}{1−lg 9}<1,

đó là
|f (n)−\frac{n−lg 9}{1−lg 9}|≤1

— điều kiện (2) của điểm c) bài toán.
Số $\frac{n−lg 9}{1−lg 9} = \frac{n−1}{1−lg 9} +1$ là số vô tỉ ($n>1$ và lg 9 là số vô tỉ). Do đó, với mọi $n>1$, điều kiện (2) được thỏa mãn chính xác với các số tự nhiên liên tiếp; một trong số chúng là số chẵn, số còn lại là số lẻ. Nhưng vì đối với mỗi $n$, tính chẵn lẻ của $f (n)$ đã được biết (hiệu $f (n)$—n là số lẻ), nên đối với mỗi $n$ số $f (n)$ được xác định duy nhất. Vẫn còn phải chứng minh rằng với $f (n)$ được xác định bởi các điều kiện (1) và (2), lũy thừa của bộ ba $3^{f (n)}$ thực sự bắt đầu bằng số 9 (chúng ta thu được tất cả các điều kiện cho $f (n)$ với giả định rằng $f (n)$ tồn tại). Thực hiện phép biến đổi trên theo thứ tự ngược lại, từ điều kiện (2) ta dễ dàng thu được (***), tức là $3^{f (n)}$ thực sự bắt đầu bằng chín.

Bây giờ không khó để tìm thấy $f (2)$ và $f (3)$:
$$f (2)=23, f (3)=44.$$

Cuối cùng, vì $f (n)$ được xác định cho mọi $n$ tự nhiên, nên chúng ta thấy rằng có vô số lũy thừa của ba bắt đầu bằng số 9.

Chúng ta cũng hãy lưu ý e. Từ bất đẳng thức (2) trong điều kiện bài toán, suy ra giá trị $f (n)$ tăng lên xấp xỉ bằng $\frac{1}{1−lg 9} n$.

Kết quả này có thể được suy ra từ thực tế là đối với các giá trị lớn $N$ trong số $N$ lũy thừa bậc nhất của bộ ba, số độ bắt đầu bằng số 9 được áp dụng sẽ bằng $(1−lg 9)N$ (Hình 5); ở đây hoàn toàn ẩn ý cho dù chúng ta đang xem xét lũy thừa của hai, ba hay một số khác $\alpha$ với lg vô tỉ $\alpha$; xem bài viết của V. Boltyansky - «Kvant», 1978, số 5). Thật vậy, nếu $f (n)=N$, thì phần giữa $3^{1}, 3^{2}, \dots, 3^{N}$chính xác là $n\approx(1−lg 9)N$ bắt đầu bằng 9; do đó $f (n)\approx\frac{1}{1−lg 9}n$. Kết quả bài toán M501 cho phép bạn tìm giá trị chính xác của $f (n)$ cho bất kỳ $n$ nào.

E. Turkevich

M502. Dữ liệu cho các đoạn song song $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi $M$ là giao điểm của các mặt phẳng $ABC_1$, $BCA_1$ và $CAB_1$, và $M_1$ là giao điểm của các mặt phẳng $A_1B_1C$, $B_1C_1A$ và $C_1A_1B$. Hãy chứng minh rằng đoạn $MM_1$ song song với đường giao nhau.

Đặt $A_0$, $B_0$, $C_0$ là hình chiếu của các đoạn này lên mặt phẳng vuông góc với chúng (Hình 6). Lưu ý rằng giao điểm của các mặt phẳng $ABC_1$ và $CAB_1$ đi qua điểm $A$ và giao điểm của các đường $BC_1$ và $B_1C$ (Hình 7), đồng thời hình chiếu của nó đi qua điểm $A_0$ và chia đoạn $B_0C_0$ đối với $|BB_1|:|CC_1|$. Đường giao nhau của các mặt phẳng $BCA_1$ và $ABC_1$ đi qua điểm $B$ và giao điểm của các đường $AC_1$ và $A_1C$ (Hình 7), sao cho hình chiếu của nó đi qua điểm $B_0$ và chia đoạn $A_0C_0$ đối với $|AA_1|:|CC_1|$ (Hình. 6). Cần lưu ý rằng thực tế cũng áp dụng cho phép chiếu các đường giao nhau của các cặp mặt phẳng $(A_1B_1C$, $C_1A_1B)$ và $(B_1C_1A$, $A_1B_1C)$, sao cho các điểm $M$ và $M_1$ của giao điểm của ba mặt phẳng được chiếu vào cùng một điểm $M_0$ của mặt phẳng $A_0B_0C_0$, vuông góc với $AA_1$. Điều này ngụ ý tuyên bố bài toán.

A. Savin, Z. Skopets

Một lời giải khác trong số bài toán này thu được bằng cách sử dụng khái niệm đối xứng xiên. Đối xứng xiên trên mặt phẳng được gọi là phép biến đổi sau: bạn cần

37

Hình 6.

Từ chương trên, các ví dụ được đưa ra về các hướng song song và một số hướng không song song. Sau đó, các ví dụ được vẽ thông qua một điểm tùy ý $K$, song song với hướng đã chọn và tìm một điểm $K_1$ trên đó sao cho đoạn $KK_1$ được chia đôi bởi trục. Điểm $K_1$ được gọi là đồng đối xứng với điểm $K$. Điều này cũng đúng trong không gian, nhưng ở đó, thay vì trục, bạn cần lấy mặt phẳng đối xứng (chứ không phải hướng song song của nó). Dễ dàng kiểm tra rằng với phép đối xứng, đường thẳng biến thành đường thẳng và mặt phẳng biến thành mặt phẳng.

Lời giải bài toán. Chúng ta hãy vẽ các mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng song song. Khoảng cách là đối xứng so với mặt phẳng này với hướng song song với các đoạn của chúng ta. Sau đó, vệt máy bay $ABC_1$, $BCA_1$, $CAB_1$ đi vào vệt máy bay thứ hai: $A_1B_1C$, $B_1C_1A$ và $C_1A_1B$. Do đó, điểm giao nhau của rãnh mặt phẳng thứ nhất được chuyển sang điểm giao nhau của rãnh mặt phẳng thứ hai; do đó, đoạn nối chúng song song với dữ liệu (nếu hai điểm đối xứng thì đoạn nối chúng có hướng đã chọn).

L. Limanov

M503. Một tập hợp gồm 2n+1 số $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ hoa anh túc, tức là $a_k \geq \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ cho tất cả $k=1, 2, \dots, 2n-1$. Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}}{n} \geq \frac{a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}}{n+1} \quad (*)$$
và tìm ra tập nào nó trở thành đẳng thức.

Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng nếu tập hợp này là một cấp số cộng thì tất cả các bất đẳng thức được viết trong điều kiện bài toán đều chuyển thành đẳng thức. Dưới đây chúng ta sẽ thấy các tập hợp “lồi” (nghĩa là các tập hợp có $a_k \geq \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ với mọi $k=1, 2, \dots, 2n-1$), chỉ đối với cấp số cộng thì bất đẳng thức (*) mới trở thành đẳng thức.

Các số của một tập hợp “lồi” tùy ý $\{a_k\}$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các số $a_k = b_k + c_k$ của hai tập hợp $\{b_k\}$ và $\{c_k\}$, một trong số đó, $\{b_k\}$, là một cấp số cộng với các số hạng cực trị $b_0 = a_0$ và $b_{2n} = a_{2n}$, và tập hợp còn lại, $\{c_k\}$, là một tập hợp “lồi” với không có thuật ngữ cực đoan nào: $c_0 = c_{2n} = 0$.

Vì bất đẳng thức (*) chuyển thành đẳng thức cho tập $\{b_k\}$ nên chỉ cần chứng minh điều đó cho tập $\{c_k\}$ là đủ. Nhưng đối với các tập hợp “lồi” có số hạng cực trị bằng 0, nó thu được vô hạn từ điều kiện “lồi”: viết $c_{2i-1} \geq \frac{c_{2i-2} + c_{2i}}{2}$ cho mọi $i=1, \dots, n$ và cộng các bất đẳng thức này, chúng ta thu được:

$$c_1 + c_3 + \dots + c_{2n-1} \geq \frac{c_0}{2} + c_2 + c_4 + \dots +$$

$$+ c_{2n-2} + \frac{c_{2n}}{2} = c_0 + c_2 + \dots + c_{2n-2} + c_{2n}$$

(chúng tôi đã tính đến điều đó $c_0 = c_{2n} = 0$), vì vậy

$$\frac{c_1 + c_3 + \dots + c_{2n-1}}{n} \geq \frac{c_0 + c_2 + \dots + c_{2n}}{n+1}$$

(**)

38

Điều còn lại chỉ là chứng minh rằng đối với các tập lồi, bất đẳng thức (*) chỉ có thể là đẳng thức đối với một cấp số cộng. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng nếu $c_k \geq (c_{k-1} + c_{k+1})/2$ thì tất cả $c_k$, $k = 0, \dots, 2n$ đều bằng 0 hoặc tất cả $c_k$, $k = 1, \dots, 2n-1$ đều dương (trong trường hợp sau, bất đẳng thức đúng trong (**) nhất thiết phải nghiêm ngặt).

Hãy chọn $c_i$ nhỏ nhất; đừng để nó ở rìa: $i \neq 0, i \neq 2n$. sau đó $c_i \leq c_{i-1}$ và $c_i \leq c_{i+1}$, từ đó $c_i \leq \frac{c_{i-1} + c_{i+1}}{2}$. Nhưng với điều kiện $\{c_k\}$ là tập “lồi”, tức là $c_i = c_{i-1} = c_{i+1}$. Áp dụng lý luận tương tự cho $c_{i-1}$ (hoặc $c_{i+1}$), chúng ta thấy rằng $c_{i-2} = c_{i-1} = c_i$ (hoặc $c_i = c_{i+1} = c_{i+2}$), v.v. - cho đến khi chúng ta chạm đến các cạnh; chúng tôi nhận được $0 = c_1 = c_2 = \dots = c_{2n-1} = 0$. Do đó, nếu có các số $c_k$ khác 0 thì số chung nhỏ nhất tương xứng sẽ nằm ở cạnh (và bằng 0), vì vậy với $k = 1, \dots, 2n-1$ chúng ta có $c_k > 0$.

N. Vasiliev, I. Klumova

F502. Nắp hộp kín có chiều cao $h = 1$ và có lỗ tròn. Độ chiếu sáng trong ngày sẽ thay đổi như thế nào dưới lỗ nếu có các đường có công suất quang $D = 1$ ditre trong lỗ? Chiếc hộp nằm ngoài trời, sau đó bị bao phủ bởi một lớp mây đồng nhất.

Quang thông ở một góc điện thoại là như nhau ở mọi hướng. Ta biểu thị bằng quang thông chảy qua một góc đơn vị và rơi trên một đơn vị diện tích của thấu kính hoặc đáy dưới lỗ.

Trong trường hợp không có thấu kính, các tia rơi xuống đáy, làm chúng ngạt thở ở góc điện thoại $\Omega = S_{\text{OTB}}/h^2$ (Hình 8). Do đó, trong trường hợp này, độ chiếu sáng ban ngày dưới lỗ bằng

$$E_1 = \sigma \Omega = \sigma S_{\text{OTB}}/h^2$$

Hình 8.

Hình 9.

Thấu kính sẽ thu thập trong mặt phẳng tiêu cự của nó ở đáy hộp trên diện tích $s = h^2\omega$ tất cả các tia rơi vào góc điện thoại $\omega$ (Hình 9). Những tia như vậy mang quang thông $\Phi = \sigma S_{\text{OTB}}\omega$, do đó độ chiếu sáng của hình ảnh bầu trời trong trường hợp này bằng

$$E_2 = \Phi/s = \sigma S_{\text{OTB}}/h^2.$$

Chúng ta thấy rằng $E_1 = E_2$, tức là độ chiếu sáng của đáy hộp dưới lỗ không thay đổi.

I. Slobodetsky

F504. Bánh xe của các ô tô là loại tự động, mono cẩn thận, khối tâm của bánh xe đặt mono trên trục bác sĩ của nó. Tại sao cần phải cân bằng bánh xe?

Một lực $\vec{N}$ tác dụng lên bánh xe từ phía đường. Nếu bánh xe cân bằng thì lực này có giá trị tuyệt đối bằng 1/4 trọng lượng của số tự động $M|\vec{g}|^*$ (khi lái xe trên bề mặt nhẵn).

*) Phần trọng lượng của số tự động tác dụng lên bánh xe được xác định bởi vị trí trọng tâm của số tự động. Nói chung, nó không bằng 1/4.

39

một số đường nằm ngang). Nếu bánh xe không cân bằng thì trọng tâm của nó chuyển động dọc theo một đường tròn bán kính $r$ với gia tốc hướng tâm $\omega^2 r$ (r là khoảng cách từ tâm bánh xe đến trọng tâm, $\omega$ là tốc độ góc quay của bánh xe). Do đó, tại thời điểm trọng tâm ở điểm thấp nhất thì giá trị $|\vec{N}|$ lớn hơn giá trị $\frac{1}{4} M|\vec{g}|$ một lượng $m\omega^2 r$ (m là khối lượng của bánh xe). Khi trọng tâm ở điểm cao nhất, giá trị của $|\vec{N}|$ nhỏ hơn $\frac{1}{4} M|\vec{g}|$ một lượng tương tự. Khi bánh xe trượt so với mặt đường (luôn xảy ra hiện tượng trượt), lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường theo nguyên lý này biến đổi. Do đó, ở một số nơi, lốp bị mòn nhanh hơn so với khi bánh xe được cân bằng. Và điều này dẫn đến nhu cầu thay lốp thường xuyên hơn.

S. Semenchinsky

F512. Giá trị hiển thị trong Hình 10 bao gồm tần số dòng điện xoay chiều là $v=50$ Hz. Bằng cách sử dụng công tắc đầu vào, việc điều chỉnh ngang được thực hiện giữa các điểm $a$ và $b$, sau đó hướng giữa các điểm $b$ và $d$. Máy hiện sóng hiển thị hai đường cong. Hình 11 được thực hiện bằng các ảnh chụp của ảnh trên màn hình dao động ký. Xác định độ tự cảm $L$ của mạch, nếu $C=32$ µF, $R=65$ Ohm.

Hình 10.

Hình 11.

Mặt khác, độ lệch pha $\varphi$ có liên quan đến các thông số của mạch điện. Hãy xây dựng sơ đồ vectơ dòng điện và hướng cho một mạch nối tiếp nhất định (Hình 12). Từ đây

$$\text{tg} \varphi = \frac{U_L - U_C}{U_R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R},$$

$$L = \frac{1}{\omega} \left( \frac{1}{\omega C} + R \text{tg} \varphi \right) = \frac{1}{2\pi v} \left( \frac{1}{2\pi v C} + R \text{tg} \varphi \right) \approx 0,5 \Gamma.$$

V. Niznik