Bài toán M636—M640; F648—F652

26

Bài toán

M636—M640; F648—F652

M636. Tập hợp $A$ bao gồm các số nguyên, phần tử nhỏ nhất của nó là 1 và phần tử lớn nhất của nó là 100. Mỗi phần tử của $A$ ngoại trừ 1 bằng tổng của hai số (có thể bằng nhau) thuộc $A$. Trong số tất cả các tập hợp $A$ thỏa mãn các điều kiện này, hãy chỉ ra tập hợp có số phần tử tối thiểu. (10)

Yu. Nesterenko

M637. Cho một tam giác đều $ABC$. Một số đường thẳng song song với đường thẳng $AC$ cắt đường thẳng $AB$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $M$ và $P$. Điểm $D$ là tâm của tam giác $PMB$, điểm $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AP$. Xác định các góc của tam giác $DEC$. (9)

A. Kuptsov

M638. Một số ô của tờ giấy ca rô vô hạn có màu đỏ, các ô còn lại có màu xanh lam, sao cho mỗi hình chữ nhật gồm 6 ô có kích thước $2 \times 3$ chứa đúng hai ô màu đỏ. Một hình chữ nhật có 99 ô có kích thước $9 \times 11$ có thể chứa bao nhiêu ô màu đỏ? (8)

N. Kartashov

M639. Trong tứ diện có $ABCD$ ($AC \perp BC$) và $(AD) \perp (BD)$. Chứng minh rằng cosin của góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$ nhỏ hơn $|CD|/|AB|$. (10)

Yu. Nesterenko

M640. Số $x \in [0; 1]$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn. Bằng cách sắp xếp lại 5 chữ số đầu tiên sau dấu thập phân theo thứ tự bất kỳ, chúng ta thu được một phân số thập phân vô hạn mới tương ứng với một số nhất định $x_1$. Bằng cách sắp xếp lại các chữ số thứ 2 đến thứ 6 sau dấu thập phân trong ký hiệu thập phân của số $x_1$, ta thu được ký hiệu thập phân của số $x_2$. Nói chung, ký hiệu thập phân của số $x_{k+1}$ có được bằng cách sắp xếp lại các chữ số trong ký hiệu $x_k$ từ $(k+1)$ đến $(k+5)$ sau dấu thập phân.

a) Chứng minh rằng dù bạn sắp xếp lại các số ở mỗi bước như thế nào thì dãy số $x_k$ luôn có giới hạn nào đó. Hãy để chúng tôi biểu thị giới hạn này bằng $y$.

b) Tìm hiểu xem liệu việc sử dụng quy trình như vậy có thể

27

F648. Cấu trúc bản lề bao gồm ba hình thoi, các cạnh có tỷ lệ 3:2:1 (Hình 1). Đỉnh $A_3$ di chuyển theo hướng ngang với tốc độ $v_0$. Xác định vận tốc của các đỉnh $A_1$, $A_2$, $B_1$ tại thời điểm tất cả các góc của cấu trúc đều vuông góc. (8)

S. Krotov

F649. Xô chứa hỗn hợp nước và đá. Khối lượng của hỗn hợp là 10 kg. Chiếc xô được mang vào phòng và họ ngay lập tức bắt đầu thay đổi nhiệt độ của hỗn hợp. Đồ thị kết quả của sự phụ thuộc $t$ (τ) được hiển thị trong Hình 2. Nhiệt độ riêng của nước $c_B = 4200$ J/(kg K) và nhiệt nóng chảy của nước đá $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ J/kg đã được biết. Xác định xem có bao nhiêu đá trong xô khi nó được mang vào phòng. Khả năng chịu nhiệt của xô là một vấn đề. (8)

A. Buzdin

F650. Để thu được điện áp, giá trị của nó phụ thuộc ít vào nhiệt độ, mạch được lắp ráp theo Hình 3. Đặc tính dòng điện-điện áp của dida D ở ba nhiệt độ môi trường khác nhau $t_1 = 125^\circ\text{C}$, $t_2 = 25^\circ\text{C}$, $t_3 = -60^\circ\text{C}$ được thể hiện trong Hình 4. Điện áp nguồn là $U = 6$ V ở nhiệt độ $25^\circ\text{C}$ và khi nhiệt độ tăng, nó tăng thêm $25 \cdot 10^3$ V/deg. Tìm điện áp giữa các kẹp $A$ và $B$ tại $t = 25^\circ\text{C}$ và sự phụ thuộc của điện áp này vào nhiệt độ. (9).

A. Zilberman

F651. Một câu chuyện khoa học viễn tưởng mô tả một tình huống khẩn cấp trong đó một Actron có khối lượng $M = 100$ kg rơi ở khoảng cách $l = 100$ m so với một con tàu có một cốc nước đóng băng. Cung cấp sự thăng hoa (bốc hơi) của băng, Actron quay trở lại tàu. Phương thức hoàn vốn này có thực tế không? Hãy ước tính thời gian Actron quay trở lại tàu. Hãy xem xét rằng sự thăng hoa của băng xảy ra ở nhiệt độ không đổi $T = 272$ K. Áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này là $p_H = 550$ Pa. Hằng số khí phổ quát là $R = 8,3 \cdot 10^3$ J/(kmol·K). Tự mình đặt kích thước của ly và khối lượng đá. (9)

A. Stasenko

F652. Mạch điện trong Hình 5 bao gồm hai điện trở giống hệt nhau $R_2 = R_3 = R$ và hai điện trở không bị giam cầm giống hệt nhau $R_1$ và $R_4$, đặc tính dòng điện-điện áp của chúng có dạng $U = \alpha I^2$, trong đó $\alpha$ là một hệ số không đổi nào đó đã biết. Ở điện áp nào của nguồn điện $U_0$ thì dòng điện qua điện kế G bằng 0? (10)

V. Skorovarov