Thư gửi biên tập viên

35

chúng tôi có
$$3021_n = 3 \cdot 48 + 0 \cdot 8 + 2 \cdot 2 + 1 = 149_{10},$$
tức là $3021_n$ là số thập phân 149.

Có thể dễ dàng nói rằng ở chữ số có nghĩa nhỏ nhất của hệ thống này, bạn sẽ chỉ phải sử dụng các số 0 và 1, ở chữ số tiếp theo - các số 0, 1, 2, 3, ở chữ số tiếp theo - các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Thật dễ hiểu tại sao trong hệ thống này, dấu hiệu chia hết cho 2, 8, 48 sẽ xuất hiện (các số được lấy trong hệ thập phân): số $a_1 a_2 a_3 a_4$ là chẵn khi và chỉ khi khi $a_4 = 0$; số $a_1 a_2 a_3 a_4$ chia hết cho 8 khi và chỉ khi $a_3 = a_4 = 0$ (nghĩa là kết thúc bằng hai số 0); số $a_1 a_2 a_3 a_4$ chia hết cho 48 khi và chỉ khi $a_2 = a_3 = a_4 = 0$ (số thứ ba kết thúc bằng số 0).

Học cách tin tưởng hoàn toàn vào bàn tính “hư hỏng”.

Vài phút trôi qua, các chàng trai đã tự tin cộng trừ các số trong hệ thống số “hư hỏng”.

leniya, đã giải quyết được bài toán hài hước khác trên các tài khoản “bị hỏng”.

Chúng tôi mời bạn thử sức mình với lời giải một số bài toán.

Bài toán

1. a) Có 23 viên sỏi. Khi tính toán lại chúng (từng cái một), họ đã tạo ra các xương (từng cái một) trên bàn tính mới. Bàn tính sẽ trông như thế nào khi đếm tất cả các viên sỏi? Vẽ một bàn tính có đánh dấu kết quả tính toán lại trên đó và viết số này vào hệ thống “hư hỏng”.

6. Con số lớn nhất có thể để dành trong tài khoản “hư hỏng” là bao nhiêu? Ghi lại con số này vào hệ thống “bị hỏng”. Nó bằng số thập phân nào?

2. Trên các tài khoản trong hình, các số trong hệ thống “bị hỏng” sẽ bị xóa. Chúng tương ứng với số thập phân nào?

3. Dành riêng các số thập phân 37, 59, 101, 269 trong các tài khoản không phải số.

4. Thực hiện theo các bước sau (kiểm tra kết quả trên tài khoản của bạn):
   $$231_n + 120_n; 4021_n + 2521_n; 320_n + 4430_n; 221_n - 30_n; 1001_n - 231_n; 4021_n - 311_n.$$

5. Nhân ba số 21. Hãy cho tôi biết bạn đã thực hiện phép nhân như thế nào.

6. Thực hiện phép nhân $1311_n \times 21_n$.

Thư gửi biên tập viên

Kính thưa đồng chí biên tập!

Gần đây cuốn sách “Với một chiếc máy vi tính trong tay” của V. Gilde và Z. Altrichter (M., “Mir”, 1980), tính toán

hướng tới người đọc phổ thông. Tôi muốn bạn chú ý đến lỗi chính tả trong cuốn sách (nói chung là rất hay) này trên trang. 38, được mô tả chủ yếu dành cho độc giả trẻ, vì thế hệ lớn tuổi hơn có thể vẫn nhớ ý nghĩa chính xác của số istiha để ghi nhớ nó.

Thứ nhất, giá trị đã cho của số l sai ở hai chữ số cuối. Giá trị đúng là 3,1415926536, đây là giá trị làm tròn 3,141592653589…

Thứ hai, bút izvvvenny không thích hợp để điền số l. Theo kiểu này, số chữ cái trong từ xác định các chữ số liên tiếp của số l, nhưng mấu chốt là văn bản đưa ra trong sách chỉ cho kết quả đúng theo cách viết cũ:

Ai đang đùa và sớm
mong muốn
Pi tìm ra số là bạn đã biết rồi!

E. C.

37

không chỉ ở dạng phân số. Có, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \dots$.

Chúng ta sẽ tìm định nghĩa về mức độ $a^r$, trong đó $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, dựa trên nhu cầu bảo toàn tài sản $1^0$. Điều này có nghĩa là đối với mọi $r_1$ và $r_2$ thì sự tương ứng $a^{r_1} + a^{r_2} = a^{r_1} \cdot a^{r_2}$ phải được giữ nguyên.

Giả sử rằng chúng ta đã biết $a^{\frac{m}{n}}$ là gì. Hãy để $a^{\frac{m}{n}} = k$.

Vậy thì nó phải là $(a^{\frac{m}{n}})^n = k^n = a^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} + \dots + \frac{m}{n} = a^m$. Cuối cùng chúng tôi nhận được $k = \sqrt[n]{a^m}$.

Sự tương ứng này gợi ý định nghĩa sau:

Trên giới hạn 4. Nếu $a > 0$ thì $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Lưu ý rằng đối với $a$ âm, khái niệm bậc có số mũ hợp lý không nguyên không được xác định. Chúng tôi cũng lưu ý rằng trong sách giáo khoa, việc nghiên cứu một độ với số mũ hữu tỷ được bắt đầu bằng chủ đề “Căn gốc của bậc $n$ và các tính chất của nó” (“Đại số 8”, §9), trong đó các tính chất cơ bản của nghiệm bậc $n$ được suy ra, cho phép chúng ta chứng minh rằng định nghĩa $a^r$ mà chúng ta áp dụng là đúng. Theo tính đúng đắn của định nghĩa trong trường hợp này, khái niệm này là sự độc lập của số $a^r$ với việc viết số $r$ dưới dạng phân số, nghĩa là, trong trường hợp cuối cùng, đẳng thức $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{km}}$, trong đó $k \in \mathbb{N}$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, là hợp lệ.

Bài tập 3. Ôn lại các tính chất của nghiệm bậc $n$ và rút ra từ chúng các tính chất của bậc $1^0 - 6^0$ với số mũ hữu tỉ.

Bằng cấp với số mũ thực.

Trong sách giáo khoa “Đại số và Giải tích cơ bản 10”, hàm số mũ với số mũ thực bất kỳ được giới thiệu (phần 108). Trên thực tế, ở đây chúng tôi cũng đặt bài toán tìm

*) “Đại số 8”, § 10.

một định nghĩa “tốt” về lũy thừa với số mũ thực, và bản thân định nghĩa của hàm mũ liệt kê những thuộc tính của nó có thể được suy ra từ định nghĩa “tốt” này. Định nghĩa “tốt” của một mức độ với bất kỳ số mũ thực nào là gì?

Để xác định, hãy đặt $a > 1$. Nếu $x$ là một số hữu tỷ thì $a^x$ đã được chúng ta xác định và hàm $y = a^x$, nhờ thuộc tính $5^0$, trả về tập hợp $Q$ của tất cả các số hữu tỷ (đối với $0 < a < 1$, hàm $y = a^x$ loại bỏ (thuộc tính $6^0$) của tập hợp $Q$).

Để mở rộng hàm $y = a^x$ cho tập $R$ của tất cả các số thực, trước tiên chúng ta chỉ yêu cầu hàm này phải đa tương đối.

Giả sử $a$ là một số vô tỷ, và $r_1$ và $r_2$ là các số vô tỷ mà $r_1 < a < r_2$. Giả sử rằng chúng ta đã biết $a^a$ là gì. Theo yêu cầu của chúng ta, các bất đẳng thức phải đúng

$$a^{r_1} < a^{a^a} < a^{r_2}.$$

Do đó, số $a^a$ phải được đặt giữa hai số bất kỳ $a^{r_1}$ và $a^{r_2}$, trong đó $r_1 < a < r_2$.

Trong các khóa học giải tích, người ta đã chứng minh rằng có một số duy nhất $b$ mà tất cả các bất đẳng thức $a^{r_1} < b < a^{r_2}$ đều đúng, trong đó $r_1$ và $r_2$ là các số hữu tỉ tùy ý mà $r_1 < a < r_2$.

Điều này cho phép định nghĩa sau:

Về giới hạn 5. Cho $a$ là vô tỉ và $a > 0$. Khi đó $a^a$ là số thực nằm giữa hai số bất kỳ $a^{r_1}$ và $a^{r_2}$, trong đó $r_1$ và $r_2$ là số vô tỉ và $r_1 < a < r_2$.

Phạm vi của khóa học ở trường không cho phép chúng tôi chứng minh sự tồn tại của số $a^a$ và chúng tôi sẽ tin vào điều đó. Chúng ta tự giới hạn mình vào việc chứng minh tính duy nhất.

Để chứng minh điều đó, chúng ta cần bất đẳng thức Bernoulli quan trọng và bản thân nó $(1 + h)^n \geqslant 1 + nh$, trong đó $n \in \mathbb{N}$ và $h \geqslant -1$.

38

Hãy chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Với $n = 1$ thì bất đẳng thức này đúng $(1 + h) \geqslant 1 + h)$. Chúng ta hãy giả sử rằng $(1 + h)^k \geqslant 1 + kh$ và chứng minh rằng $(1 + h)^{k+1} \geqslant 1 + (k+1)h$. Chúng ta có $(1 + h)^{k+1} = (1 + h)(1 + h)^k \geqslant (1 + h)(1 + h)^k = 1 + hk + h^2k = 1 + h(k+1) + h^2k \geqslant 1 + h(k+1)$, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ cho $a > 0$.

Cho $\varepsilon > 0$ và $a > 1^*$, sau đó $\sqrt[n]{a} = 1 + \varepsilon_n$, trong đó $\varepsilon_n > 0$. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Bernoulli, chúng ta thu được $a = (1 + \varepsilon_n)^n \geqslant 1 + n\varepsilon_n$. Vì vậy $0 < \varepsilon_n \leqslant \frac{a-1}{n}$. Dễ dàng nhận thấy rằng $\frac{a-1}{n} < \varepsilon$ tại $n > N = \left[ \frac{a-1}{\varepsilon} \right] + 1$.

Như vậy chúng ta đã chứng minh được rằng $\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$, nhưng điều này cũng có nghĩa là $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1 + \varepsilon_n) = 1$.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh tính duy nhất.

Giả sử tồn tại 2 số $\beta$ và $\gamma$ mà các bất đẳng thức $a^1 < \beta < a^2$ và $a^1 < \gamma < a^2$ đúng với mọi số hữu tỉ $r_1$ và $r_2$ mà $r_1 < a < r_2$. Hãy để định nghĩa $\beta > \gamma$.

Sau đó $0 < \beta - \gamma < a^2 - a^1 = a^1(a^2 - r_1 - 1)$. Rõ ràng là $a^1 < a^{[a]+1} = c$. Với mọi $n \in \mathbb{N}$ đều tồn tại $r_1^{(n)}$ và $r_2^{(n)}$ sao cho $r_1^{(n)} < a < r_2^{(n)}$ và $r_2^{(n)} - r_1^{(n)} < \frac{1}{n}$.

Đối với $r_2^{(n)}$ và $r_2^{(n)}$ này (theo tính chất $5^0$ đối với số mũ hữu tỉ) $0 < \beta - \gamma < c\left(\frac{1}{n} - 1\right)$.

Theo những gì đã được chứng minh trước đó, với mọi $\varepsilon > 0$ đều có một $N$ sao cho với mọi $n > N$ thì bất đẳng thức $a^{\frac{1}{n}} - 1 < \frac{\varepsilon}{c}$ là đúng. Do đó, với mọi $\varepsilon > 0$ bất đẳng thức $0 < \beta - \gamma < \varepsilon$ là đúng, điều này là không thể.

Dựa trên Định nghĩa 5, chúng ta có thể chứng minh rằng đối với một bậc có số mũ thực, tất cả các thuộc tính $1^0 - 6^0$ mà chúng ta thiết lập cho số mũ tự nhiên đều được bảo toàn. Những điều này hoàn thành việc xây dựng các hàm $y = a^x$.

*) Nghe $0 < a < 1$ tự mình tìm hiểu.

Cần lưu ý rằng khi xác định một mức độ với số mũ vô tỉ, chúng ta đã rời xa sơ đồ được chấp nhận trước đó: chúng ta có thể xây dựng các định nghĩa chỉ dựa trên nhu cầu bảo toàn tính chất $1^0$ theo vô số cách.

Chính xác hơn, có vô số đa hàm $y = f(x)$ sao cho $f(x) = a^x$ cho $x \in \mathbb{Q}$ mà $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$.

Trong tất cả các hàm này, chỉ có một hàm chúng tôi xây dựng $y = a^x$ sẽ đơn điệu (và liên tục). Mọi chức năng khác của họ này đều được sắp xếp khá lộn xộn. Ví dụ: bất kỳ trong số chúng không bị giới hạn ở bất kỳ khoảng nào của trục số.

Làm thế nào để tính $2\sqrt{2}$?

Chúng ta hãy xem xét một số phép tính gần đúng thập phân $\sqrt{2}$ cho sự thiếu hụt và dư thừa. Những phép tính gần đúng này thỏa mãn các bất đẳng thức $1 < \sqrt{2} < 2; 1,4 < \sqrt{2} < 1,5; 1,41 < \sqrt{2} < 1,42$. Khi đó, theo định nghĩa 5 của chúng tôi, số $2\sqrt{2}$ phải thỏa mãn các bất đẳng thức $2^1 < 2\sqrt{2} < 2^2; 2^{1,4} < 2\sqrt{2} < 2^{1,5}; 2^{1,41} < 2\sqrt{2} < 2^{1,42}$ hoặc $2 < 2\sqrt{2} < 4; 2,6 < 2\sqrt{2} < 2,9; 2,65 < 2\sqrt{2} < 2,68$.

Bất đẳng thức thứ hai trong số này cho phép chúng ta tìm $2\sqrt{2}$ với độ chính xác lên đến số nguyên, bất đẳng thức thứ ba - với độ chính xác lên đến hàng chục. Người ta hiểu rằng có thể thu được giá trị $2\sqrt{2}$ với bất kỳ độ chính xác nhất định nào bằng cách lấy các phép tính gần đúng thích hợp $\sqrt{2}$.

Nhấn mạnh

4. Nó nhiều hơn $2\sqrt{3}$ hay $3\sqrt{2}$?

5. Chứng minh tính chất $4^0$ và $5^0$ của lũy thừa với số mũ thực bất kỳ.

6. Chứng minh tính chất $1^0$ của lũy thừa với số mũ thực bất kỳ.

7. Chứng minh tính liên tục của hàm số $y = a^x$ với $x = 0; 6)$ với $x = x_0$, trong đó $x_0 \in \mathbb{R}$.

8. Cho $a$ và $\beta$ là các số vô tỷ. Con số $a^\beta$ có ​​thể hợp lý không?

9. Chứng minh rằng $y = a^x$ và $y = \exp_a x$ là cùng một hàm số.