Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

48

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$10 \cos^2 x - 16 \sin x = \cos 2x + 15.$$

2. Cho một đường tròn bán kính $\sqrt{7}$ có tâm tại điểm (2; 3) trên mặt phẳng tọa độ. Tìm tất cả các điểm nằm ngoài đường tròn này có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3x + 3y - \frac{1}{2} = 4, \\ (2x - y)^2 = \frac{9}{4}. \end{cases}$$

3. Độ dài các cạnh $AB$ và $CD$ của hình thang $ABCD$ lần lượt là 8 cm và 10 cm, và chiều dài đáy $BC$ là 2 cm. Phân giác của góc $ADC$ đi qua giữa cạnh $AB$. Tìm diện tích của hình thang.

4. Chiều cao của một paramid hình tứ giác đều gấp đôi đường chéo của đáy của nó, thể tích của paramid là $V$. Chúng ta xem xét các đặc điểm tứ giác đều được viết thành một paramid sao cho các cạnh bên của chúng song song với đường chéo của đáy paramid, một mặt bên thuộc về đáy này và các đỉnh của mặt bên đối diện nằm trên bề mặt bên của paramid. Tìm thấy:

a) thể tích của đối tượng đó, mặt phẳng của cạnh bên chia chiều cao của paramid theo tỷ lệ 4:1, tính từ trên xuống;
b) giá trị tối đa của khối lượng công nhận được công nhận.

5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2x^2y - xy^5z = z^2, \\ xz + 3y^4z^2 = 10x^2y^5, \\ 5y^4z + 3xy^8z^2 = 2x^2. \end{cases}$$

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^x - 32 \left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1} < 0.$$

2. Giải phương trình
   $$\log_{\cos x} \left( \frac{\sin 2x}{\sqrt{2}} + \cos x - \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x \right) = 2.$$

3. Có hai dây cung $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau và cắt nhau trong một đường tròn. Được biết, $|AB| = |BC| = |CD|$. Xác định cái nào lớn hơn: diện tích hình tròn hay diện tích hình vuông có cạnh $AB$.

4. Tìm tất cả các giá trị của $a$ mà hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2^x(y+1)(1-y \cdot 2^x) = a^3, \\ (1+2^x)(1-y \cdot 2^x) = a \end{cases}$$
   a) không có lời giải;
   b) có tập vô hạn lời giải. Trong trường hợp 6), mọi thứ trong đó là lời giải.

5. Độ dài cạnh đáy của một paramid tứ giác đều là $a$, độ dài trung điểm của paramid là $\frac{3}{2}a$. Hình chiếu trực giao của paramid lên mặt phẳng vuông góc với một trong các mặt bên là hình thang cân. Tìm diện tích của hình thang này.

Tùy chọn 3

1. Giải phương trình
   $$2x - \sqrt{x^3 + 2x^2 - 3x} = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\frac{x-1}{5x-6}} (\sqrt{6} - 2x) < 0.$$

3. Một vòng tròn được ghi trong một hình thang đều. Khoảng cách từ tâm hình tròn đến giao điểm của các đường chéo của hình thang có quan hệ với bán kính từ 3 đến 5. Tìm tỉ số giữa chu vi hình thang và chiều dài của hình tròn.

4. Trên mặt phẳng tọa độ, chúng ta xét tập $N$ của tất cả các điểm có tọa độ $(a; b)$ thỏa mãn các điều kiện $a < b$, $|a| < 3$, $|b| < 3$ và sao cho phương trình
   $$\left(a^3 - b^3\right)x^4 + (3a + b)x^2 + \frac{1}{a-b} = 0$$
   không có rễ.

a) Điểm $P(-2; -1)$ có thuộc tập $N$ không?

b) Tìm diện tích của đa giác có vùng bên trong là tập hợp $N$.

5. Trên cạnh $BB_1$ của khối lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ chúng ta lấy điểm $F$ sao cho $|B_1F| = \frac{1}{3} |BB_1|$, trên cạnh $C_1D_1$ chúng ta lấy điểm $E$ sao cho $|D_1E| = \frac{1}{3} |C_1D_1|$. Giá trị quan trọng nhất mà mối quan hệ $\frac{|AP|}{|PQ|}$ có thể nhận là gì, trong đó điểm $P$ nằm trên tia $(DE)$ và điểm $Q$ nằm trên đường thẳng $A_1F$? Lời giải bài toán tùy chọn 1

6. Biểu diễn $\cos^2 x$ và $\cos 2x$ theo $y = \sin x$, ta thu được hệ
   $$\begin{cases} 4y^2 + 8y + 3 = 0, \\ |y| \leq 1, \end{cases}$$
   từ đâu $y = -\frac{1}{2}$. Việc còn lại là giải phương trình $\sin x = -\frac{1}{2}$.

49

Đáp số. $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

bài toán này rất đơn giản, nhưng những người đăng ký không phải là cử tri đã không thể giải chính xác. Sai lầm chính là họ không loại bỏ căn bậc hai $y = -\frac{3}{2}$ của phương trình bậc hai và xem xét biểu thức arcsin $\left(-\frac{3}{2}\right)$. Kiến thức về hàm lượng giác nghịch đảo cũng được thể hiện rõ trong bài thi vấn đáp.

2. Từ phương trình thứ hai, chúng ta thấy ngay rằng $y = 2x - \frac{3}{2}$ hoặc $y = 2x + \frac{3}{2}$.

Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thu được phương trình $3^x + 3^{2x-2} = 4$, bằng cách thay thế $z = 3^{x-1}$ được rút gọn thành phương trình bậc hai $z^2 + 3z - 4 = 0$ bằng nghiệm $z_1 = -4, z_2 = 1$.

Vì $z > 0$, chúng ta nhận được $3^{x-1} = 1$, từ đó $x = 1, y = \frac{1}{2}$.

Trong trường hợp thứ hai, như trong trường hợp đầu tiên, chúng ta đạt được phương trình $3z^2 + z - 4 = 0$, trong đó $z = 3^x$; giải quyết nó, chúng tôi tìm thấy $x = 0, y = \frac{3}{2}$.

lời giải tìm thấy có thể được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng các điểm $M\left(1; \frac{1}{2}\right)$ và $N\left(0; \frac{3}{2}\right)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến tâm $O(2; 3)$ của một đường tròn nhất định là $\sqrt{(1-2)^2 + \left(\frac{1}{2} - 3\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{29} > \sqrt{7}$.

Tương tự như vậy $|ON| = \sqrt{(0-2)^2 + \left(\frac{3}{2} - 3\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} < \sqrt{7}$.

Như vậy, điểm $M$ nằm ngoài đường tròn.

Đáp số. $\{(1; \frac{1}{2})\}$.

Với lời giải, những người nộp đơn không phải là cử tri bài toán này không thể viết chính xác điều kiện là điểm $(x; y)$ nằm ngoài vòng tròn đã cho.

3. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $AB$. Hãy vẽ đường giữa $EF$ của hình thang $ABCD$. Vì $ADE = DEF$, $(EF) \parallel (AD)$ và $ADE = EDF$ (theo điều kiện), chúng ta thu được $DEF = EDF$, tức là tam giác $EFD$ là tam giác đều. Vì vậy, $|EF| = |FD| = \frac{1}{2} |CD| = 5$. Pozny $|AD| = 2 |EF| - |BC| = 8$. Hãy vẽ một đoạn $BG$ song song với cạnh $CD$ (Hình 1). Chúng ta có $|BG| = 10; |AG| = |AD| - |DG| = |AD| - |BC| = 6$ ($BCDG$ là hình bình hành). Điều này có nghĩa là độ dài các cạnh của tam giác là $ABG$, chúng ta có thể tính được góc $BAG$. Theo định lý cosin

$$\cos(\widehat{BAG}) = \frac{|BG|^2 - |AB|^2 - |AG|^2}{2|AB||AG|} = \frac{100 - 64 - 36}{2 \cdot 8 \cdot 6} = 0,$$

nghĩa là, $\widehat{BAG} = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là $AB$ là chiều cao của hình thang $ABCD$ và diện tích của hình thang là $8 \cdot 5 = 40$.

Đáp số. 40cm2.

Thật không may, chỉ có một số ứng viên tìm thấy lời giải hình học đơn giản được đưa ra ở đây. Một số cố gắng giải bài toán bằng cách sử dụng vectơ, những người khác nhìn thấy số lượng lớn hơn các tham số mới (ví dụ: các góc của hình thang) và liên tục áp dụng định lý cosine, những người khác sử dụng định lý về tỉ lệ mà đáy của một đường phân giác chia cạnh của một tam giác.

4. Chúng ta hãy biểu thị các điểm giao nhau của mặt phẳng của mặt bên “trên” của kim tự tháp với các cạnh bên của kim tự tháp $SABCD$ bằng $A_1, B_1, C_1, D_1$ (Hình 2) và điểm giao nhau của chiều cao $SO$ của kim tự tháp với mặt phẳng này bằng $O_1$. Chúng ta hãy biểu thị chiều dài của cạnh $EH$ bằng $b$, chiều dài cạnh $EE_1$ của đáy bằng $a$, chiều cao của hình chóp $SABCD$ bằng $H$. Lấy điểm $O_1$ chia chiều cao theo tỉ lệ $\lambda : \frac{|O_1O|}{|SO|} = \lambda$ (rõ ràng là $\lambda \in [0; 1]$).

Vì $|O_1O| = |E_1E| = a$, chúng ta có $a = \lambda H$. Khoảng cách đã cho ngụ ý rằng các đoạn $F_1G, E_1H_1$ và $A_1C_1$ song song theo cặp. Hãy tìm độ dài đường chéo $A_1C_1$. Từ sự giống nhau của các tam giác $ASC$ và $A_1SC_1$ ta có $\frac{|A_1C_1|}{|AC|} = \frac{|SO_1|}{|SO|}$, từ đó

$$|A_1C_1| = \frac{H}{2} \cdot \frac{H - \lambda H}{H} = (1 - \lambda) \frac{H}{2}.$$

Hãy tìm độ dài $b$ của cạnh bên $E_1H_1$ của điểm nhận biết: $b = |A_1C_1| - 2 |KE_1| = |A_1C_1| - |E_1F_1| = (1 - \lambda) \frac{H}{2} - \lambda H = (1 - 3\lambda) \frac{H}{2}$.

50

Thể tích $V_{np}$ của lăng kính $EFGHE_1F_1G_1H_1$ bằng $V_{np} = a^2b = \lambda^2(1 - 3\lambda)\frac{H^3}{2}$. Vì $\frac{1}{24}H^3 = V$, kết quả cuối cùng là

$$V_{np} = 12\lambda^2(1 - 3\lambda)V,$$

ở đâu $\lambda \in ]0; 1[$.

Bây giờ bạn có thể trả lời câu hỏi a). Giá trị của $\lambda$ trong trường hợp này là $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ và do đó $V_{np} = \frac{24}{125}V$.

Để trả lời câu hỏi 6), chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm $V_{np}(\lambda)$ trên khoảng $]0; 1[$. Chúng ta hãy đánh đồng đạo hàm $V'_{np}(\lambda) = 2\lambda - 9\lambda^2 = 0$ với 0, do đó $\lambda = \frac{2}{9}$. Vì tại $\lambda < \frac{2}{9}V'_{np}(\lambda) > 0$ và tại $\lambda > \frac{2}{9}V'_{np}(\lambda) < 0$ nên hàm $V_{np}(\lambda)$ có giá trị lớn nhất ở $\lambda = \frac{2}{9}$ trong khoảng $]0; 1[$, bằng $V_{np}\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{16}{81}V$.

Đáp số. a) $\frac{24}{125}V; 6)\frac{16}{81}V$.

Nhiều người trong số những người nộp đơn đã không chọn đúng tham số để biểu thị thể tích của lăng kính, mặc dù trong điều kiện a) có một gợi ý rõ ràng về vấn đề này. Khi nghiên cứu hàm $V_{np}(\lambda)$ cho một cực trị, họ chỉ chứng minh được một chút rằng tại $\lambda = \frac{2}{9}$ có mức cực đại.

5. Nhân phương trình thứ nhất với $5y^4$ và cộng nó với phương trình thứ hai, ta được

$$2y^4z^2 = -5xy^9z + xz.$$

(1)

Có hai trường hợp có thể xảy ra: $z = 0$ và $z \neq 0$. Trong trường hợp đầu tiên, từ phương trình thứ ba, chúng ta thu được $x = 0$ và các giá trị của $y$ có thể là bất kỳ giá trị nào. Chúng ta nhận được một tập hợp vô hạn lời giải: $(0, \alpha; 0), \alpha \in \mathbb{R}$.

Nếu $y = 0$, thì từ phương trình thứ ba và phương trình thứ nhất, chúng ta thu được $x = 0$ và $z = 0$, tức là một trong những lời giải đã được tìm thấy. Nếu $x = 0$, thì từ phương trình đầu tiên $z = 0$ và một lần nữa chúng ta đạt đến lời giải $(0, \alpha; 0), \alpha \in \mathbb{R}$.

Hãy để bây giờ $z \neq 0, y \neq 0, x \neq 0$. Từ (1) ta có

$$z = \frac{x - 5xy^9}{2y^4}.$$

(2)

Thay thế sự tương ứng này vào phương trình đầu tiên của hệ, chúng ta thu được sau khi biến đổi phương trình

$$15y^{18} - 16y^9 + 1 = 0.$$

Hãy đặt $t = y^9$. Giải phương trình $15t^2 - 16t + 1 = 0$, ta thu được $t_1 = 1, t_2 = \frac{1}{15}$, từ đó $y_1 = 1, y_2 = (15)^{-1/9}$.

Từ thư từ (2) chúng ta có được

$$y_1^4z = x\left(\frac{1 - 5y^9}{2}\right) = -2x$$

trong trường hợp đầu tiên và

$$y_2^4z = x\left(\frac{1 - 1/3}{2}\right) = \frac{x}{3}$$

trong lần thứ hai.

Hãy nhìn vào trường hợp đầu tiên. Thay $y^4z$ vào phương trình thứ ba, chúng ta nhận được $12x^2 - 2x - 10 = 0$, do đó $x_1 = -\frac{5}{6}, x_2 = 1$. Sử dụng sự tương ứng (2), chúng ta thu được hai lời giải:

$$\left(-\frac{5}{6}; 1; \frac{5}{3}\right), (1; 1; -2).$$

Trong trường hợp thứ hai, thực hiện tương tự như trường hợp đầu tiên, chúng ta tìm thấy thêm hai lời giải: $(1; 15^{-1/9}; 5 \cdot 15^{-5/9}), (5; 15^{-1/9}; 25 \cdot 15^{-5/9})$.

Đáp số. {(0; $\alpha; 0$), $\alpha \in \mathbb{R}$; $\left(-\frac{5}{6}; 1; \frac{5}{3}\right)$; $(1; 1; -2)$; $(1; 15^{-1/9}; 5 \cdot 15^{-5/9})$}.

Lời giải điều bài toán này đòi hỏi sự khéo léo và rất ít thành công hoàn toàn. Tuy nhiên, những người kiểm tra thể tích của lăng kính thường mất lời giải, $(0; \alpha; 0)$, $\alpha \in \mathbb{R}$, chỉ hiển thị $(0, 0, 0)$. Nhiều người nộp đơn không thể nhìn thấy phương trình bậc hai mà họ nhận được cho $y^9$ và không biết phải làm gì với nó tiếp theo.

Vật lý

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Một lực không đổi $\vec{F}$ tác dụng lên một tải trọng đứng yên có khối lượng $m = 10$ kg, nằm trên một bàn nằm ngang và được gắn vào tường bằng một lò xo có độ cứng $k = 4 \cdot 10^3$ N/m, trong thời gian t (Hình 4). Tại những giá trị nào của $t$ thì $\vec{F}$ sẽ đứng yên trở lại sau khi lực ngừng tác dụng? Hãy chạy về phía trước.

2. Một vật nặng hình trụ treo trên đồng hồ đo đường kính được hạ xuống nước (Hình 5) cho đến khi mực nước trong bình thay đổi $\Delta h = 8$ cm. Sau đó, chỉ số của máy đo đường kính thay đổi thành $|\Delta F| = 0,5$ N. Xác định mặt cắt ngang của bình.

3. Một chùm tia song song gồm các phần tích điện âm rơi vào hai lưới phẳng song song, giữa đó đặt một hiệu điện thế $U_0$, ở một góc $\alpha = 60^\circ$ (Hình 6). Các hạt có thể đi qua lưới ở mức năng lượng nào nếu điện tích của bộ phận đó là $q$?

Hình 4.

Hình 5.

51

4. Ở một khoảng cách nào đó phía sau đường âm mỏng có tiêu cự $F_n = 10$ cm có một gương cầu lõm. Hệ thống thấu kính + gương tạo ra hình ảnh có kích thước thật của vật thể. Sau đó, gương được di chuyển ra xa đường thẳng $l = 2$ cm và một lần nữa thu được ảnh có kích thước thật của vật đó. Xác định khoảng cách từ vật đến đường thẳng.

Tùy chọn 2

1. Phản ứng hạt nhân $^14\text{N} + ^4\text{He} \rightarrow {}^{17}\text{O} + p$ có thể xảy ra nếu các hạt alpha tới hạt nhân nitơ đứng yên có năng lượng vượt quá năng lượng ngưỡng $E_n = 1,45$ MeV. Năng lượng của hạt α phải lớn hơn ngưỡng bao nhiêu để động năng của proton tạo thành trong phản ứng bằng 0?

2. Trong một hình trụ nằm ngang có tiết diện $S$ có một pít-tông lớn (Hình 7). Tại thời điểm ban đầu, pít-tông được giữ ở một khoảng $l_0$ tính từ đáy bình, do đó phải tác dụng một lực $F$ vào nó. Sau khi lực $F$ dừng lại, piston bắt đầu chuyển động không ma sát. Ở khoảng cách nào tính từ đáy thì pít-tông sẽ có tốc độ cao nhất? Quá trình được coi là đẳng nhiệt. Áp suất bên ngoài là $p_0$.

3. Mạch dao động, bao gồm một cuộn cảm và một tụ điện, được kết nối thông qua một công tắc $K$ với một nguồn EMF không đổi có điện trở trong $r$ (Hình 8). Ban đầu phím $K$ bị đóng. Sau khi cài đặt chế độ đứng yên, công tắc được mở và một bộ dao động có chu kỳ $T$ xuất hiện trong mạch. Trong trường hợp này, biên độ điện áp trên tụ điện lớn hơn $n$ lần so với suất điện động của pin. Tìm độ tự cảm của cuộn dây và điện dung của tụ điện. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây.

4. Vật và ảnh của nó được tạo bởi một đường dương mỏng, nằm về một phía của đường thẳng đó. Khoảng cách giữa vật và ảnh là $a_1 = 4$ cm. Người ta thu được chính xác ảnh của cùng một vật khi sử dụng gương cầu có cùng tiêu cự với đường thẳng. Trong trường hợp này, khoảng cách giữa vật và ảnh bằng $a_2 = 8$ cm. Xác định tiêu cự của đường thẳng.

Tùy chọn 3

1. Phải tác dụng lực ngang tối thiểu $F$ lên một khối có khối lượng $m = 1$ kg nằm trên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng $α = 30°$ để khối đào được (Hình 9)? Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là $μ = 0,2$.

2. Từ một xi lanh có thể tích $V_1 = 200$ l chứa heli ở nhiệt độ $T_1 = 273$ K dưới áp suất $p_1 = 2 \cdot 10^6$ N/m2, một phần khí đã bị tiêu hao, trong điều kiện bình thường chiếm thể tích $V_2 = 1000$ l. Khi đo lại áp suất trong xi lanh, thu được giá trị $p_2 = 1,4 \cdot 10^6$ N/m2. Phép đo này được thực hiện ở nhiệt độ nào?

52

Hình 13.

3. Mạch điện bao gồm hai tụ điện có xương $C_1$ và $C_2$ và một cuộn dây có độ tự cảm $L$, ban đầu mở (Hình 10). Tụ điện có xương $C_1$ được tích điện đến hiệu điện thế $U$, còn tụ điện có xương $C_2$ vẫn không được tích điện. Xác định dòng điện cực đại trong mạch sau khi đóng phím $K$. Điện trở hoạt động của cuộn dây bị đánh giá thấp.

4. Sử dụng gương cầu, người ta thu được ảnh $A'B'$ của vật $AB$ (Hình 11). Bằng cách xây dựng, xác định vị trí của gương và tiêu điểm của nó.

Tùy chọn 4

1. Một nắm cát được đổ xuống đáy một quả cầu có bán kính $R$ (Hình 12). Xác định vị trí của các hạt cát sau khi quả cầu quay quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega$. Cát thổi vào quả cầu.

2. Mật độ của dung dịch muối có độ sâu $h$ thay đổi theo định luật $\rho = \rho_0 + Ah$, trong đó $\rho_0 = 1 \text{ г/cm}^3$, $A = 0,01 \text{ г/cm}^4$. Hai quả bóng được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài $l = 5$ cm được hạ xuống hỗn hợp. Thể tích của mỗi quả bóng là $V = 1 \text{ см}^3$ và khối lượng là $m_1 = 1,2 \text{ г}$, $m_2 = 1,4 \text{ г}$. Mỗi quả bóng sẽ ở độ sâu bao nhiêu trong đường ống nếu biết rằng sợi chỉ bị căng?

3. Khi nghiên cứu một tế bào quang điện chân không, người ta thấy rằng với hiệu điện thế chậm lại $U_3 = 1,5$ V giữa cực âm $K$ và anom $A$ (Hình 13), dòng quang điện từ bề mặt cực âm, được chiếu sáng bởi ánh sáng có bước sóng $\lambda_0$, dừng lại. Xác định $\lambda_0$ nếu công của vật liệu catốt và dị thường là $A = 4$ eV. Hằng số Planck $\hbar = 1,05 \times 10^{-34}$ J s, điện tích electron $e = 1,6 \times 10^{-19}$ Cl.

4. Phía sau một thấu kính dương mỏng có tiêu cự $F_1 = 15$ cm có một gương cầu lồi có tiêu cự $F_2 = 5$ cm. Hệ thống này tạo ra hình ảnh trực tiếp, có kích thước thật của một vật thể bất kể khoảng cách của nó với ống kính. Xác định khoảng cách giữa thấu kính và gương. (Gương nằm giữa thấu kính và tiêu điểm của nó.)

Lời giải lựa chọn vấn đề 1

1. Trong quá trình tác dụng của lực $\vec{F}$, tải thực hiện dao động điều hòa với chu kỳ $T = 2\pi \sqrt{m/k} \approx 0,3$ s xung quanh vị trí cân bằng mới, được xác định bởi điều kiện $kx_0 = |\vec{F}|$, trong đó $x_0$ là độ dịch chuyển của vị trí cân bằng mới so với vị trí cân bằng cũ. Trong trường hợp này, biên độ dao động cũng bằng $x_0 = |\vec{F}|/k$ và vị trí cực đại bên phải của tải trùng với vị trí ban đầu của nó. Rõ ràng, tốc độ của tải và gia tốc của nó tại thời điểm này bằng 0. Do đó, nếu lực dừng ở vị trí này thì tải sẽ không chuyển động. Vì vậy, thời gian $t$ của lực phải bằng $\tau = nT$, trong đó $n = 1, 2, 3, \dots$.

Lỗi đặc trưng với lời giải bài toán này là do hiểu sai câu hỏi bài toán. Sau khi lực dừng lại, tải sẽ đứng yên nếu cả vận tốc và gia tốc của tải đều bằng không. Điều này sẽ chỉ ở vị trí ngoài cùng bên phải. (Ở vị trí cực bên trái, tốc độ của tải thực sự bằng 0, nhưng gia tốc của nó khác 0. Tại thời điểm các lực cân bằng và gia tốc của tải bằng 0, tốc độ của nó khác 0.)

2. Sự thay đổi số đọc đường kính có liên quan đến tác động của lực nổi lên thủy điện, lực này bằng với trọng lượng của nước trong thể tích của phần ngâm trong tay kẹp:

$$|\Delta F| = \rho g S \Delta h,$$

Ở đâu

$$S = \frac{|\Delta F|}{\rho g \Delta h} \approx 6,25 \text{ cm}^2.$$

bài toán đơn giản này hóa ra lại có một “cạm bẫy” mà đại đa số những người nộp đơn thực sự không nhận thấy và hoàn toàn hình thành nên hướng đi lời giải. Trong cuộc thảo luận miệng về bài toán, nhiều người không thể trả lời được câu hỏi tại sao họ lại viết ra