Bài toán M666—M670; F678—F682

22

Bài toán

M666—M670; F678—F682

M666. Chứng minh rằng bội số chung nhỏ nhất $n$ của các số tự nhiên $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ ít nhất là $na_1$.

A. Razborov

M667. Vẽ một tam giác $ABC$ nếu có góc nhỏ nhất $\widehat{A}$ và các đoạn có độ dài $d = |AB| - |BC|$ và $e = |AC| - |BC|$.

N. Vasiliev

M668*. Trình tự $(x_i)$ được xác định bởi các điều kiện

$$x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_{n+1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ đều có hai số hạng liền kề của dãy này, mỗi số hạng đều chia hết cho $m$.

G. Kozlov

M669. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng

a) đoạn nối trung điểm của các góc $AB$ và $CD$ vuông góc với đoạn nối các góc $BC$ và $AD$;

b) tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABC, BCD, CDA$ và $DAB$ là các đỉnh của hình chữ nhật.

K. Malkhasyan, I. Người Đức

M670*. a) Cho một số điểm, các cặp điểm không xoắn được nối với nhau bằng các đường thẳng (các điểm của các cặp đó được gọi là lân cận). Số lân cận của mỗi điểm là số lẻ. Tại thời điểm ban đầu, tất cả các điểm được tô bằng hai màu - đỏ và xanh. Sau đó, cứ sau mỗi phút, việc đổi màu đồng thời của điểm sẽ diễn ra theo quy tắc sau: mỗi điểm có hầu hết các điểm lân cận có màu khác với điểm đó sẽ thay đổi màu của nó; nếu không, màu của nó sẽ được giữ lại.

Chứng minh rằng sẽ đến một thời điểm mà từ đó một số điểm không thay đổi và một số điểm có cùng điểm.

b) Liệu tuyên bố này có còn đúng nếu không giả định rằng mỗi điểm có số lân cận là lẻ?

O. Kozlov