Khoảng một bài toán Kolmogorov

14

Khoảng một bài toán
Kolmogorov

Từ biên tập viên

Mười năm trước vào năm «Kvant» họ đã nói về vấn đề mà Viện sĩ A. N. Kolmogorov đặt ra trong một bài giảng dành cho học sinh. Đây là cách diễn đạt của nó:

Chúng ta cố định góc và điểm O bên trong nó trên mặt phẳng (Hình 1). Có hình nào khác ngoài hình tròn có thể được chỉnh sửa bên trong một góc nhất định sao cho đường bao của hình luôn chạm vào cạnh của góc và đi qua điểm O không?

A. N. Kolmogorov lưu ý rằng lời giải vấn đề này cũng có ý nghĩa thực tiễn: “Ở một số nhà máy, các bộ phận hình trụ được kiểm tra như sau: bộ phận được đặt vào khay và xử lý sao cho chạm vào thành khay, sau đó một “shup” (một thanh có thể thực hiện chuyển động liên tục) được đưa vào từ phía trên cho đến khi tiếp xúc với bộ phận. Nếu vít di chuyển trong quá trình quay, bộ phận đó sẽ bị loại bỏ. Do đó, nếu có các hình khác ngoài hình tròn thỏa mãn điều kiện bài toán, khi đó hình trụ có tiết diện toàn phần của hình điểm sẽ đi qua OTC một cách hoàn hảo” («Kvant», 1971, Số 3, trang 20).

Bài viết đưa ra một phần lời giải bài toán Kolmogorov.

Hình 1.

Đối với một số loại góc và vị trí của điểm O bên trong góc, tôi đã tìm được các hình không phải là đường tròn và thỏa mãn các điều kiện do A. N. Kolmogorov đặt ra. Việc xây dựng các số liệu như vậy có thể được thực hiện như sau:

Xét một đa giác đều; Hãy tiếp tục hai mặt không hấp dẫn của nó cho đến khi chúng giao nhau. Chúng ta lấy góc kết quả là góc đã cho. Là điểm O, chúng ta lấy một trong các đỉnh của đa giác chẳng hạn, như đã làm cho hình ngũ giác trong Hình 2, a. Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu xoay đa giác sao cho nó chạm vào cả hai cạnh của góc với một số đỉnh của nó. bài toán của chúng ta là biến dạng đa giác thành một hình sao cho khi xoay vào trong góc, điểm O sẽ luôn nằm trên ranh giới của nó; Tất nhiên, trong trường hợp này, việc “giữ nguyên các đỉnh” của đa giác là hợp lý vì nó chạm vào các cạnh của góc với nó.

Chúng ta sẽ quay đa giác cho đến khi cạnh BC trở về cạnh ban đầu của góc (điểm bắt đầu của phép quay này, xem Hình 2, a - f). Đồng thời, chúng ta sẽ đặt một cây bút chì ở điểm cản trở O và xem cây bút chì này sẽ vẽ những đường cong gì khi chúng ta xoay nó.

Một phép quay hoàn chỉnh (theo một góc từ 0 đến 2π) của hình ngũ giác tự nhiên phát triển thành một phần năm các giai đoạn: quay một góc từ 0 đến 2π/5, từ 2π/5 đến 4π/5, v.v. Sau giai đoạn đầu tiên, cạnh AB của hình ngũ giác xuất hiện ở cạnh ban đầu của góc trên cạnh BC, sau giai đoạn thứ hai - cạnh kề AE, v.v. Trong mỗi giai đoạn này, góc của chúng ta nằm trên một trong các đường chéo hình ngũ giác: đầu tiên - trên đường chéo BE, sau đó - trên AD, sau đó trên EC, trên DB và cuối cùng, trên CA. Điểm O luôn nằm trên đường phân giác của góc chúng ta.

Khi xoay hình ngũ giác từ vị trí như ở Hình 2, a, đến vị trí như ở Hình 2, e, bằng đầu bút chì

15

Hình 2.

sẽ tạo ra một đường cong nhất định (xem Hình 2, a-f). Khi hình ngũ giác được xoay hoàn toàn, bút chì sẽ vẽ một “ngôi sao” trên đó, điều này sẽ hạn chế đáng kể hình dạng mong muốn do chính phương pháp xây dựng.

Những loại đường cong nào tạo thành đường viền của hình này?

Để hiểu điều này, chúng ta sẽ làm như sau: chúng ta sẽ để hình ngũ giác đứng yên và chúng ta sẽ quay mặt phẳng với hướng của góc trên nó và cái đinh tại điểm O. Chúng ta

Hình 3.

Đã lưu ý rằng khi xoay theo các giá trị từ 0 đến 2π/5, góc của chúng ta sẽ nằm trên đường chéo BE; do đó, phần trên của nó sẽ trượt dọc theo cung tròn như trong Hình 3.

Điểm O nằm trên phân giác của góc và cách đỉnh của nó một khoảng cho trước. Đường phân giác của một góc khi đỉnh của góc di chuyển dọc theo cung lớn BE của đường tròn đang xét sẽ đi qua trung điểm S nhỏ hơn các BE còn lại của đường tròn này. Như vậy, phương pháp xây dựng đường cong mong muốn rất rõ ràng: cần vẽ một đường thẳng đi qua từng điểm có độ dài lớn hơn BE của đường tròn của chúng ta và điểm giữa của S nhỏ hơn một độ dài, và từ điểm có độ dài lớn hơn vẽ ra một đoạn bằng khoảng cách từ điểm O đến đỉnh của góc; thì phần cuối của các đoạn này sẽ mô tả đường cong mong muốn.

Sau đó, quy trình tương tự phải được thực hiện với các đường chéo AD, EC, DB và CA của hình ngũ giác, quay góc của chúng ta lần lượt theo các giá trị từ 2π/5 đến 4π/5, từ 4π/5 đến 6π/5 và từ 6π/5 đến 8π/5 và từ 8π/5 đến 2π.

Đường cong thu được (xem Hình 3) đã được biết đến từ lâu trong toán học; «Kvant» đã viết về nó trên trang của mình. Nó được gọi là ốc Pascal (xem «Kvant», 1977, số 5).

Hình dạng của đường cong giới hạn đối với các đa giác đều khác được nghiên cứu theo cách tương tự. Trong mọi trường hợp, tương ứng