[Về bề mặt thu được từ hình elip]

16

Dễ dàng lời giải của một vấn đề khó khăn

Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học người Anh J. Sylvester đã đặt ra các vấn đề sau:

Giả sử $S$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không phải tất cả các điểm của nó đều nằm trên cùng một đường thẳng. Có nhất thiết phải có một đường thẳng mà trên đó tập $S$ là tập Lyatrian có hai điểm không?

Trong hơn bốn mươi năm, vấn đề của Sylvester vẫn chưa được giải quyết và khi đó nó được coi là một nhiệm vụ rất khó khăn. Nhưng đột nhiên vấn đề tiếp theo nảy sinh - một ý tưởng.

Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường có thể có thông qua các cặp điểm của tập hợp $S$ (có lẽ một số trong chúng chứa nhiều hơn hai điểm). Chúng ta hãy xem xét tất cả các khoảng cách có thể có từ tập hợp điểm $S$ đến các đường đã vẽ. Có một số lượng hữu hạn trong số họ. Đặt $r$ là khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách này ($r > 0$). Hãy lấy điểm đó $P$ và đường thẳng đó $l$, khoảng cách giữa chúng là $r$. Hãy chứng minh rằng có hai điểm nằm trên đường thẳng $l$ và tập hợp $S$.

Giả sử có ba điểm trở lên của tập hợp $S$ trên đó. Chúng ta hãy hạ hình chữ nhật từ điểm $P$ xuống dòng $l$; hãy để $A$ là cơ sở của sự phân phối lại này (xem hình). Dễ dàng nhận thấy điều đó $A \notin S$. Điều này có nghĩa là trên đường $l$, ít nhất ở một phía của điểm $A$, có ít nhất hai điểm thuộc tập hợp $S$; chúng tôi biểu thị hai trong số chúng bằng $X$ và $Y$ và đặt $X$ nằm gần $A$ hơn $Y$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm $P$ và $Y$. Rõ ràng, khoảng cách từ điểm $X$ đến đường thẳng này nhỏ hơn khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $l$, điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn $P$ và $l$.

Do đó, đường $l$ chỉ chứa hai điểm, tập hợp $S$.

Hình 4 cho thấy một “dấu hoa thị” tương ứng với hình ngũ giác. Trên trang thứ hai của bìa tạp chí có một “dấu hoa thị” tương ứng với một hình vuông. Những ai muốn có thể vẽ một “ngôi sao” tương ứng với một đa giác đều khác và điểm $O$ không nhất thiết phải là đỉnh trên phân giác của góc. Các đường cong thu được cũng sẽ là những mảnh của con ốc Pascal, nhưng “răng” của nó sẽ không còn đối xứng nữa.

Kết luận từ các biên tập viên

Vì vậy, A. Babichev đã giải được một phần bài toán Kolmogorov. Tuy nhiên, lời giải của anh ấy đặt ra một câu hỏi mới: có hình lồi nào ngoài hình tròn thỏa mãn điều kiện bài toán không? (Những con số mà A. Babichev nhận được đều nhỏ.) Chúng tôi đang chờ thư của bạn.

Dễ dàng lời giải của một vấn đề khó khăn

Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học người Anh J. Sylvester đã đặt ra các vấn đề sau:

Giả sử $S$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không phải tất cả các điểm của nó đều nằm trên cùng một đường thẳng. Có nhất thiết phải có một đường thẳng mà trên đó tập $S$ là tập Lyatrian có hai điểm không?

Trong hơn bốn mươi năm, vấn đề của Sylvester vẫn chưa được giải quyết và khi đó nó được coi là một nhiệm vụ khó khăn. Nhưng đột nhiên vấn đề tiếp theo nảy sinh - một ý tưởng.

Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường có thể có thông qua các cặp điểm của tập hợp $S$ (có lẽ một số trong chúng chứa nhiều hơn hai điểm). Chúng ta hãy xem xét tất cả các khoảng cách có thể có từ tập hợp điểm $S$ đến các đường đã vẽ. Có một số lượng hữu hạn trong số họ. Đặt $r$ là khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách này ($r > 0$). Hãy lấy điểm đó $P$ và đường thẳng đó $l$, khoảng cách giữa chúng là $r$. Hãy chứng minh rằng có hai điểm nằm trên đường thẳng $l$ và tập hợp $S$.

Giả sử có ba điểm trở lên của tập hợp $S$ trên đó. Chúng ta hãy hạ hình chữ nhật từ điểm $P$ xuống dòng $l$; hãy để $A$ là cơ sở của sự phân phối lại này (xem hình). Dễ dàng nhận thấy điều đó $A \notin S$. Điều này có nghĩa là trên đường $l$, ít nhất ở một phía của điểm $A$, có ít nhất hai điểm thuộc tập hợp $S$; chúng tôi biểu thị hai trong số chúng bằng $X$ và $Y$ và đặt $X$ nằm gần $A$ hơn $Y$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm $P$ và $Y$. Rõ ràng, khoảng cách từ điểm $X$ đến đường thẳng này nhỏ hơn khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $l$, điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn $P$ và $l$.

Do đó, đường $l$ chỉ chứa hai điểm, tập hợp $S$.

bìa của chúng tôi

Bề mặt có hình dạng kỳ lạ được vẽ trên trang đầu tiên của trang bìa được tạo ra bằng cách sử dụng một kỹ thuật đã được mô tả trên các trang tạp chí của chúng tôi («Kvant», 1980, No. 10, p. 62): các vế trái của phương trình ba elip.

Máy tính ES-1030, thực hiện vẽ theo phương trình, cho thấy hai họ đường thẳng trên bề mặt: chúng bị cắt bởi các mặt phẳng nằm cách các khoảng song song với các mặt phẳng tọa độ $Oxz$ và $Oyz$. Máy sơn các phần bề mặt tạo thành theo hình bàn cờ.

Máy coi bề mặt mờ đục. Do đó, trong hình, chúng ta thấy “phần bên ngoài” của bề mặt. Hãy nghĩ xem - “bên trong” cô ấy là gì?

18

Hình 1. Đường truyền chùm tia quét nét đứt: 1-2 - phần đầu của nửa khung lẻ; 5—6—bắt đầu của nửa khung hình chẵn; 2-3, 4-5, 6-7 và 8-1 - hành trình chùm tia ngược.

Bạn không thể che chùm tia điện tử ở giữa khung hình, vì trong trường hợp này một phần của hình ảnh sẽ biến mất. Những người tạo ra truyền hình đã tìm ra một giải pháp độc đáo: khung hình không được truyền đi cùng một lúc mà theo từng nửa khung hình, sao cho chùm tia điện tử trước tiên sẽ vẽ các đường lẻ và sau đó là các đường chẵn của hình ảnh. Trong trường hợp này, nửa khung hình thay đổi với tần số 50 Hz và mắt cảm nhận được hình ảnh chuyển động là liên tục. Phương pháp tạo khung trên màn hình tivi này được gọi là quét dấu gạch ngang (Hình 1).

Với một chiếc TV ở nhà, bạn có thể tiến hành một số thí nghiệm chứng minh hiệu ứng stroopoptic.

Trong thử nghiệm đầu tiên của bạn, hãy thử nhìn vào màn hình TV thông qua kính thiên văn “cổ điển” - một đĩa quay có câu trả lời. Thật dễ dàng để làm từ một miếng bìa cứng gắn trên trục của động cơ vi điện (Hình 2). Để điều chỉnh tốc độ động cơ, nó phải được cấp nguồn từ pin dạng đồng xu (có suất điện động 4,5 V) thông qua một biến trở (có tổng điện trở 100 Ohms). Khoảng cách từ kính hiển vi đến màn hình TV phải sao cho có thể nhìn thấy toàn bộ màn hình qua đèn quay trở lại.

Hình ảnh được quan sát có thể được phân tích bằng cách sử dụng các biểu đồ trong Hình 3. Biểu đồ đầu tiên (Hình 3, a) minh họa cách hình ảnh lấp đầy màn hình từ trên xuống dưới (vị trí của đường trong khung được vẽ dọc theo trục tọa độ, thời gian được vẽ dọc theo trục abscissa). Đường chấm chấm biểu thị đường đi ngược lại của chùm tia (chùm tia bị tắt tại thời điểm này). Đồ thị “khả năng hiển thị” của kính hiển vi (Hình 3, b) biểu thị các đoạn thẳng, phần trên tương ứng với vị trí “nhìn thấy được”, phần dưới tương ứng với vị trí “không nhìn thấy được”. Đồ thị thứ ba và thứ tư (Hình 3, c và 2) thu được bằng cách xếp chồng hai đồ thị đầu tiên với các độ lệch pha khác nhau giữa chúng. Họ giải thích tại sao chúng ta chỉ nhìn thấy (tất nhiên nếu tần số trùng nhau) chỉ một nửa màn hình.

Chỉ cần thay đổi một chút tần số quay của đĩa, phần kệ tối sẽ chạy lên hoặc xuống màn hình tùy theo ý muốn của chúng ta.

Cố gắng tự mình giải thích tần số nào kệ sẽ tăng lên và tần số nào nó sẽ giảm xuống. Hình ảnh sẽ trông như thế nào ở tần số stroscope 100 Hz? 150Hz? Tại sao một chiếc kệ tối chạy ngang qua màn hình TV, được quay trên phim? Tại sao đôi khi trên màn hình điện ảnh hoặc truyền hình có một chiếc ô tô đang lao về phía trước

Hình 2. Sơ đồ thí nghiệm với kính hiển vi “cổ điển”: 1 - màn hình mờ; 2 - đĩa quay có bộ phản hồi; 3 - động cơ vi điện; 4 — biến trở; Pin 5 đồng xu.

19

Hình 3.

Hình 4. Hình chỉ hiển thị 21 dòng, trên thực tế có 312,5 dòng trong nửa khung hình (và toàn bộ khung hình là 625) dòng.

Bánh xe di động có quay chậm lại không?

Hãy thử một thí nghiệm khác. Để làm điều này, bạn sẽ cần một sợi dây dài 0,3-0,5 m (bạn có thể sử dụng dây thun cho máy bay mô hình). Một sợi dây dao động được đặt thẳng đứng sẽ trông như thế nào trên nền màn hình TV?

Để dây ở vị trí cân bằng tại thời điểm nửa khung bắt đầu. Trong khi tia đi qua sợi dây, sợi dây sẽ di chuyển và gặp tia ở một vị trí mới. Ở dòng tiếp theo, “nơi gặp gỡ” sẽ lại thay đổi, v.v. Nếu chu kỳ dao động của dây là 20 m (tần số 50 Hz), thì trong thời gian này toàn bộ nửa khung được lấp đầy và dây sẽ trở về vị trí ban đầu sau khi hoàn thành một dao động hoàn toàn. Việc lặp lại tình huống này nhiều lần sẽ dẫn đến thực tế là tengь từ sợi dây mà chúng ta nhìn thấy trên nền màn hình TV sẽ có dạng hình sin (Hình 4).

Bạn sẽ thấy gì nếu tần số dao động của dây tăng gấp đôi? gấp ba? Bạn sẽ thấy gì nếu chuỗi được đặt chéo trên màn hình? theo chiều ngang? Hãy thực hiện các thí nghiệm này và cố gắng giải thích kết quả. Sau khi bạn đã có kinh nghiệm, hãy thử cho biết một ngón tay xoay quanh trục ngang của nó sẽ trông như thế nào trên nền màn hình. Kiểm tra ý tưởng của bạn bằng thực nghiệm.