Bài toán M681—M685; F693—F697

20

Bài toán

M681 — M685; F693 — F697

M681. a) Nghĩ ra các số nguyên $a, b, c, d$ sao cho các số $a^2+b^2, a^2+b^2+c^2, a^2+b^2+c^2+d^2$ là bình phương của các số nguyên.
b) Có một dãy gồm các bình phương của các số nguyên sao cho với bất kỳ $n$ nào thì tổng $n$ của các số hạng đầu tiên của nó bằng bình phương của số nguyên đó không?

G. Grigoriev

M682. Bên trong tam giác $\triangle$, bạn cần đặt tam giác $\triangle_1$ sao cho mỗi hình trong số ba hình vuông tạo trên các cạnh của tam giác $\triangle_1$ có ​​hai đỉnh nằm trên các cạnh khác nhau của tam giác $\triangle$ (Hình 1).
a) Chứng minh rằng các đường trung tuyến của tam giác $\triangle$ vuông góc với các cạnh của tam giác $\triangle_1$.
b) Có thể xây dựng như vậy đối với bất kỳ tam giác nhọn $\triangle$ nào không?

A. Yagubyants

M683. Một số vòng tròn có cùng kích thước được đặt trên bàn sao cho không có hai vòng tròn nào chồng lên nhau. Chứng minh rằng các đường tròn có thể khai triển thành bốn màu sao cho hai đường tròn tiếp xúc bất kỳ sẽ được sơn hai màu khác nhau. Tìm cách sắp xếp các vòng tròn trong đó ba màu là không đủ để tô màu như vậy.

G. Ringel

M684*. Cả hai chơi phiên bản sau của “trận chiến trên biển”. Một người chơi đặt lên bảng $n \times n$ một số lượng “tàu” không chồng chéo nhất định $n \times 1$ (có thể là không có). Người chơi thứ hai đồng thời tung ra một loạt đòn vào các ô vuông trên bàn cờ và nhận đáp số từ đối thủ cho mỗi ô vuông - đánh hoặc trượt. Phải tấn công số bãi ruộng tối thiểu nào để có thể xác định rõ ràng vị trí của tất cả các tàu của anh ta dựa trên phản ứng của kẻ thù? Xét ba trường hợp: a) $n=4, 6)$ $n=10$, c) $n$ là số tự nhiên bất kỳ.

E. Gik

21

M685*. Hai tập con của tập hợp số tự nhiên được gọi từ tập kia là digr bằng một số nguyên. (Ví dụ: tập hợp số và số lẻ là cấu trúc.) Có thể chia tập hợp số tự nhiên thành vô số cấu trúc vô hạn (rời rạc) không?

A. Fedorov

F693. Trên một nêm cố định tạo thành một góc α với đường chân trời, có một sợi dây không căng, không kéo (Hình 2). Một đầu của sợi dây được cố định tại điểm A. Một vật nặng nhỏ được gắn vào đầu dưới của sợi dây (tại điểm B). Tại một thời điểm nào đó, cái nêm bắt đầu chuyển động sang phải với gia tốc a không đổi. Khi ở trên nêm, vật nặng chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu?

S. Krotov

F694. N quả bóng giống hệt nhau chuyển động dọc theo một máng thẳng dài nghiêng một góc α so với phương ngang mà không ma sát. Số va chạm tối đa có thể xảy ra trong hệ tại các vị trí và vận tốc ban đầu tùy ý của các quả bóng là bao nhiêu? Sự va chạm của các quả bóng được coi là đàn hồi tuyệt đối.

E. Surkov

F695. Trong mô hình đơn giản nhất, một ngôi sao được coi là một quả cầu khí ở trạng thái cân bằng trong trường hấp dẫn của chính nó. Giả sử rằng khí bao gồm các nguyên tử hydro và gel được truyền hoàn toàn, hãy ước tính nhiệt độ của ngôi sao. Khối lượng sao M, bán kính r; hàm lượng tương đối của hydro trong khí là n.

V. Tugushchev

F696. Vôn kế điện dung là một tụ điện không khí phẳng, một trong các bản của nó được cố định bất động và bản thứ hai có thể chuyển động tịnh tiến theo hướng vuông góc với mặt phẳng của các bản. Một lò xo tăng cứng k được gắn vào tấm di động (Hình 3). Thước đo điện áp đặt vào là sự thay đổi khe hở giữa các bản. Điện áp tối đa có thể thay đổi được với một thiết bị như vậy là bao nhiêu? Diện tích các tấm S, khoảng cách giữa các tấm khi ứng suất bằng 0 d.

D. Pavlov

F697. Giữa hai môi trường có chiết suất n₀ > 1 và n₁ = 1 có một lớp không đồng nhất có chiều cao h = H (1 - 1/n₀²), trong đó H = const, trong đó chiết suất thay đổi theo độ cao theo định luật n = √1 - x/H n₀ (Hình 4). Từ môi trường có chiết suất n₀ đến môi trường không đồng nhất