Dễ dàng lời giải của một vấn đề khó khăn

16

Dễ dàng lời giải của một vấn đề khó khăn

Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học người Anh J. Sylvester đã đặt ra các vấn đề sau:

Giả sử $S$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không phải tất cả các điểm của nó đều nằm trên cùng một đường thẳng. Có nhất thiết phải có một đường thẳng mà trên đó tập $S$ là tập Lyatrian có hai điểm không?

Trong hơn bốn mươi năm, vấn đề của Sylvester vẫn chưa được giải quyết và khi đó nó được coi là một nhiệm vụ rất khó khăn. Nhưng đột nhiên vấn đề tiếp theo nảy sinh - một ý tưởng.

Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường có thể có thông qua các cặp điểm của tập hợp $S$ (có lẽ một số trong chúng chứa nhiều hơn hai điểm). Chúng ta hãy xem xét tất cả các khoảng cách có thể có từ tập hợp điểm $S$ đến các đường đã vẽ. Có một số lượng hữu hạn trong số họ. Đặt $r$ là khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách này ($r > 0$). Hãy lấy điểm đó $P$ và đường thẳng đó $l$, khoảng cách giữa chúng là $r$. Hãy chứng minh rằng có hai điểm nằm trên đường thẳng $l$ và tập hợp $S$.

Giả sử có ba điểm trở lên của tập hợp $S$ trên đó. Chúng ta hãy hạ hình chữ nhật từ điểm $P$ xuống dòng $l$; hãy để $A$ là cơ sở của sự phân phối lại này (xem hình). Dễ dàng nhận thấy điều đó $A \notin S$. Điều này có nghĩa là trên đường $l$, ít nhất ở một phía của điểm $A$, có ít nhất hai điểm thuộc tập hợp $S$; chúng tôi biểu thị hai trong số chúng bằng $X$ và $Y$ và đặt $X$ nằm gần $A$ hơn $Y$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm $P$ và $Y$. Rõ ràng, khoảng cách từ điểm $X$ đến đường thẳng này nhỏ hơn khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $l$, điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn $P$ và $l$.

Do đó, đường $l$ chỉ chứa hai điểm, tập hợp $S$.

Hình 4 cho thấy một “dấu hoa thị” tương ứng với hình ngũ giác. Trên trang thứ hai của bìa tạp chí có một “dấu hoa thị” tương ứng với một hình vuông. Những ai muốn có thể vẽ một “ngôi sao” tương ứng với một đa giác đều khác và điểm $O$ không nhất thiết phải là đỉnh trên phân giác của góc. Các đường cong thu được cũng sẽ là những mảnh của con ốc Pascal, nhưng “răng” của nó sẽ không còn đối xứng nữa.

Kết luận từ các biên tập viên

Vì vậy, A. Babichev đã giải được một phần bài toán Kolmogorov. Tuy nhiên, lời giải của anh ấy đặt ra một câu hỏi mới: có hình lồi nào ngoài hình tròn thỏa mãn điều kiện bài toán không? (Những con số mà A. Babichev nhận được đều nhỏ.) Chúng tôi đang chờ thư của bạn.

Dễ dàng lời giải của một vấn đề khó khăn

Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học người Anh J. Sylvester đã đặt ra các vấn đề sau:

Giả sử $S$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không phải tất cả các điểm của nó đều nằm trên cùng một đường thẳng. Có nhất thiết phải có một đường thẳng mà trên đó tập $S$ là tập Lyatrian có hai điểm không?

Trong hơn bốn mươi năm, vấn đề của Sylvester vẫn chưa được giải quyết và khi đó nó được coi là một nhiệm vụ khó khăn. Nhưng đột nhiên vấn đề tiếp theo nảy sinh - một ý tưởng.

Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường có thể có thông qua các cặp điểm của tập hợp $S$ (có lẽ một số trong chúng chứa nhiều hơn hai điểm). Chúng ta hãy xem xét tất cả các khoảng cách có thể có từ tập hợp điểm $S$ đến các đường đã vẽ. Có một số lượng hữu hạn trong số họ. Đặt $r$ là khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách này ($r > 0$). Hãy lấy điểm đó $P$ và đường thẳng đó $l$, khoảng cách giữa chúng là $r$. Hãy chứng minh rằng có hai điểm nằm trên đường thẳng $l$ và tập hợp $S$.

Giả sử có ba điểm trở lên của tập hợp $S$ trên đó. Chúng ta hãy hạ hình chữ nhật từ điểm $P$ xuống dòng $l$; hãy để $A$ là cơ sở của sự phân phối lại này (xem hình). Dễ dàng nhận thấy điều đó $A \notin S$. Điều này có nghĩa là trên đường $l$, ít nhất ở một phía của điểm $A$, có ít nhất hai điểm thuộc tập hợp $S$; chúng tôi biểu thị hai trong số chúng bằng $X$ và $Y$ và đặt $X$ nằm gần $A$ hơn $Y$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm $P$ và $Y$. Rõ ràng, khoảng cách từ điểm $X$ đến đường thẳng này nhỏ hơn khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $l$, điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn $P$ và $l$.

Do đó, đường $l$ chỉ chứa hai điểm, tập hợp $S$.

bìa của chúng tôi

Bề mặt có hình dạng kỳ lạ được vẽ trên trang đầu tiên của trang bìa được tạo ra bằng cách sử dụng một kỹ thuật đã được mô tả trên các trang tạp chí của chúng tôi («Kvant», 1980, No. 10, p. 62): các vế trái của phương trình ba elip.

Máy tính ES-1030, thực hiện vẽ theo phương trình, cho thấy hai họ đường thẳng trên bề mặt: chúng bị cắt bởi các mặt phẳng nằm cách các khoảng song song với các mặt phẳng tọa độ $Oxz$ và $Oyz$. Máy sơn các phần bề mặt tạo thành theo hình bàn cờ.

Máy coi bề mặt mờ đục. Do đó, trong hình, chúng ta thấy “phần bên ngoài” của bề mặt. Hãy nghĩ xem - “bên trong” cô ấy là gì?