Bài toán

33

Bài tập

1. Giải mã ví dụ số học trong hình. Ở đây, các chữ cái khác nhau tương ứng với các số khác nhau, các chữ cái giống nhau tương ứng với các số giống nhau và về chữ A người ta biết rằng số chẵn tương ứng với nó.

2. Tìm mười số tự nhiên liên tiếp, trong đó a) không có một số nguyên tố nào; b) đúng một số nguyên tố; c) hai số nguyên tố; d) ba số nguyên tố; d) bốn số nguyên tố.
   Trong mười số tự nhiên liên tiếp có thể có bao nhiêu số nguyên tố?

3. Trên mặt phẳng, xung quanh các điểm A và B, hai thanh quay cùng chiều và thanh AA₁ quay chậm gấp đôi thanh BB₁ và tại thời điểm ban đầu ABB₁=90° và BAA₁=45°. Tại điểm M của giao điểm của các thanh này, một vòng được đặt trên chúng. Chứng minh rằng chiếc nhẫn sẽ chuyển động dọc theo một cung tròn có tâm tại điểm B. Tìm bán kính của đường tròn này.

4. Trong các vòng tròn của hình minh họa, đặt các số từ 1 đến 19 sao cho tổng các số nằm trong các vòng tròn tại các đỉnh của tất cả các hình lục giác đều (có chín hình lục giác đều!) không đổi.

5. Ở mỗi hàng trong số ba hàng ngang (xem hình), di chuyển một kim đan sao cho tất cả sáu điểm bằng (dọc và ngang) đều đúng.

Những nhiệm vụ này do N. Avilov, N. Antonovich, N. Mikhailenko, S. Savastok đề xuất cho chúng tôi.

35

của tam giác (các đường phân giác và đường vuông góc này chia đôi các cung của đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh được chỉ định và không chứa đỉnh $A$ - xem Hình 2).

Việc hoàn thiện việc xây dựng bây giờ thật dễ dàng. Chúng ta vẽ đường vuông góc qua điểm $M$ với đường thẳng $l$ và tiếp tục vẽ đường phân giác $AK$ cho đến khi nó cắt nó tại điểm $D$ (Hình 3). Vì vậy, các điểm $A$ và $D$ nằm trên một vòng tròn ngoại tiếp tam giác mong muốn và tâm của nó $O$ rõ ràng nằm trên đường thẳng $MD$. - đường trung tuyến vuông góc với một trong các dây cung của nó và tại đường trung tuyến vuông góc với đoạn $AD$, cũng là một trong các dây cung của nó. Bằng cách xây dựng điểm $O$ làm giao điểm của các đường được chỉ định, chúng ta có thể kiểm tra đường tròn ngoại tiếp xung quanh tam giác mong muốn, vì chúng ta biết tâm $O$ và bán kính $|OA|$ của nó. Các điểm $B$ và $C$ giao điểm của đường tròn này với đường thẳng $l$ cho ra các đỉnh còn thiếu $B$ và $C$ của tam giác mong muốn.

Nghệ thuật dựng hình hình học bằng compa và thước kẻ rất phát triển ở Hy Lạp cổ đại. Tuy nhiên, một trong những bài toán khó xây dựng nhất mà sau đó họ có thể thực hiện là bài toán dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đã cho. bài toán này được gọi là bài toán Apollonius theo tên nhà hình học xuất sắc người Hy Lạp Apollonius của Perga (khoảng năm 260-170 trước Công nguyên).

Tuy nhiên, nhà hình học Hy Lạp cổ đại đã thất bại trong việc thực hiện một số công trình xây dựng bằng thước thẳng và thước kẻ, và các công trình được tạo ra bằng các công cụ khác không được coi là hình học. Các công trình xây dựng như vậy bao gồm việc xây dựng một hình vuông có kích thước bằng một hình tròn cho trước (“vuông góc của hình tròn”); chia một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau (“chia ba góc”) và dựng các cạnh của hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương đã cho (“nhân đôi hình lập phương”).

Ba bài toán quan trọng này đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học xuất sắc trong nhiều thế kỷ, nhưng lời giải cuối cùng chỉ nhận được vào giữa thế kỷ trước, khi tính không thể giải được của chúng đã được chứng minh, tức là những công trình này không thể thực hiện được chỉ với sự trợ giúp của la bàn và thước kẻ. Những kết quả này đạt được không phải bằng hình học mà bằng đại số, một lần nữa nhấn mạnh tính thống nhất của toán học.

Một nhiệm vụ xây dựng thú vị khác bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ là bài toán dựng một đa giác đều với số cạnh cho trước. Người Hy Lạp cổ đại đã biết cách xây dựng một hình tam giác đều, hình vuông, hình ngũ giác đều và hình tam giác mười lăm cạnh, cũng như tất cả các đa giác thu được từ chúng bằng cách nhân đôi số cạnh - và chỉ chúng.

Một bước tiến mới trong lĩnh vực này chỉ được thực hiện vào năm 1801 bởi nhà toán học vĩ đại người Đức K. F. Gauss. Ông chỉ ra phương pháp dựng compa và thước cho 17 giác đều và tất cả ý nghĩa $n$, mà việc xây dựng một cách chính xác $n$-góc, có thể sử dụng các phương tiện được chỉ định. Những đa giác này hóa ra chỉ là những đa giác đó

36

các ký hiệu trong đó số cạnh là số nguyên tố Fermat*) hoặc tích của một số số nguyên tố Fermat khác nhau, cũng như các số thu được từ chúng bằng cách nhân đôi số cạnh. Như vậy, việc không thể dựng được các hình bảy cạnh, chín cạnh, mười cạnh và mười ba cạnh đều đặn bằng compa và thước đã được chứng minh.

Lý thuyết xây dựng bằng la bàn và thước kẻ được phát triển rộng rãi vào cuối thế kỷ 19. Ví dụ, người ta đã chỉ ra rằng bất kỳ công trình nào được thực hiện bằng la bàn và thước đều có thể được thực hiện chỉ bằng một thước, nếu một vòng tròn nhất định được chỉ định trong mặt phẳng xây dựng và tâm của nó được chỉ định.

Tất cả những nghiên cứu này đã đóng góp rất lớn cho sự phát triển của toán học. Tuy nhiên, trong các công trình thực tế, không có gì giới hạn chúng ta về bộ công cụ. Đối với các công trình lớn, thước kẻ có vạch chia và thước đo góc là đủ.

Một số phương pháp xây dựng gần đúng khá thú vị. Ví dụ: thu được một hình tròn vuông gần đúng nếu cạnh của hình vuông được coi là dây cung đi qua điểm cuối của một trong các đường kính của hình tròn và tâm của bán kính vuông góc với nó (Hình 4). Cách xây dựng này tương ứng với giá trị π=3,2.

Phương pháp chia gần đúng một góc bằng compa và thước

do độc giả A. Padalko của chúng tôi đề xuất. Đây là phương pháp của anh ấy: “Để chia một góc có đỉnh O₁ (xem Hình 5), chúng ta mô tả một người bạn AmB có tâm O₁ có bán kính tùy ý và vẽ dây cung AB; gọi O là điểm giữa của nó. Với bán kính bằng |AO|, chúng ta mô tả AnB thu được có tâm O. Từ điểm B, chúng ta tạo thành hình chữ V có bán kính |AO|; dễ dàng thấy rằng BC = \frac{AmB}{3}. Sau đó, chúng ta tìm được một điểm D sao cho |BD| = \frac{|AB|}{3}. Bằng cách nối các điểm C và D và từ điểm giữa của đoạn CD, chúng ta khôi phục vuông góc với [CD]. Gọi Y là giao điểm của đường vuông góc này với đoạn tiếp tục [AB] bán kính |DY| vẽ từ Y bạn; gọi X là giao điểm của cung này với một AmB khác.

Chúng tôi đã có được ước tính về độ chính xác của việc xây dựng này từ máy tính. Máy cho kết quả như sau: độ chính xác của kết cấu ít nhất là 0,1°, kết quả tệ nhất là ở góc khoảng 78°, sai số tương đối, tức là tỷ lệ giữa độ lệch so với chính góc đó, không vượt quá 0,01 và tối đa là ở góc khoảng 158°.