Bài toán M686—M690; F698—F702

31

Bài toán

M686—M690; F698—F702

M686. Với mọi số $x \geqslant 1$ đẳng thức có đúng không?
$$[\sqrt{x}] = [\sqrt{\sqrt{x}}]?$$
(Ở đây $[y]$ biểu thị phần nguyên của số $y$.)
V. Prasolov

M687. a) Ở dạng cơ bản chín hạt, tất cả 9 gân bên và tất cả 27 đường chéo của đế đều có màu: một số màu đỏ, số còn lại màu xanh. Chứng minh rằng có ba đỉnh của một hình gốc làm ba đỉnh của một tam giác có tất cả các cạnh được tô cùng một màu.
6) Tuyên bố tương tự có đúng với hình bát giác nguyên thủy không?

H. Nenov (Bulgaria)

M688. Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Chứng minh rằng một trong các biểu thức
$$a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n$$
bằng không.
S. Nenashev

M689*. Chứng minh rằng không thể tạo thành một hình chữ nhật từ những viên gạch giống hệt nhau có dạng hình thang đều có cạnh 3 cm, 1 cm và chiều cao 1 cm.
S. Rukshin

M690*. a) Bên trong một đa giác lồi có diện tích $S_1$ và chu vi $P_1$ có một đa giác lồi có diện tích $S_2$ và chu vi $P_2$. Chứng minh bất đẳng thức
$$2 \frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Lập và chứng minh mệnh đề tương tự cho đa giác lồi.
A. Kelarov

F698. Theo quyết định nào đó, các bộ phận được di chuyển bằng hai băng tải, các dây đai của chúng di chuyển theo hướng vuông góc với nhau.

32

các hướng có cùng giá trị tuyệt đối của tốc độ $v_0$ (Hình 1). Trong trường hợp này, bộ phận gọi thiết bị vận chuyển II dừng ở giữa băng tải. Tốc độ của phương tiện vận chuyển II đã tăng $n$ lần. Cần thay đổi tốc độ của băng tải I như thế nào để các bộ phận vẫn dừng ở giữa băng tải II? Bỏ qua kích thước của các bộ phận; giả định rằng quá trình chuyển đổi sang chất vận chuyển II xảy ra mà không có tác động.

A. Omelyanchik

F699. Một mao quản cong có bán kính $r$ (Hình 2), chứa đầy chất lỏng, quay quanh trục thẳng đứng $OO'$. Với tốc độ góc quay bằng bao nhiêu thì chất lỏng bắt đầu chảy ra khỏi mao quản? Mật độ chất lỏng $q$, sức căng bề mặt $\sigma$, chất lỏng làm ướt hoàn toàn thủ đô; Kích thước của thủ đô được thể hiện trong Hình 2.

A. Buzdin

F700. Có hai dây dẫn $A$ và $B$ có ​​hình dạng tùy ý. Ban đầu, dây dẫn $A$ có điện tích $Q$, nhưng dây dẫn $B$ không được tích điện. Các dây dẫn được tiếp xúc (Hình 3) và điện tích $q$ chảy vào dây dẫn $B$. Một điện tích bổ sung $q_x$ được truyền vào dây dẫn tiếp xúc và kết quả là một điện tích $q$ xuất hiện trên dây dẫn $A$. Xác định điện tích $q_x$.

S. Krotov

F701. Hình 4 cho thấy sự phân bố nhiệt độ dọc theo một thanh mỏng, đồng nhất, cách nhiệt tại một thời điểm nhất định. Sự phân bố nhiệt độ sẽ thay đổi như thế nào trong tương lai? Sự phân phối nào sẽ được thiết lập sau một thời gian đủ dài?

O. Savigan

F702. Hai hệ, mỗi hệ gồm hai khối lượng giống hệt nhau $m$, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$, chuyển động dọc theo một bề mặt nằm ngang nhẵn về phía nhau với cùng tốc độ $v_0$. Tại một thời điểm nào đó, khoảng cách giữa các hệ thống là $L$ (Hình 5). Xác định thời gian sau đó khoảng cách giữa các khối lượng giống nhau lại bằng $L$. Va chạm của hệ được coi là đàn hồi tuyệt đối.

V. Mozhaev