Học viện sư phạm bang Kyiv được đặt theo tên. A. M. Gorky

52

5. Tính giới hạn
   $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 - x - 3}{2x^2 + 5x + 3}.$$

V. Popov, S. Sadikhov

Học viện sư phạm bang Kyiv được đặt theo tên. A. M. Gorky

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1
(chuyên ngành “toán học” của Khoa Vật lý và Toán học)

1. Một hình nón được nội tiếp trong một hình tam giác đều, đường sinh của nó nghiêng với mặt phẳng đáy một góc α. Tìm thể tích của paramid này nếu cạnh bên bằng b.
2. Giải bất đẳng thức
   $$\lg (x - 1) + \lg (x - 2) < \lg 6.$$
3. Giải phương trình
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$
4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
   $$y = (2 - x)(x + 2).$$

Tùy chọn 2
(chuyên ngành “Vật lý và Thiên văn học” của Khoa Vật lý và Toán học)

1. Trong một hình nón cụt, các đường chéo của tiết diện trục vuông góc với nhau và đường sinh tạo thành một góc α với mặt phẳng của đáy lớn và bằng l. Xác định diện tích bề mặt và thể tích của hình nón cụt.
2. Xác định diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 3x - x³, y = 0.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 > 0.$$
4. Giải phương trình
   $$2 \cos^2 x + \sin^2 2x = 1 + \cos^2 2x.$$

Tùy chọn 3
(Khoa Hóa học tổng hợp)

1. Trong một paramid cụt hình tam giác đều, các cạnh của đáy dưới và đáy tương ứng bằng a và b (a > b), hai góc y của cạnh đáy dưới bằng α. Xác định thể tích của paramid bị cắt cụt và diện tích bề mặt của nó.
2. Giải phương trình
   $$\text{ctg} x = \cos x.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2x^2 - 3x - 459}{x^2 + 1} > 1.$$
4. Tính giới hạn
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n - 3)(n + 5)}{2n^2 + 3n - 2}.$$

Bài thi vấn đáp

1. Giải phương trình
   a) $$\frac{\log_5 (2x + 3)}{1 - \log_5 (2x + 3)} + \frac{3}{5 - \log_5 (2x + 3)} = 0;$$
   b) $$\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = -\frac{1}{8}.$$
2. Giải bất đẳng thức
   a) $$\log_2 (2 + x) < 1;$$
   b) $$\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{1}{2};$$
   b) $$2x^2 - 5|x| + 3 \geq 0.$$
3. Tìm giới hạn
   a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + \ldots + \frac{n}{2}}{n^2 + n + 3};$$
   b) $$\lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \frac{\cos 4x}{\sin 2x - \cos 2x}.$$
4. Khám phá chức năng
   a) $$y = \frac{3}{2} \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + 1;$$
   b) $$y = \frac{x^2}{x^2 + 3}$$

và âm mưu nó.
5. Tìm miền xác định của hàm
$$y = \log_2 \sin x.$$
6. Tính diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x² + 1 và các tiếp tuyến vẽ đồ thị này tại các điểm có hoành độ x = 0 và x = 2.
7. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x² - 4x tại các giao điểm của đồ thị này với trục x.
8. Tính $$\int_0^\pi \sin x \cdot \cos 3x \, dx.$$
9. Tính ctg $$\frac{\alpha}{2},$$ nếu $$\sin \alpha = -\frac{3}{5}.$$
10. Cái nào lớn hơn, sin 1980° hay cos 1980°?
11. Đặt công thức cho hàm nghịch đảo của hàm
$$y = \frac{1}{2} (3x - 3).$$
12. Số thực dương a nào khi tính tổng với nghịch đảo $$\frac{1}{a}$$ của nó sẽ tạo ra tổng nhỏ nhất?
13. Nước biển chứa 5% ánh nắng mặt trời. Phải thêm bao nhiêu kg nước vào 80 kg nước biển để hàm lượng muối trong đó là 4%?
14. Tổng của số hạng thứ nhất và thứ năm của chương trình số học là 26, tích của số hạng thứ hai và thứ tư là 160. Tìm tổng của sáu số hạng của chương trình.

Vật lý
Phiếu thi vấn đáp các khoa khoa học

1. Lực đàn hồi. định luật Hooke.
2. Rung động điện từ. Mạch dao động. Chuyển đổi năng lượng thành bánh xe