Pentominoes trên mặt phẳng và trong không gian

38

S. Tavridov

ngũ cốc
trên máy bay
và trong không gian

Pentomino là một hình là một đa giác được tạo thành từ năm hình vuông giống hệt nhau *); Bộ sưu tập đầy đủ các pentominoes được hiển thị trong hình trước tiêu đề. Tất nhiên, trong tất cả các bài toán được thảo luận dưới đây, các pentomino có thể nghịch đảo.

Pentominoes tạo ra những câu đố tuyệt vời. Vì vậy, từ mười hai pentomino bạn có thể tạo thành một hình chữ nhật $4 \times 15$, $5 \times 12$, $6 \times 10$,

*) Những đa giác như vậy, không chỉ bao gồm năm hình vuông, mà còn gồm một, hai, ba, bốn, sáu, v.v., đã được nhà toán học người Mỹ S. V. Golom b. đưa vào sử dụng toán học. Ông đề xuất một cái tên chung cho chúng - polyominoes. Bạn có thể đọc về họ trong cuốn sách “Polimino” (M., “Mir”, 1975) của ông. Xem thêm «Kvant», 1977, số 2, 3 tr. bìa và 1979, số 11, tr. 22.

và cái sau - 2389 về cơ bản là khác nhau (hai lời giải, tạo ra từ nhau bằng cách quay hoặc phản xạ, được coi là giống nhau); Tất nhiên, 2389 lời giải này đã giúp tìm ra một chiếc máy tính. Nhưng hình chữ nhật $3 \times 20$ của mười hai pentomino chỉ có thể được gấp lại theo hai cách khác nhau; sẽ tìm thấy chúng. Và hai hình chữ nhật $5 \times 6$ có thể được gấp lại để bạn có được hình chữ nhật $5 \times 12$ hoặc $6 \times 10$ (hãy xem thử!).

Một bàn cờ thông thường với bốn ô vuông mở cũng có thể được làm từ các quân pentomino theo nhiều cách. Bảng mạch “chưa hoàn thiện” này trông khá trang nhã (ba phương án lắp ráp được hiển thị trong Hình 1).

Nhưng hình được mô tả trong Hình 2 không thể được gấp lại từ các pentomino: ở các cạnh, nó bị giới hạn bởi 22 ô vuông và nếu bạn đếm xem có bao nhiêu ô vuông của mỗi pentomino có thể nằm trên cạnh của hình này, thì tổng số của tất cả các pentomino sẽ là 21. Các hình trong Hình 3 không thể được gấp lại từ các pentomino, tuy nhiên, một bằng chứng ngắn gọn và tao nhã về thực tế này vẫn chưa được tìm thấy.

39

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng các pentomino có thể được uốn cong dọc theo các cạnh của hình vuông. Sau đó, bằng cách sử dụng tất cả các pentomino, bạn có thể dán lên bề mặt của hình như trong Hình 4. Tất nhiên, bạn sẽ phải vận dụng trí tưởng tượng của mình và sáng tạo. Trước tiên, bạn có thể xây dựng một mạng lưới của hình và lấp đầy nó bằng các pentomino. Nhưng chúng tôi nghĩ phương pháp sau sẽ thành công hơn.

Hãy nhìn vào Hình 4. Trong tầm nhìn của chúng ta có các hình vuông phía trước, trên và bên phải của bề mặt hình của chúng ta. Hãy loại bỏ các hình vuông này và vẽ phần còn lại của bề mặt, tức là các hình vuông phía sau, phía dưới và bên trái (Hình 5). Bây giờ, sau khi đã chỉ định mỗi pentomino bằng ký hiệu riêng của nó, chúng ta viết lên mỗi ô vuông gót của bề mặt ký hiệu tương ứng với pentomino đã cho.

Một trong những loại dán có thể có cho hình trong Hình 4 được hiển thị trong Hình 6.

Các pentomino “linh hoạt” có thể được sử dụng để bao phủ một số lượng lớn các khối đa diện có bề mặt 60 hình vuông. Hãy thử nghĩ ra những khối đa diện như vậy. Điều kỳ lạ là những cái ở giữa không có một đường thẳng song song nào. Chúng tôi đang chờ đề xuất của bạn - chúng tôi sẽ xuất bản những đề xuất tốt nhất trong số đó.

Như vừa nói, một hình song song không thể đều là ngũ giác. Nhưng hai hình bình hành giống hệt nhau 1×3×3 (trên bề mặt của mỗi hình có 30 hình vuông) có thể được dán lên trên như thế này. Bạn cũng có thể bao gồm sáu hình bình hành 1×1×2. Làm đi! Cố gắng liệt kê tất cả các bộ hình bình hành (không nhất thiết phải giống hệt nhau) có thể được dán lên bằng một bộ ngũ giác. (Tất nhiên, số lượng hình vuông trên bề mặt của mỗi hình bình hành đó phải là bội số của một gót chân.)

Cuối cùng, phủ hai khối đa diện “hình chữ thập” giống hệt nhau như trong Hình 7 bằng một bộ ngũ giác.