Quà tặng hình học

40

V. Ryzhik

Quà tặng hình học

Fedya và Vasya không hề bị dày vò bởi câu hỏi: “Tặng gì cho nhau nhân ngày sinh nhật?” Mỗi người trong số họ đưa cho người kia một bài toán hoặc một định lý mà anh ta đã phát minh ra - một thứ gì đó từ toán học. Sinh nhật của Vasya đang đến gần.

“Bạn có nhớ không,” Fedya hỏi Vasya, như thể tình cờ, “làm thế nào để thực hiện việc chuyển từ điểm này sang máy bay?”

Vasya bắt đầu di chuyển cây bút chì của mình dọc theo tờ giấy. Anh đi được chừng năm phút rồi thở dài:

• Không, tôi không nhớ.
  “Bạn không đơn độc,” Fedya thông cảm.

(Bạn đọc hãy cố gắng thực hiện việc xây dựng này một cách nhanh chóng và chính xác.)

“Ồ, vậy hãy xem tôi đã tìm ra điều gì,” Fedya tiếp tục. — Lấy mặt phẳng α và điểm A ở bên ngoài mặt phẳng đó. Trên mặt phẳng α ta vẽ đường thẳng a - bất kỳ. Từ điểm A ta thực hiện phân phối lại AB thành đường thẳng a. Trong mặt phẳng α vẽ đường thẳng BC, xác định lại đường thẳng a. Từ điểm A chúng ta thực hiện chuyển hướng AD sang đường thẳng BC (xem hình). Tất cả.

• “Mọi thứ” là gì? - Vasya rất ngạc nhiên.
• Thực ra là tất cả. Việc chuyển từ điểm A sang mặt phẳng α được xây dựng.
• Và bằng chứng? - Vasya hỏi.
• Vui lòng. Chúng ta hãy vẽ qua điểm D bất kỳ đường thẳng nào cắt đường a; Gọi giao điểm là K. Vẽ một đoạn khác là AK. Từ các tam giác vuông ADB và ABK ta có

$$|AK|^2 = |AB|^2 + |BK|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 + |BK|^2.$$

Từ tam giác vuông KBD -

$$|BD|^2 + |BK|^2 = |KD|^2.$$

Điều này có nghĩa là $$|AK|^2 = |AD|^2 + |KD|^2.$$ Nhưng khi đó góc D trong tam giác ADK là đường thẳng, tức là (AD) ⊥ (DK). Đường thẳng AD được phân phối lại theo hai số đo bởi một đường thẳng trong mặt phẳng α. - BC và KD; theo tính chất đệ quy của đường thẳng và mặt phẳng thì là đường cong đệ quy của mặt phẳng α. Vâng, làm thế nào?

“Tôi thích nó,” Vasya nói. - Điều chính, tôi đã học thuộc lòng, là đội hình. Một lần quá tải, lần thứ hai và lần thứ ba. “Anh ấy vẫy ngón tay trong không khí, giả vờ gắng sức quá mức.

“Và bằng chứng rất rõ ràng,” anh tiếp tục. - Từ ba tam giác vuông suy ra tam giác thứ tư cũng là tam giác vuông.

“Bạn nói đúng,” Fedya xác nhận. — Nhân tiện, từ cùng những tam giác này, người ta có thể chứng minh định lý về ba phép phân phối lại. Đây là một phong bì dành cho bạn: nó chứa cả cấu trúc và bằng chứng.

Đến đây giọng nói của anh có chút trang trọng.

• Chiếc phong bì này là quà sinh nhật của tôi. Nhân tiện, vẫn còn điều gì đó phải suy nghĩ.

Vài ngày sau Vasya đến Fedya.