Khách mời của chúng ta là một đài phát thanh toán học

39

Khách mời của chúng ta là một đài phát thanh toán học

S. L. TABACHNIKOV

Hôm nay Giáo sư Scema và những người chủ đất cố định của ông: cậu bé Alpha và cô gái Beta đang đến thăm “Quait”. Họ là những người tham gia chương trình phát thanh “Vòng tròn phát thanh toán học của Scema”. Các lớp học của câu lạc bộ phát thanh phi giáo dục này sẽ được tổ chức mỗi tháng một lần vào thứ Tư lúc 16-00 theo chương trình phát thanh có trọng lượng đầu tiên. Và bây giờ Giáo sư Scema, Alpha và Beta sẽ giới thiệu với độc giả của “Quait” về chủ đề của một trong các lớp trong vòng tròn vô tuyến toán học của họ.

Sigma. Chúng ta sẽ bắt đầu với bài toán từ Im lặng dành cho học sinh tiểu học (số 1, 1981): Liên Xô có dân số 260 triệu người. Có vẻ như trên bản đồ của Liên Xô với tỷ lệ 1:1.000.000 (10 km trong một centimet), số người có thể chứa ít hơn một triệu lần so với toàn bộ lãnh thổ đất nước, tức là có thể chứa được 260 người. Tuy nhiên, từ kinh nghiệm, chúng tôi biết rằng ngay cả mười người cũng không thể làm được điều này một cách dễ dàng. Tại sao?

Alpha. Vâng, tôi đã quyết định điều này bài toán ngay lập tức! Rốt cuộc, con người sống trong những tòa nhà nhiều tầng, điều đó có nghĩa là trên một đơn vị bề mặt trái đất không phải có một mà là nhiều người.

Beta. Nhưng theo tôi, Alpha, bạn đã nhầm. Lấy ví dụ, một tòa nhà đông dân cư như một tòa nhà trường học. Vào ngày đầu tiên của tháng 9, mọi người trong tòa nhà này sẽ ra sân để tham dự buổi lễ khai giảng năm học. Ngoài ra, cư dân của những ngôi nhà khác có thể ở trong sân và trên đường phố - họ thậm chí sẽ không có bóng râm. Và vẫn sẽ có thảo nguyên, sa mạc và lãnh nguyên!

Sigma. Beta nói đúng. Bạn, Alpha, sẽ phải tìm một lời giải thích khác. Trong lúc chờ đợi, tôi sẽ thử so sánh diện tích các hình vuông ở cạnh 2 và 1.

Alpha. Tất nhiên, diện tích của cái thứ nhất sẽ lớn gấp bốn lần diện tích của cái thứ hai. Nói chung, khi kích thước của bất kỳ hình nào giảm N lần thì diện tích của nó giảm N2 lần. Không phải vô cớ mà diện tích thay đổi theo đơn vị vuông!

40

Beta. Bây giờ mọi thứ đã rõ ràng! Con người chiếm một phần diện tích nhất định trên Trái đất. Khi được mô tả trên bản đồ với tỷ lệ 1:1.000.000, diện tích của tất cả các hình đều giảm $(1\ 000\ 000)^2$ lần, tức là $10^{12}$ lần. Chính bằng con số này, chứ không phải bằng một triệu, mà các quốc gia đông dân nên bị chia cắt. Trong trường hợp này, bạn nhận được khoảng một phần tư nghìn người và không có nghịch lý nào xảy ra.

Sigma. Tốt lắm các bạn, các bạn đã hiểu ra rồi. Tôi chỉ cần nói thêm rằng tại lời giải bài toán bạn đã sử dụng cái gọi là thông báo tương tự. Chủ đề của bài học của chúng tôi chính xác là những thông điệp tương tự.

Bây giờ hãy giải một câu khác bài toán. Bắn được đổ vào hai thùng giống hệt nhau chứa đầy nước: bắn thô vào thùng thứ nhất và bắn mịn vào thùng thứ hai. Đổ càng nhiều đạn càng tốt vào mỗi thùng. Xô nào tạo ra nhiều nước hơn?

Alpha. Chà, tất nhiên, từ cái thứ hai, họ đổ một viên nhỏ vào đó!

Beta. Vậy thì sao?

Alpha. Vì phát bắn nhỏ nên khoảng cách giữa các khẩu súng ngắn riêng lẻ sẽ nhỏ. Do đó, các phân số nhỏ sẽ lắng đọng dày đặc hơn.

Beta. Mặc dù khoảng cách giữa các khẩu súng ngắn lớn là lớn nhưng khoảng cách giữa chúng sẽ nhỏ hơn. Vì vậy, vẫn chưa biết phần nào sẽ lắng đọng dày đặc hơn: nhỏ hay lớn.

Sigma. Thật vậy, bạn cần tìm ra phần nào sẽ lắng đọng dày đặc hơn: nhỏ hay lớn. Giả sử để đơn giản, tỷ lệ đường kính viên là hai. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào thùng ảnh nhỏ được chụp qua ống nhòm với độ phóng đại gấp 2 lần. Chúng ta sẽ thấy gì?

Alpha. Chúng ta sẽ thấy một cái xô chứa đầy những cú đánh lớn. Khi tăng gấp đôi, cả thể tích của thùng và thể tích của từng phần sẽ tăng theo hệ số 8 $(8=2^3)$, nhưng tỷ lệ của chúng không thay đổi. Điều này có nghĩa là mật độ của phân số nhỏ và lớn sẽ giống nhau.

Beta. Hóa ra cùng một lượng nước sẽ được lấy ra khỏi xô. Tôi sẽ không nghĩ thế!

Sigma. Tuy nhiên, đây là đáp số chính xác. Và những tin nhắn tương tự đã giúp chúng tôi có được điều đó. Tôi chỉ muốn làm rõ một chút: đáp số của chúng tôi là đúng nếu kích thước của viên nhỏ hơn nhiều so với kích thước của thùng. Nếu các viên đạn lớn (hoặc thùng rất nhỏ), thì lý luận của chúng ta sẽ mất đi giá trị.

Nguyên nhân là do chúng ta đã sơ ý làm xáo trộn vị trí chính xác của các viên đạn gần thành thùng. Và nếu có nhiều viên hơn thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của thành thùng nữa.

Beta. Giáo sư Sigma, bài toán nào khác có thể được giải quyết bằng thông báo tương tự?

Sigma. Thông điệp tương đồng đã được chứng minh là rất hữu ích trong sinh học. Và chúng lần đầu tiên được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của động vật bởi nhà khoa học vĩ đại người Ý của thế kỷ 16, Galileo Galilei. Galileo quan tâm đến câu hỏi một loài động vật rất lớn trên cạn, chẳng hạn như một con chó khổng lồ, có thể trông như thế nào. Trong một trong những cuốn sách của Galileo, bạn thậm chí có thể tìm thấy những bức vẽ về xương của một con chó tưởng tượng như vậy.

Alpha. Có nhiều điều để suy nghĩ ở đây? Phóng to bộ xương chung của con chó lên 10 lần và thế là xong!

Sigma. Không, nó không đơn giản như vậy. Sức mạnh của xương tỷ lệ thuận với diện tích mặt cắt ngang của chúng. Nếu kích thước tăng lên 10 lần thì diện tích này sẽ tăng lên 100 $(=10^2)$ lần. Điều này có nghĩa là xương của một con chó khổng lồ có thể chịu được tải trọng gấp trăm lần. Nhưng thực tế của vấn đề là tải không trả về 100 mà là 1000 lần. Rốt cuộc, tải trọng tỷ lệ thuận với khối lượng của động vật, tức là thể tích của nó. Âm lượng sẽ tăng 1000 $(=10^3)$ lần. Hóa ra là vậy