Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

58

cơ thể hướng xuống thì sẽ rơi được một khoảng $h_1=20$ cm. Nếu chúng ta cho các vật có cùng vận tốc, chỉ có vật thứ nhất ở bên trái, thì vật thứ hai sẽ tăng lên độ cao $h_2=10$ cm. Xác định hệ số ma sát giữa vật thứ nhất và bề mặt nếu tỉ số khối lượng của vật là $m_1/m_2=5$.

4. Một khối có khối lượng $M=1$ kg dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang nhẵn (Hình 3). Tại thời điểm khối đi qua vị trí cân bằng, một mảnh nhựa có khối lượng $m=0,21$ kg rơi thẳng đứng lên nó và nổi lên nó. Biên độ dao động của vật thay đổi bao nhiêu lần?

5. Trong một hình trụ đặt dưới một piston có khối lượng $M=20$ kg có $m=1$ g gel ở nhiệt độ $T=400$ K (Hình 4). Độ giãn dài của lò xo $A$ là $x=20$ cm và năng lượng biến dạng của nó là $E=60$ J. Xác định chiều cao của piston so với nhà trụ. Áp suất khí bên ngoài xi lanh bị tổn hại.

6. Hai quả bóng được tải giống hệt nhau, khối lượng và điện tích của mỗi quả là $m=10$ g và $q=5 \cdot 10^{-7}$ C, được nối với nhau bằng hai sợi dây cách điện có chiều dài $l=10$ cm và $2l$ (Hình 5). Hệ được giữ ở giữa bằng chiều dài của sợi dây, sau đó điểm treo $O$ bắt đầu được nâng lên trên nhờ gia tốc $\vec{a}$, theo mô hình bằng gia tốc rơi tự do $g$. Xác định lực căng của sợi dây ngắn nối hai quả bóng khi chúng bay lên.

7. Trong một điện trường đơn, vectơ chỉ phương hướng thẳng đứng xuống dưới và theo mô hình bằng $E=10$ kV/m, có một quả cầu mang điện $A$ treo trên một sợi dây cách điện mỏng $l=1$ m dài đến điểm $O$ (Hình 6). Điện tích của quả bóng là $q=10^{-6}$ C, khối lượng là $m=10$ g. Quả bóng được cho tốc độ ban đầu là $\vec{v}_0$ ($v_0=1$ m/s) theo hướng vuông góc với vectơ $\vec{E}$. Tìm sự căng thẳng

Diagram

Puc. 4.

Puc. 5.

Puc. 6.

Puc. 7.

Puc. 8.

Puc. 9.

chỉ vào thời điểm quả bóng đạt tới vị trí cao nhất.

8. Một hạt alpha thường bay vào vùng có từ trường đều ngang có cảm ứng $B=0,1$ T (Hình 7). Kích thước của vùng là $h=0,1$ m. Tìm tốc độ của hạt nếu sau khi đi qua từ trường, nó lệch một góc $\varphi=30^\circ$ so với hướng ban đầu. Tỷ lệ điện tích trên khối lượng của hạt $\alpha$ là $q/m=0,5 \cdot 10^8$ C/kg.

9. Một dây kim loại có khối lượng $m=50$ g đặt trên các thanh dẫn nằm ngang (Hình 8). Hệ số ma sát giữa thanh và lanh $\mu=0,15$. Các thanh được nối với một điện trở có điện trở $R=5$ Ohm. Hệ thống nằm trong một từ trường, cảm ứng của nó hướng lên trên và mô hình của nó thay đổi theo định luật $B=At$, trong đó $A=5$ T/s. Xác định thời điểm mà người nhảy bắt đầu chuyển động dọc theo thanh. Kích thước hình học: $l=1$ m, $h=0,3$ m. Điện trở của dây nhảy và thanh cung cấp là điện trở giả.

10. Hệ thống bao gồm các ống có chiều dài $b$, một đường mảnh $J$ và một khớp nối nhỏ $A$ nặng $m=2$ kg, được nối với một lò xo tuyến tính có độ cứng $k=500$ N/m (Hình 9). Tỉ lệ tiêu cự của thấu kính với chiều dài của ống là $F/b=0,4$, chiều dài của lò xo không biến dạng là $b/2$. Hệ được quay trong mặt phẳng nằm ngang quanh điểm $O$ với vận tốc góc $\omega$, tại đó ảnh ghép xuất hiện tại điểm $O$. Tìm $\omega$.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
D. F. Kalinitsenko, A. I. Rudenko,
N. V. Sholokhov

Học viện Bách khoa Leningrad
họ. M. I. Kalinitsa

Matematika
Bài thi viết
3 giờ đã được đưa ra để hoàn thành công việc.

Tùy chọn 1

1. Hãy để $0<a<b<1$. Rút gọn biểu thức $1 - (\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_b a) \cdot \log_b a$ và xác định dấu của nó.

2. Giải phương trình
   $\cos 2x + 2 \sin x \cdot \sin 2x = 2 \cos x$.

3. Đối với hàm $f(x) = \lg \left(\frac{2-x^2}{\sqrt{4x+5}} - 1\right)$, tìm miền xác định và điểm cực trị.

4. Các tham số cơ sở của một tam giác ngẫu nhiên là từ cạnh 1. Chiều cao đáy $K$ của tham số nằm cách tâm $O$ của tam giác này một khoảng $\sqrt{\frac{4}{3}}$ và

59

Tia $OK$ đi qua điểm giữa một cạnh của nó. Tìm bán kính của một quả bóng nội tiếp trong hình chóp nếu chiều cao của nó là $\sqrt{\frac{4}{3}}$.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\log_3(x^2-1) = 1 + \log_3(x+1).$$

2. Giải phương trình
   $$4-3x=\sqrt{(x-1)(2-x)}.$$

3. Đối với phần mở $x \in R$, giá trị của hàm $f(x)$ được xác định là giá trị lớn nhất của hàm $g(y)=1-x^2+4xy^3-y^4$ trên khoảng $[-1; 0]$, tức là
   $$f(x)=\max(1-x^2+4xy^3-y^4).$$
   $y \in [-1; 0]$

Chứng minh rằng trên khoảng [3; 8] hàm $f$ là một đa thức. Tìm đa thức này. Tìm thêm $f'(-1)$.

4. Hình vuông $ABCD$, có cạnh bằng 1, đóng vai trò là đáy của hình chóp có đỉnh ở $S$. Các góc khác tạo bởi gam $ASB, BSC, CSD$ và $DSA$ với đáy liên hệ với các số 1, 2, 7, 2. Tìm bề mặt bên của hình chóp.

Vật lý

Bài thi vấn đáp
Khoa cơ lý và khoa học vô tuyến

1. Đối với quá trình với khí đơn nguyên tử lý tưởng, được biểu diễn trên hình và biểu diễn sự phụ thuộc tuyến tính của áp suất vào thể tích, hãy tìm: a) công do khí thực hiện trong quá trình giãn nở từ trạng thái 1 sang trạng thái 2; 6) thay đổi nội năng; c) nhiệt lượng mà khí nhận được.

2. Bên trong quả bóng, được tích điện đồng đều trong toàn bộ thể tích với mật độ không đổi $\rho=9 \times 10^{-8}$ C/$\mathrm{m}^3$ và chất điện môi $\varepsilon=1$, có mật độ hình cầu trong đó không có điện tích. Tâm của khoang bị dịch chuyển so với tâm của quả bóng một khoảng $a=25$ mm. Tìm mô hình và hướng của trường bên trong hộp nếu biết hướng của một quả cầu tích điện đều (tại $r<R$) được mô tả bằng công thức
   $$\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r},$$ trong đó $\vec{r}$ là vectơ hướng dọc theo bán kính tính từ tâm và có độ lớn bằng khoảng cách từ tâm quả bóng, $R$ là bán kính của quả bóng. Hằng số điện $\varepsilon_0=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{F/m}$.

3. Một hạt bị loại bỏ điện tích $q/m=10^{-5}$ C/kg chuyển động thẳng dưới tác dụng của một điện trường có cường độ $E=200(1-2x)$ V/m, trong đó $x$ là khoảng cách từ điểm mà tại đó hạt được đặt cực đầu tiên. Tìm: a) Quãng đường mà các bộ phận đi được đến điểm dừng lại; 6) gia tốc của các hạt tại thời điểm này.

4. Mật độ dòng điện chạy qua dây đồng là $j=1,0$ A/$\mathrm{mm}^2$. Giả sử rằng với mỗi nguyên tử đồng có một electron tự do, hãy ước tính quãng đường electron sẽ di chuyển nếu nó di chuyển được quãng đường $d=10$ mm. Mật độ đồng $q=8,9 \cdot 10^3$ kg/$\mathrm{m}^8$, khối lượng mol $\mu=64$ kg/kmol.

5. Từ điểm $A$ nằm trên trục của một ống điện từ thẳng, một electron bay ra với tốc độ $v=5 \cdot 10^7$ m/s và tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với trục. Cảm ứng từ trường $B=31,4$ mT. Tìm khoảng cách từ trục đến điểm electron chạm vào màn nằm vuông góc với trục và cách điểm $A$ $l=10$ cm.

Các khoa công lập

1. Hạt chuyển động trong mặt phẳng $XOY$ với gia tốc không đổi $\vec{a}=(a=10 \mathrm{m/c}^2)$, hướng của hướng này ngược với hướng dương của trục $OY$. Phương trình quỹ đạo của hạt có dạng $y=kx-bx^2$, trong đó $k=3$ và $b=2 \mathrm{m}^{-1}$. Tìm vận tốc của hạt tại gốc tọa độ.

2. Một số khối lượng phân tử hydro chiếm thể tích $V_1=1 \mathrm{m}^3$ ở nhiệt độ $T_1=250$ K và áp suất $p_1=2$ atm. Cùng một khối lượng hydro sẽ có áp suất như thế nào ở nhiệt độ $T_2=5000$ K trong thể tích $V_2=10 \mathrm{m}^3$, nếu ở nhiệt độ này phân tử nước hydro bị hòa tan hoàn toàn thành nguyên tử?

3. Một tụ điện phẳng chứa đầy chất điện môi và đặt một hiệu điện thế nhất định vào tụ điện bản của nó. Năng lượng của nó bằng $W=2 \cdot 10^{-5}$ J. Sau khi ngắt tụ điện khỏi nguồn điện, chất điện môi được lấy ra khỏi tụ điện. Công cần thiết để triệt tiêu điện trường bằng $A=7 \cdot 10^{-5}$ J. Tìm điện dung của chất điện môi.

4. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động, một điểm thực hiện dao động điều hòa sẽ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng một nửa biên độ của nó? Chu kỳ dao động là $T=24$ s, pha đầu bằng 0.

5. Một nguồn sáng điểm và ảnh của nó thu được bởi sự phản xạ ánh sáng từ hai hạt phẳng, tạo thành một hình tam giác có góc $\alpha$ và nguồn. Xác định góc giữa các hạt.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
V. P. Popov, S. P. Preobrazhenny,
V. N. Romanov

60

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $] - 1; \log_2 6]$.
2. $\frac{2k - 3}{3} S \text{ при } \frac{3}{2} < k \leqslant \frac{5}{2}, \frac{2}{3} S \text{ при } k > \frac{5}{2}$.
   Gợi ý. Theo điều kiện bài toán tốc độ của người đi bộ thứ nhất lớn hơn tốc độ của người đi bộ thứ hai; do đó tuân theo $k > \frac{3}{2}$. Mã dành cho người đi bộ đầu tiên có thể đến thành phố $B$ sau (hoặc tại thời điểm) phương tiện đáp ứng mã dành cho người đi bộ, hoặc thậm chí có thể sớm hơn.
3. $\frac{1}{3} d^3 \frac{\sin \varphi \cdot \cos^2 \varphi \cdot \sin \alpha \cdot \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$, nếu hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt phẳng cơ sở thuộc về đỉnh đó; $\frac{1}{3} d^3 \sin \varphi \cdot \cos^2 \varphi \cdot \sin 2\alpha$ nếu không thì. Quét. Lời giải sẽ không thay đổi nếu $|AS| \neq |BS|$.
4. $x = -\arccos \frac{4}{5} + (-1)^k \arcsin \frac{1-a}{5} + \pi k (k \in Z)$, đối với $a \in [-4; 1] \cup \{6\}$, đối với $a$ còn lại, hàm $f$ không có điểm tới hạn (đặc biệt, nếu $a \in ] 1; 6[$, hàm không được xác định cho bất kỳ $x \in R$ nào).
5. $Q = -qR_1/R_2$.
6. Tại $R > r > 0$
   $$\begin{cases} E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \\ \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{R} \right). \end{cases}$$
   Tại $r \geqslant R$
   $$\begin{cases} E = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \\ \varphi = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. \end{cases}$$
   Đồ họa tương ứng được hiển thị trong Hình 1.
7. $q_M = q \frac{Q}{Q - q}$.
8. $q_2 = 4\pi\varepsilon_0 \varphi r^3/R^2$.

61

Tùy chọn 2

1. $x = \pi^2 \left(k + \frac{1}{3}\right)^2 (k = 0, 1, 2, \dots)$.

2. 77 và 86. Gợi ý. Nếu $A = 10a + b$ thì $5 \leq b \leq 9$.

3. $] 2a + 3; \frac{1}{3} (7a + 13)]$ cho $a > -4$, $\emptyset$ cho $a \leq -4$. Gợi ý. Bất đẳng thức này tương đương với hệ

$$\begin{cases} \log_2 \frac{x-a+1}{x-3-2a} \geq 2 \\ x-3-2a > 0. \end{cases}$$

4. $$\frac{d^2 \sin^2 \alpha \cdot \sin \frac{\beta}{2}}{12 \cos^3 \frac{\beta}{2}} \sqrt{9 + 16 \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2}} \text{ при } \beta \leq \frac{\pi}{2}, \frac{1}{6} d^2 \sin^2 \alpha \cdot \sin \beta \sqrt{9 + 16 \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2}} \text{ при } \beta > \frac{\pi}{2}.$$ Gợi ý. Vì lăng kính có mặt phẳng đối xứng chứa $(BB_1), |BA| = |BC|$.

Vật lý

1. Hãy viết định luật II Newton cho tải trọng thứ nhất tại thời điểm thanh đi qua vị trí thẳng đứng:

$$m_1 (v^2/l) = m_1 g - N.$$

Ở đây $v$ là tốc độ của tải trọng, $m_1 g$ là lực hấp dẫn, $N$ là lực mà thanh tác dụng lên tải trọng (trong giá trị tuyệt đối nó bằng lực $F$ tác dụng của tải trọng lên thanh). Để tìm tốc độ $v$, chúng ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng cho một hệ gồm hai vật nặng được nối với nhau bằng một thanh cực lớn:

$$(m_2 - m_1) g l = (m_1 + m_2) (v^2/2).$$

Từ các phương trình thu được, chúng ta tìm được lực cần thiết $F$:

$$F = N = m_1 g (3m_1 - m_2) / (m_1 + m_2) = (1/3) m_1 g = 2 H.$$

2. Chúng ta hãy viết các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng của hệ trượt-puck:

$$mg (H - h) = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2},$$

$$mv - MV = 0.$$

Từ đây chúng ta tìm được tốc độ chuyển động tương đối của quả bóng và đường trượt:

$$v_{\text{отн}} = v - V = \sqrt{2g (H - h) (1 + n)}.$$

Thời gian quả bóng rơi từ độ cao $h$ là $t = \sqrt{2h/g}$, và khoảng cách giữa quả bóng và mặt trượt là

$$l = v_{\text{отн}} t = 2 \sqrt{(H - h) h (1 + n)} = 1,6 \text{ м}.$$

3. Trong trường hợp vật thứ hai chỉ nổi lên do vật thứ hai sinh ra thì năng lượng ban đầu của hệ chỉ bằng động năng $(m_1 + m_2) (v^2/2)$, năng lượng cuối cùng bằng thế năng của vật thứ hai $m_2 gh_1$ thì năng lượng ban đầu của hệ chỉ bằng động năng $(m_1 + m_2) (v^2/2)$, năng lượng cuối cùng bằng thế năng của vật thứ hai $m_2 gh_1$.

$cos \alpha = 1 - mv^2/2 (2(mg + qE) l)$ đến từ đâu.

Sau đó, đối với luồng, chúng tôi nhận được $F_H = mg + qE - mv^2/2 (2l) = 0,105 \text{ H}$.

8. Hạt alpha chịu tác dụng của từ trường bởi lực Lorentz $F = qvB$, lực này truyền gia tốc hướng tâm $v^2/R$ cho hạt:

$$m (v^2/R) = qvB.$$

Bán kính $R$ của vòng tròn mà hạt tác dụng dọc theo có liên quan đến kích thước của vùng trường $h$ bằng sự tương ứng $R = h/\sin \varphi$. Vì vậy tốc độ của hạt

$$v = (q/m) (Bh/\sin \varphi) = 10^6 \text{ м/c}.$$

9. Người nhảy bắt đầu chuyển động dọc theo thanh tại thời điểm $t$, khi lực từ anet có độ lớn bằng lực thứ ba:

$$IlB = \mu mg.$$

62

Dòng điện chạy qua cầu nối có liên hệ với suất điện động cảm ứng sinh ra theo định luật Ohm:
$$I = \frac{\mathcal{E}_u}{R} = lhA/R.$$
Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy
$$t = \mu mgR / (hl^2A^2) = 0,05 \text{ с}.$$
10. Theo công thức thấu kính,
$$\frac{1}{l} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}.$$
Chúng ta tìm chiều dài của lò xo $l$ từ định luật thứ hai Newton cho bộ ly hợp:
$$m\omega^2(l+b) = k(l-l_0).$$
Từ hai phương trình này ta có
$$\omega = \left((3F/b-1)k/(2m)\right)^{1/2} = 5 \text{ с}^{-1}.$$
Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Matematika
Tùy chọn 1

1. $-\log_a b < 0$.
2. $x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} l(k, l \in Z)$.
3. $] - \frac{5}{4}; -1 [\cup] -1; 1 - \sqrt{2} [, x = -\frac{2}{3} - \text{точка минимума. Указание. } x^4 - 4x^2 - 4x - 1 = (x+1)^2(x^2 - 2x - 1)$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{9}$. Gợi ý. $V = \frac{1}{3} Sr$, trong đó $V$ là thể tích của nguyên thủy, $S$ là diện tích toàn bộ bề mặt của nó, $r$ là bán kính mong muốn.

Tùy chọn 2

1. {4}.
2. $\left\{\frac{6}{5}\right\}$.
3. $f(x) = 1 - x^2$ đến $]0; +\infty [, f'(-1) = -2$. Gợi ý. Hãy xem xét ba trường hợp tùy thuộc vào việc điểm cực trị đơn (điểm cực đại) $y_0 = 3x$ của hàm $g(y)$ nằm trên $[-1; 0]$, trên $]-\infty; -1 [$ hay trên $]0; +\infty [$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. Gợi ý. Chúng ta hãy biểu thị bằng $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$, bằng $O$ đáy của đường cao của hình gốc, bằng $M$ đáy của đường cao của tam giác $ASD$ được vẽ từ $S$. Khi đó ($KSL$) là mặt phẳng đối xứng của nguyên thủy và $O \in (KL)$, $S\widehat{KL} = \alpha, S\widehat{LK} = 7\alpha, S\widehat{MO} = 2\alpha$. Thể hiện $|SO|$ theo hai cách - từ $\Delta SMO$ và từ $\Delta SOL$; từ phương trình thu được, hãy tìm $\alpha$. Lưu ý rằng người ta không biết trước liệu $O$ có nằm trong nguyên thủy hay không.

Vật lý
Khoa Vật lý, Cơ học và Vật lý phóng xạ

1. a) $A = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)/2 = 450$ kJ;

6. $\Delta U = 3(p_2V_2 - p_1V_1) = 0$; b) $Q = A + \Delta U = A = 450$ kJ.

2. $\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{a}$ (Hình 2); $E = \frac{\rho a}{3\varepsilon_0}\approx 85$ V/m.

Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Gợi ý. Tại một điểm tùy ý $A$ bên trong hộp, điện trường là sự chồng chất của hai trường: trường $\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$, phân bố với mật độ $\rho$ trên toàn bộ quả bóng và trường $\vec{E'} = \frac{-\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r'}$, phân bố với mật độ $-\rho$ trên toàn bộ hộp cầu.
3. $x = 1$ m; $a_x = E_xq/m = -2 \cdot 10^{-3}$ m/s². Gợi ý. Ở khoảng cách 0,5 m tính từ gốc tọa độ, hạt chuyển động trong trường gia tốc, và sau đó, lên khoảng cách 1 m, trong trường gia tốc (Hình 3).
4. $l = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \frac{deN_A\varrho}{j\mu} \approx 1,5 \cdot 10^7$ m, trong đó $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K là hằng số Boltzmann, $T = 300$ K là nhiệt độ phòng, $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ kg là khối lượng của electron, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ K là điện tích của nó, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$ là số Avogadro. Gợi ý. Để ước tính, chúng ta có thể giả sử rằng tốc độ chuyển động nhiệt trung bình của các electron (lớn hơn vài bậc độ lớn so với tốc độ chuyển động có hướng trung bình của các electron trong điện trường) bằng với tốc độ bình phương trung bình gốc của chuyển động nhiệt của các phân tử của một loại khí lý tưởng, nghĩa là $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
5. Di chuyển dọc theo đường xoắn ốc, electron sẽ thực hiện đủ hai vòng và kết thúc ở ngay giữa màn hình.

63

Các khoa công lập

1. $v_0 = \sqrt{(1+k^2)a/(2b)} = 5$ m/s.
2. $p_2 = 2p_1 \frac{V_1}{V_2} \frac{T_2}{T_1} = 8$ atm.
3. $\varepsilon = 1 + A/W = 4,5$.
4. $t = T/12 = 2$s. Gợi ý. Điểm dao động tuân theo định luật $x = x_M \sin \frac{2\pi}{T} t$.
5. $\beta = \pi - \alpha$ (Hình 4).

Bài tập từ bài kiểm tra miệng MIPT
(xem «Kvant» số 2 2)

1. Không, nó chia hết cho 9.
2. Giả sử $(x, y)$ là một phương trình số nguyên lời giải. Lưu ý rằng số 1982 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. Để $x^2 - y^2$ chia hết cho 2, các số $x$ và $y$ phải có cùng số chẵn lẻ. Nhưng khi đó $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ chia hết cho 4.
3. Tổng nửa $\frac{p_1 + p_2}{2} = n$ là một số nguyên nằm giữa các số $p_1$ và $p_2$, theo quy ước là các số nguyên tố lẻ liên tiếp. Vì vậy, số $n$ phải là số chẵn.
4. Nếu số $n + 1$ là hợp số thì nó sẽ chia hết cho một số $k \neq 1$, nhỏ hơn $n$. Nhưng khi đó số $m = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n + 1$ cũng phải chia hết cho $k$, điều này là không thể, vì $k$ chia hết cho $m - 1 = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$, nghĩa là $m$ khi chia cho $k$ sẽ có số dư là 1.
5. Nó tuân theo điều kiện là cả hai số $2^n - 1$ và $2^n + 1$ đều lớn hơn ba. Hãy chứng minh rằng một trong số chúng nhất thiết phải chia hết cho 3 và do đó là hợp số. Thật vậy, một trong ba số liên tiếp $2^n - 1, 2^n, 2^n + 1$ chia hết cho 3 và $2^n$ không có tính chất này.
6. Không thể, vì khi chia số $k^2$, trong đó $k \in N$, cho 3, số dư sẽ là 0 hoặc 1. Thật vậy, số $k$ có thể viết dưới dạng sau: $k = 3m + r$, trong đó $r$ là số dư khi chia $k$ cho 3. Nếu $r = 0$ thì $k^2$ là chia hết cho 3. Nếu $r = 1$ thì $k^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3l + 1$, $l \in N$. Tương tự, người ta xác minh rằng nếu $r = 2$ thì $k^2 = 3q + 1$, $q \in N$.
7. Chia số tiền đã chỉ định thành hai số hạng: $6n^2 - 3n + 3$ và $n^3 - n$. Số hạng thứ nhất chia hết cho 3 và số hạng thứ hai $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ cũng chia hết cho 3 (là tích của ba số liên tiếp).
8. Hãy viết số $p$ dưới dạng $p = 12q + r$, trong đó $r$ là số dư của phép chia $p$ cho 12. Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $r$ không thể chẵn và không thể chia hết cho 3 (nếu không thì số $p$ sẽ là số chẵn hoặc chia hết cho 3). Do đó, số dư $r$ chỉ có thể nhận các giá trị 1, 5, 7, 11. Do đó, bất kỳ số nguyên tố nào lớn hơn 3 đều có thể được gán cho một trong hai tập hợp: tập $A$ các số có số dư 1 hoặc 11 khi chia cho 12 hoặc tập $B$ - có số dư 5 hoặc 7. Trong ba số nguyên tố lớn hơn 3, ít nhất hai số thuộc về một số nguyên tố trong tập hợp đó $A$ hoặc $B$. Nếu số dư khi chia cho 12 của hai số này bằng nhau thì hiệu của chúng chia cho 12. Nếu số dư của chúng khác nhau thì tổng của các số dư này là 1 + 11 hoặc 5 + 7, tức là bằng 12 nên tổng các số chia hết cho 12.
9. Số này chia hết cho 111 = 3 37.
10. Bằng cách bình phương các số hạng của bất đẳng thức ban đầu, chúng ta thu được 1982² < n < 1983². Số tự nhiên cần tìm $n$ bằng 1983² - 1982² - 1 = 1983 + 1982 - 1 = 3964.
11. Hãy biểu diễn biểu thức ban đầu ở dạng $\frac{2m + 3m^2 + m^3}{6}$ và chỉ ra rằng tử số của phân số này chia hết cho 6 với mọi số nguyên $m$. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng nó chia hết cho 2, trong đó chỉ cần xét tổng $3m^2 + m^3 = m^2(3 + m)$ là đủ và lưu ý rằng nếu $m$ là số chẵn thì $m^2$ chia hết cho 2, nếu $m$ là số lẻ thì $3 + m$ là số chẵn. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng tổng $2m + 3m^2 + m^3$ luôn chia hết cho 3. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng tổng $m^3 + 2m = m(m^2 + 2)$ chia hết cho 3. Câu này đúng nếu $m$ chia hết cho 3. Nếu $m$ không chia hết cho 3 thì số $m^2$ khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1 (thực ra, nếu $m = 3k$ thì $m$ chia hết cho 3, nếu $m = 3k + 1$ thì $m^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3l + 1$, $l \in N$, nếu $m = 3k + 2$ thì tương tự $m^2 = 3q + 1$, $q \in N$). Vì $m^2$ chia cho 3 dư 1 nên $m^2 + 2$ là bội số của 3.
12. Đặt $A$ và $B$ lần lượt là số mong muốn và số thu được bằng cách nhân $A$ với 9. Chữ số đầu tiên của số $A$, rất indo, bằng 1 và do đó 9 là chữ số cuối cùng của số này. Chúng ta hãy ký hiệu chữ cái $x, y, z$ tương ứng là chữ số thứ hai và thứ tư của số $A$ và viết kết quả của phép nhân:
    $$\frac{1xyz9}{9zyx1}$$

Số $x$ không thể lớn hơn một, vì nếu không thì số $p$ sẽ là số chẵn hoặc chia hết cho 3. Thay $z$ bằng 9 trong ký hiệu của số $A$, kết quả của phép nhân là $x = 9$. Vậy chữ số $x$ chỉ có thể bằng 0, tức là
$$\frac{10yz9}{9zy01}$$

Vì chữ số thứ tư của số $B$ bằng 0 nên số 9z phải là số gấp đôi và do đó $z = 8$. Theo đó, $y \neq 0$ và vì số $B$ chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9, và do đó $y = 9$, $A = 10989$.
13. Chúng ta hãy tìm một số nguyên không âm $n_1$ sao cho $2^{n_1} \leq A < 2^{n_1} + 1$; hãy để $A_1 = A - 2^{n_1}$. Nếu $A_1 \neq 0$, chúng ta tìm thấy một số nguyên không âm $n_2$ sao cho $2^{n_2} \leq A < 2^{n_2} + 1$. Hãy biểu thị nó bằng $A_2 = A_1 - 2^{n_2}$. Chúng tôi thay thế $A_1 < 2^{n_1}$ đó và do đó $n_2 < n_1$. Lập luận tương tự, với số lượng hữu hạn $k$ bước (không quá $n_1 + 1$), chúng ta thu được $A_{n_k} = 0$. Từ đây
$$A = 2^{n_1} + 2^{n_2} + \dots + 2^{n_k}$$

14. Có lẽ. Ví dụ: hãy đặt $a = \sqrt{2}$, $b = \log_2 9$, rồi $a^b = 3$. Hãy chứng minh rằng $\log_2 9$ là một số vô tỉ. Để điều này không xảy ra thì sẽ có $m$ và $n$ tự nhiên sao cho