Lời giải bài toán M770, M775—M779; F788— F792

47

Lời giải bài toán

M770, M775—M779; F788—F792

Đầu tiên là lời giải. Chúng ta có thể giả sử rằng độ dài cạnh đáy là 1. Gọi $x \geq y \geq z$ là độ dài của các cạnh PA, PB và PC. Rõ ràng là $x+y \geq x+Z \geq y+z \geq 1$.

Theo định lý cosine (xem hình 1)

$$x^2+1=y^2+ax,$$
$$y^2+1=z^2+ay,$$
$$z^2+1=x^2+az,$$

ở đâu $a=2\cos \alpha (0<a<2)$. Nó theo sau đó

$$\begin{cases} x^2-y^2=y^2-z^2+a(x-y), \\ y^2-z^2=z^2-x^2+a(y-z), \\ z^2-x^2=x^2-y^2+a(z-x), \end{cases}$$

$(x+y-a)(x-y)=(y-z)(y+z),$
$(y+z-a)(y-z)=(z-x)(z+x),$
$(z+x-a)(z-x)=(x-y)(x+y). Легко видеть, что если какие-либо два из чисел$x, y, z$равны, то равны и все три числа. Предположим, что$x \neq y, y \neq z, x \neq z$. Переменная уравнения последней системы, получим после сокращений$$(x+y-a)(y+z-a)(z+x-a)=(y+z)(z+x)(x+y).$$Поскольку права часть (*) положительная, должна быть положительная и левая часть. При этом, если все три сомножителя положительных, то равенство (*) невозможно. Следовательно,$y+z-a<0; y+z-a<0, a+x-y-a>0$. Кроме того,$(x+z)+(y+z)>2>2a$. Поэтому$(y+z-a) \times (x+z-a)=(y+z)(x+z)-(x+z+y+z)a+a^2=(x+z) \times (y+z)+a(a-(h+z+y+z))<(x+z)(y+z)+a(a-2)<(x+z)(y+z).

Do đó vế trái của tích (*) nhỏ hơn vế phải. Sự mâu thuẫn.

Thứ hai lời giải. Chúng ta hãy dựng góc $a$ trên mặt phẳng. Một trong các cạnh của nó là đoạn $|OK|=1$, và ở phía bên kia, chúng ta đặt các đoạn $OP=x, |OQ|=y, |OR|=z$ sang một bên. Các hình tam giác thu được được chứa các cạnh của paramid, với $|PK|=y, |QK|=z, |RK|=x$.

Từ tam giác RQK ​​ta thu được $x=|RK|<|QR|+|QK|=y-z+z=y$, tức là $x<y$ - mâu thuẫn!

S. A. ValerIAN

M775. Với số tự nhiên nào $n \geq 3$ thì có các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$ hoặc $a_n-a_1$ khác nhau?

Đáp số: tại $n=4k$ hoặc $n=4k-1, k \in N$. Hãy xét tổng $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\dots+|a_n-a_1|$. Theo điều kiện, tất cả $n$ số hạng cấu thành của nó đều khác nhau và nằm giữa các số 1 và $n$, do đó $S=1+2+\dots+n=n(n+1)/2$. Mặt khác, nếu chúng ta thay thế các hiệu của các hiệu của các số $a_i$ trong tổng này bằng các hiệu có các dấu tương ứng và cho các số tương tự, thì mỗi số $a_1, \dots, a_n$ sẽ được đưa vào tổng với hệ số 2, -2 hoặc 0 (vì bất kỳ số nào trong số chúng đều được chứa trong chính xác hai modil). Vì vậy, $S$ là số chẵn. Tuy nhiên, vì $n+1$ là các số có chẵn lẻ khác nhau nên số $n(n+1)/2$ sẽ là số chẵn khi và chỉ khi $n$ hoặc $n+1$ chia hết cho 4, tức là $n=4k$ hoặc $n=4k-1, k \in N$.

Trong trường hợp chung, cần phải chỉ định số: xem hình. 1 cho $n=4k$ và hình. 2 cho $n=4k-1$. Để thuận tiện, nhìn chung các số $a_i$ được sắp xếp xung quanh một vòng tròn; trong hình $1a_1=4k+1, a_2=1, a_3=4k, \dots, a_n=2k+1$ (không được sử dụng $k+1$), trong hình $2a_1=4k, a_2=1, a_3=4k-1, \dots, a_n=2k$ (không được sử dụng $3k$). Lưu ý rằng trong các hình tổng quát, khi di chuyển theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ $a_1$, các số được viết bên trong các vòng tròn,

48

Hình 2.

M776. Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$
Biết rằng các điểm B, M và N nằm trên cùng một đường thẳng. Tìm λ.

M777. Phương trình $x^3 - 3xy^2 + y^2 = n$ được đưa ra. Chứng minh rằng
a) nếu n tự nhiên sao cho phương trình đã cho có số nguyên lời giải thì nó có ít nhất ba số nguyên lời giải;
b) với n = 2891 phương trình này không có số nguyên lời giải.

tăng, số viết bên ngoài giảm, số “nội” nhỏ hơn số “bên ngoài”. Từ đây dễ dàng suy ra rằng các tập hợp đã cho thỏa mãn điều kiện bài toán.

A. V. Anjan

♦ Đáp số: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Gọi $L$ là giao điểm của các đường chéo AC và BF (xem hình). Các đường chéo BF và CE song song nên các tam giác BLM và NCM đồng dạng; kể từ đây,
$$\frac{|BL|}{|NC|} = \frac{|LM|}{|CM|}.$$
Chúng ta hãy biểu thị độ dài của các đoạn trong đẳng thức này thông qua $\lambda$, coi độ dài của đường chéo AC bằng 1.
Từ sự giống nhau của các tam giác ABL và CFL suy ra $|BL|:|LF| = |AB|:|CF| = 1:2$. Do đó, $|BL| = 1/3$, vì $|BF| = |AC| = 1$. Tương tự như vậy, $|AL| = 1/3$. Rõ ràng là $|CN| = |AM| = \lambda$, $|CM| = 1 - \lambda$ và $|LM| = |AM| - |AL| = \lambda - \frac{1}{3}$. Như vậy,
$$\frac{1/3}{\lambda} = \frac{\lambda - 1/3}{1 - \lambda},$$
nghĩa là, $\lambda^2 = 1/3$ và $\lambda = 1/\sqrt{3}$.

A. P. Savin

♦ a) Hãy ký hiệu vế trái của phương trình bằng $P(x, y)$. Nó có thể được viết lại như thế này:
$$P(x, y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 = (y - x)^3 + 3(y - x)x^2 - x^3 = -y^3 + 3y(x - y)^2 + (x - y)^3.$$
Vì vậy, $P(x, y) = P(y - x, -x) = P(-y, x - y)$. Do đó, nếu cặp số nguyên $(x, y)$ là nghiệm của phương trình của chúng ta thì hai cặp số nguyên $(y - x, -x)$ và $(-y, x - y)$ nữa cũng thỏa mãn nó. Tất cả các cặp này đều khác biệt, hoặc nói cách khác là $x = y = 0$, điều này là không thể với $n \neq 0$.

b) Để chứng minh phương trình $x^3 - 3xy^2 + y^3 = 2891$ không có số nguyên lời giải, chỉ cần chứng minh rằng vế trái không có số nguyên $x$ và $y$ nào khi chia cho 9 đều dư 2, vì $2891 = 9 \cdot 321 + 2$. Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một bảng trong đó, đối với tất cả các số dư có thể có khi chia số $a$ cho 9, các số dư của các số $3a$ và $a^3$ đều được đưa ra.

| $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $3a$ | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| $a^3$ | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 |

Từ hàng thứ hai và thứ ba của bảng, rõ ràng có thể lấy được số dư 2 ở vế trái khi và chỉ nếu số dư từ phép chia lần lượt của $x^3$, $3xy^2$ và $y^3$ cho 9

49

M778*. Cho một tam giác không bằng nhau $A_1A_2A_3$. Đặt $a_i$ là cạnh của nó nằm đối diện với đỉnh $A_i$ ($i=1, 2, 3$), $M_i$ là trung điểm của cạnh $a_i$, $T_i$ điểm tiếp tuyến của cạnh với đường tròn nội tiếp trong tam giác đã cho và $S_i$ là điểm đối xứng với $T_i$ đối với phân giác của góc $A_i$ hình tam giác.

Chứng minh rằng các đường thẳng $M_1S_1$, $M_2S_2$ và $M_3S_3$ có ​​điểm chung.

Các cạnh của tam giác $M_1M_2M_3$ lần lượt song song với các cạnh của tam giác $A_1A_2A_3$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các cạnh của tam giác $S_1S_2S_3$ song song với các cạnh $A_1A_2A_3$. Theo đó, $\triangle S_1S_2S_3$ được chuẩn bị vào đó bằng cách chuyển song song. Trường hợp thứ hai biến mất, hoặc đường tròn ngoại tiếp tam giác $M_1M_2M_3$ lớn hơn đường tròn ngoại tiếp tam giác $S_1S_2S_3$. Do đó, các đường nối các đỉnh tương ứng của tam giác $S_1S_2S_3$ và $M_1M_2M_3$ phải giao nhau tại một điểm - tâm đang được chuẩn bị.

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng các đường $S_1S_2$ và $A_1A_2$ song song với nhau (xem hình). Nếu đường phân giác tương đối của góc $A_1$ đối xứng thì điểm $S_1$ sẽ tiến tới $T_1$ và $T_3$ đến $T_2$,

Diagram

các cung vị trí $S_1T_3$ và $T_1T_2$ của đường tròn nội tiếp tam giác $A_1A_2A_3$ bằng nhau. Tương tự, nếu đường phân giác tương đối của góc $A_2$ đối xứng thì cung $T_1T_2$ sẽ biến thành cung $T_3S_2$. Do đó, các cung $S_1T_3$ và $T_3S_2$ bằng nhau và vị trí của các điểm $S_1$ và $S_2$ có cùng khoảng cách với đường thẳng $A_1A_2$, tức là $S_1S_2 \parallel A_1A_2$. Tương tự, người ta chứng minh hai cạnh còn lại của tam giác $S_1S_2S_3$ song song với các cạnh tương ứng của tam giác $A_1A_2A_3$.

A. P. Savin

M779*. Chúng ta xem xét dãy $\{x_n\}$ số dương thỏa mãn điều kiện

$$1 = x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$$

a) Chứng minh rằng với mọi dãy $\{x_n\}$ đều tồn tại $n$ sao cho

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} \geqslant 3,999.$$

b) Đồng thời tìm một dãy $\{x_n\}$ thỏa mãn các điều kiện đã cho mà với bất kỳ $n$ nào

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} < 4.$$

a) Dễ dàng nhận thấy các bất đẳng thức sau đều đúng: $\frac{x_k^2}{x_k} \geqslant 4(x_k-1-x_k)$. Thật vậy, nhân cả hai vế với số (dương) $x_k$ và gạch chéo tất cả các số hạng ở bên trái, chúng ta thu được sự tương ứng rõ ràng: $x_k^2 - 4x_k-1x_k + 4x_k^2 = (x_k-1-2x_k)^2 \geqslant 0$.

Cộng các bất đẳng thức đã được chứng minh cho mọi $k$ từ 1 đến $n$, ta thu được điều đó

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} \geqslant 4(x_0-x_n) = 4(1-x_n)$$

Nếu dãy $\{x_n\}$ tiến tới 0 là $n \to \infty$, thì, như sau từ (*), bất đẳng thức đang được chứng minh được thỏa mãn với mọi $n$ đủ lớn.

Nếu chuỗi không tiến tới 0 thì theo định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của chuỗi tiêu diệt đơn điệu giới hạn trong không gian

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a > 0.$$

Không thì giới hạn của chuỗi $x_n^2-1/x_n$ sẽ khác với $a$ ít hơn $a/2$, và do đó

50

sẽ lớn hơn $a/2$. Do đó, ở vế trái của bất đẳng thức đang được chứng minh, bạn có thể cộng nhiều số hạng sao cho tổng lớn hơn 4 (và nói chung là bất kỳ số nào đã cho).

6. Đáp số: chuỗi tìm kiếm $\{x_n\}$ là một cấp số nhân có giá trị $1/2$; $x_n = 1/2^n$, $n = 0, 1, 2, \dots$. Đối với chuỗi này, tổng ở phía bên trái là

$$2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} = 4 - \frac{1}{2^{n-2}} < 4.$$

Bình luận. Trình tự từ điểm 6) là duy nhất. Thật vậy, như chúng ta đã thấy trong lời giải của đoạn a), nó phải cam kết có xu hướng về 0. Nếu nó không trùng với cấp số nhân $\{1/2^n\}$, thì $x_{k-1} \neq 2x_k$ với ít nhất một $k$, vì vậy giá trị $\delta = \frac{x_k^2 - 1}{x_k} - 4(x_{k-1} - x_k) = \frac{(x_{k-1} - 2x_k)^2}{x_k}$ là dương. Nhưng chênh lệch giữa vế trái và vế phải của bất đẳng thức (*) tại $n \geqslant k$ không nhỏ hơn $\delta$. Do đó, nếu $n$ đủ lớn thì vế trái của nó sẽ lớn hơn 4.

A. P. Savin

F788. Một ống dài nhẵn có bán kính $R$ nghiêng một góc $\alpha$ so với đường chân trời (Hình 1). Từ điểm A dọc theo mặt trong của ống, thả vật không bị bệnh hướng lên trên. Vectơ vận tốc ban đầu của vật tạo một góc $\varphi$ với đường thẳng AB (xem Hình 1). Với vận tốc ban đầu tối thiểu là bao nhiêu thì vật sẽ chuyển động mà không rời khỏi bề mặt của ống?

Chuyển động phức tạp của một vật thể bên trong đường ống ở thời điểm bên trái có thể được biểu diễn dưới dạng sự chồng chất của hai chuyển động độc lập - chuyển động dọc theo các đường ống này và chuyển động dọc theo một vòng tròn trong mặt phẳng vuông góc với trục của đường ống (xem Hình 1). Việc tách cơ thể khỏi bề mặt ống sẽ chỉ ảnh hưởng đến chuyển động thứ hai - cơ thể sẽ không chuyển động theo vòng tròn. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ xem xét phong trào này.

Một vật chuyển động theo đường tròn chịu tác dụng của phản lực pháp tuyến $N$ từ thành ống (vectơ $\vec{N}$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của ống) và “lực hấp dẫn” $mg' = mg \cos \alpha$. Chúng ta hãy viết ra trạng thái của một vật dọc theo một vòng tròn:

$$mg' \cos \beta + N = \frac{mv^2}{R},$$

trong đó $\beta$ là góc tạo thành vectơ bán kính của điểm trong đường tròn mà vật hiện đang nằm với phương thẳng đứng 》 $Y'$ (Hình 2). Để vật thể không rơi ra khỏi đường ống thì phải đáp ứng điều kiện sau:

$$N = m \frac{v^2}{R} - mg' \cos \beta \geqslant 0 \Rightarrow v^2 \geqslant mg'R \cos \beta.$$

Chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa tốc độ $v$, mà vật hiện đang chuyển động theo đường tròn và tốc độ ban đầu $v_0$, bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng: với bất kỳ giá trị nào của góc $\beta$, mối quan hệ tương ứng phải thỏa mãn:

$$m \frac{v^2}{2} + mg'R \cos \beta = m \frac{(v_0 \sin \varphi)^2}{2} + mg'R.$$

Từ đây

$$v^2 = v_0^2 \sin^2 \varphi + 2g'R - 2g'R \cos \beta.$$

Thay biểu thức này vào (*), chúng ta tìm thấy ở giá trị nào của $v_0$ phần thân không thoát ra khỏi đường ống:

$$v_0^2 \geqslant 3 \frac{g'R}{\sin^2 \varphi} \cos \beta - 2 \frac{g'R}{\sin \varphi}.$$

Vì điều kiện này phải được thỏa mãn với mọi giá trị $\beta \in [0, 2\pi]$ nên kết quả cuối cùng là:

$$v_0^2 \geqslant \frac{Rg'}{\sin^2 \varphi} = \frac{Rg \cos \alpha}{\sin^2 \varphi}.$$

S. S. Krotov

51

F789. Những chiếc ftsurra, được bật bằng máy tiện, có đế phẳng, được đặt trên thùng chứa và họ bắt đầu đổ nước vào tàu. Hình 1 thể hiện đồ thị về sự phụ thuộc của lực F mà ftsurra ép xuống đáy vào độ cao H của mực nước trong tàu (nước không rò rỉ dưới ftsurra). Xác định từ biểu đồ diện tích của đế của ftsurra, thể tích của nó và mật độ của vật liệu mà nó được tạo ra. Vẽ (xấp xỉ) ftsurra này. Ở độ cao nào thì diện tích mặt cắt ngang của ftsurra bằng diện tích đáy của nó?

Hình 1.

Hình 2.

F790. Một khối khối lượng m được gắn vào tường bằng một lò xo có độ cứng k. Cách vật một khoảng d là vật thứ hai có cùng khối lượng. Phải truyền tốc độ tối thiểu bao nhiêu cho khối bên phải (xem hình) để sau khi va chạm vào các thanh khối bên trái trở về vị trí ban đầu? Hệ số ma sát của các thanh ở mặt trên không phụ thuộc vào tốc độ ở độ cao H của mực nước trong bình, thể tích phần ftsurra chìm trong nước bằng V. Lực tác dụng lên ftsurra của nước bằng

$$f = \rho_B g H - \rho_B g H_S,$$

trong đó $S_0$ là diện tích đáy của ftsurra. Chúng ta hãy viết điều kiện cân bằng ftsurra:

$$F'(H) - Mg + \rho_B g V - \rho_B g H_S = 0,$$

Trong đó M là khối lượng của ftsurra, $F'(H)$ là giá trị tuyệt đối của phản lực pháp tuyến từ đáy bình ở mức nước nhất định trong bình. Theo định luật III Newton, $F'(H) = F(H)$; kể từ đây,

$$F(H) = Mg - \rho_B g V + \rho_B g H_S.$$

Rõ ràng là sau khi ftsurra bị nước bao phủ hoàn toàn, lịch trình vẫn không thay đổi. Dựa vào phần này của biểu đồ, chúng ta sẽ xác định $S_0$ (chúng ta chọn các điểm $H_1 = 4$ cm và $H_2 = 5$ cm):

$$S_0 = \frac{1}{\rho_B g} \cdot \frac{\Delta F}{\Delta H} = \frac{1}{10^3 \cdot 9,8} \cdot \frac{0,1}{0,01} \mathrm{m}^2 \approx 10^{-3} \mathrm{m}^2.$$

Bây giờ bạn có thể xác định khối lượng của futsurra:

$$V_0 = \frac{Mg - F(H) + \rho_B g H_S}{\rho_B g} = \frac{F(0) - F(H) + \rho_B g H_S}{\rho_B g}$$

(chúng tôi đã dạy điều đó ở $H = 0$ $F(0) = Mg$). Lấy một điểm nằm trên một phần tuyến tính của đồ thị—ví dụ: một điểm tương ứng với $H_2 = 5$ cm—ta tìm thấy:

$$V_0 \approx \frac{0,25 - 0,4 + 10^3 \cdot 9,8 \cdot 0,05 \cdot 10^{-3}}{10^3 \cdot 9,8} \mathrm{m}^3 \approx 3,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{m}^3.$$

Mật độ của vật liệu mà ftsurra được tạo ra bằng

$$\rho = \frac{M}{V_0} = \frac{F(0)}{g V_0} \approx 7 \cdot 10^2 \mathrm{kg/m}^3.$$

Để nghiên cứu hình dạng của ftsurra, chúng ta sẽ tìm thấy một sự gia tăng nhỏ của lực $\Delta F$ do sự gia tăng nhỏ về độ cao $\Delta H$ của mực nước:

$$\Delta F = -\rho_B g \cdot \Delta V + \rho_B g S_0 \cdot \Delta H = \rho_B g (S_0 - S(H)) \Delta H$$

(chúng tôi đã dạy rằng mức tăng âm lượng nhỏ bằng $\Delta V = S(H) \cdot \Delta H$). Điều này cho thấy nơi F tăng với $H (\Delta F > 0)$, $S(H) < S_0$; và ngược lại, với $\Delta F < 0$ $S(H) > S_0$. Tại các điểm của đường cong tương ứng với các diện tích phần bằng $S_0$, $\Delta F = 0$, tức là tại các điểm này tiếp tuyến của đường cong nằm ngang. Điều kiện này được thỏa mãn tại các điểm $H_3 \approx 1,7$ cm và $H_4 \approx 2,2$ cm và gần chân ftsurra. (Người đọc quen với vi phân có thể thực hiện phân tích chi tiết hơn về dạng ftsurra bằng cách sử dụng hàm tùy ý thứ nhất và thứ hai $F(H)$.)

Hình 2 hiển thị (xấp xỉ) ftsurra này.

D. V. Belov

Gọi tốc độ tối thiểu cần thiết là v. Khi đó, theo định luật bảo toàn năng lượng,

$$\frac{mv^2}{2} = \mu mgd + 2\mu mgx,$$

nghĩa là toàn bộ năng lượng ban đầu của hệ, bằng động năng của hình lập phương bên phải, cuối cùng truyền vào cơ thể - nó dùng để thắng lực ma sát trên đường đi $(d + 2x)$, trong đó x là giá trị cực đại của lò xo. Tại thời điểm cả hai hình lập phương đứng yên và lò xo bị nén tối đa,

$$\frac{mv^2}{2} = \mu mgd + \frac{kx^2}{2} + \mu mgx.$$

52

tăng trưởng và bằng q; Sự va chạm của các thanh là hoàn toàn đàn hồi.

Graph of a beam with weight $m$ and length $d$

F791. Trong một khối hình trụ đặt dưới pít-tông có 1 mol khí đơn nguyên tử lý tưởng. Khối lượng của piston là $M$, diện tích là $S$. Lượng nhiệt phải cung cấp cho khí trong một đơn vị thời gian để pít-tông chuyển động đều lên trên với tốc độ $v$? Áp suất của khí quyển là $p_0$. Không có đinh ba giữa piston và thành bình.

Từ phương trình (1) và (2) chúng ta tìm được giá trị áp suất tối đa:

$$x = 2\mu g \frac{m}{k}.$$

Thay giá trị tìm được $x$ vào (1), ta tìm được tốc độ tối thiểu $v$:

$$v = \mu g \sqrt{2} \sqrt{\frac{d}{\mu g}} + \frac{4m}{k}.$$

V. K. Peterson

Tại bất kỳ thời điểm nào, piston chịu tác dụng của lực hấp dẫn $Mg$, lực $p_0S$ của áp suất khí quyển và lực $pS$ của áp suất khí. Theo định luật Newton, khi piston chuyển động đều

$$pS = Mg + p_0S.$$

Do đó, áp suất khí trong xi lanh không đổi.

Gọi lượng nhiệt $q$ được cung cấp cho khí trong một đơn vị thời gian. Khi đó, theo định luật bảo toàn năng lượng,

$$q \cdot \Delta t = \frac{3}{2} R \frac{m}{\mu} \Delta T + p \cdot \Delta V.$$

Ở đây $\frac{3}{2}R \frac{m}{\mu} \Delta T$ là độ biến thiên nội năng của chất khí, $p \cdot \Delta V$ là công do chất khí thực hiện ($\Delta V = Sv \cdot \Delta t$ là độ biến thiên thể tích $\Delta V$ của chất khí trong thời gian $\Delta t$). Từ phương trình Mendeleev-Clapeyron suy ra rằng

$$p \cdot \Delta V = \frac{m}{\mu} R \cdot \Delta T.$$

Như vậy

$$q \cdot \Delta t = \frac{3}{2} p \cdot \Delta V + p \cdot \Delta V = \frac{5}{2} p \cdot \Delta V = \frac{5}{2} pSv \cdot \Delta t.$$

Từ đây

$$q = \frac{5}{2} pSv = \frac{5}{2} (Mg + p_0S)v.$$

D. V. Podlesky

*F792. Có một đường dây điện thoại hai dây giữa Moscow và Leningrad. Điện trở của dây dẫn một mét là $r = 0,05$ Ohm. Do cách điện không hoàn hảo nên điện trở giữa các dây là $R = 10^7$ Ohms trên một mét đường dây. Một nguồn có điện áp $U = 100$ V được nối đến hai đầu đường dây ở Moscow. Vôn kế sẽ hiển thị điều gì nếu nó được nối a) với hai đầu đường dây ở Leningrad? b) ở giữa dòng?

Giả sử khoảng cách giữa Moscow và Leningrad là $6 \cdot 10^5$ m. Chia dòng thành nhiều mắt xích; Hãy tưởng tượng mỗi liên kết là một mạch tương đương gồm ba điện trở (Hình 1). Nếu một liên kết tương ứng

Hình 1.

Chiều dài đường dây là 1 m thì các điện trở nối tiếp có điện trở $r = 0,05$ Ohm, và điện trở song song có điện trở $R = 10^7$ Ohm. Rõ ràng là hai điện trở mắc nối tiếp có thể được thay thế bằng một điện trở có điện trở $2r = 0,1$ Ohm.

Số lượng liên kết trong một chuỗi như vậy là rất lớn. Chúng ta sẽ coi chuỗi này là vô hạn và sau đó - khi nhận được lời giải - chúng ta sẽ thảo luận về tính hợp lệ của phép tính gần đúng này.

Trước tiên chúng ta hãy tìm điện trở $R_{06ш}$ của mạch điện như vậy. Để làm điều này, hãy thêm một liên kết nữa vào phía trước chuỗi và

53

chúng tôi thả nổi sao cho tổng điện trở của bộ mở rộng mạch như vậy (Hình 2) lại lên tới $R_{06\mu}$:

$$\frac{R \cdot R_{06\mu}}{R + R_{06\mu}} + 2r = R_{06\mu}.$$

Từ đây chúng ta tìm thấy $R_{06\mu}$:

$$R_{06\mu} = r + \sqrt{r^2 + 2rR} = 0,05 + \sqrt{(0,05)^2 + 10^6} \approx 10^3 \text{ Ом}.$$

Nếu điện áp $U$ được kết nối với các cực đầu vào của mạch trong Hình 2, thì sau liên kết bổ sung này, điện áp sẽ giảm một lượng

$$\Delta U = 2rI = 2r \frac{U}{R_{06\mu}}.$$

Điều này có nghĩa là sau một ô, điện áp sẽ giảm $k = \frac{U}{U - \Delta U} = \frac{1}{1 - 2r/R_{06\mu}} \approx 1,0001$ lần và mỗi ô tiếp theo sẽ giảm một lượng như nhau. Điều này có nghĩa là sau $n$ ô, điện áp trên phần còn lại của mạch sẽ bằng

$$U_n = \frac{U}{k^n}.$$

Với phân vùng của chúng tôi, số lượng ô là $N = \frac{6 \cdot 10^5 \text{ М}}{1 \text{ М}} = 6 \cdot 10^5$; Điều này có nghĩa là điện áp ở cuối đường dây là

$$U_N = \frac{U}{k^N} = \frac{100}{(1 + 0,0001)^{6 \cdot 10^5}} \text{ В}.$$

Hãy biến đổi biểu thức ở mẫu số:

$$(1 + 0,0001)^{6 \cdot 10^5} = [(1 + 0,0001)^{10000}]^{60} \approx e^{60} \approx 1,14 \cdot 10^{26}$$

(biểu thức trong ngoặc vuông là giá trị gần đúng của số $e \approx 2,718$ - cơ số của logarit tự nhiên).

Vậy điện áp ở cuối đường dây là

$$U_N \approx \frac{100}{1,14 \cdot 10^{26}} \text{ В} \approx 10^{-24} \text{ В}.$$

Đơn giản là không thể thay đổi giá trị như vậy; vôn kế sẽ hiển thị 0.

Căng thẳng dòng cuối cùng -

$$U_{N/2} = \frac{100}{e^{30}} \text{ В} \approx 10^{-11} \text{ В}.$$

Điều gì sẽ thay đổi nếu chúng ta lấy một ô “dài” không phải 1 m mà là 1 cm hoặc 1 km (hoặc 100 km)? Trong trường hợp của chúng tôi, tất nhiên, việc “thu nhỏ” các ô là có thể chấp nhận được, nhưng rõ ràng là không có ý nghĩa; nhưng kích thước của chúng phải được tăng lên một cách cẩn thận - trên chiều dài Linney 10 km (10.000 ô, mỗi ô 1 m), điện áp giảm theo hệ số $e$, và rõ ràng là “chiều dài” của ô, trong mọi trường hợp, phải nhỏ hơn 10 km nhiều lần.

Coi chuỗi là vô hạn, dường như chúng ta đã thêm nhiều ô nữa vào cuối chuỗi. Rõ ràng là phép tính $R_{06\mu}$ đã được thực hiện chính xác (điện áp ở cuối mạch nhỏ hơn nhiều lần so với điện áp đầu vào và khi kết nối thêm các điện trở $R_{06\mu}$ thì thực tế không kém). Nhưng chúng tôi không thực sự ước tính được tầm quan trọng của phát hiện này. Hãy tự suy nghĩ xem điện trở của vôn kế phải là bao nhiêu để phương pháp lời giải của chúng tôi cho kết quả chính xác.

3. A. Rafailov